《复变函数》复习提要合集.doc

复变函数复习提要第1章：复数与复变函数了解复数定义及其几何意义；熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数；理解复变函数的极限与连续。 复数是用有序数对定义的，其中为实数。要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地讲，。 正如所有实数构成的集合用表示，所有复数构成的集合用表示，即 复数的四则运算定义为 复数的四则运算满足以下运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 称为的共轭复数，记为。称为的模，记为。共轭复数满足 例1 设，求 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解为求，在分子分母同乘，再利用，得 例2 求复数的模解令，有由共轭复数的运算结果得 复数的三角式 （其中） 复数的三角式 由此得如下关系式 对于复数，它的次方根为。 例3 求解，故有 例4 设，求解因，故于是，的四个四次方根为 点的邻域为复数集合，记为。 点的去心邻域为复数集合，记为。 无穷远点的邻域为复数集合，记为。 对于区域，若中任意一条简单闭曲线的内部仍属于，则称为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。 复变函数的定义类似于数学分析中实函数的定义，不同的是前者是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即 且复变函数期末复习提要第2章：解析函数理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；熟练掌握利用柯西黎曼条件判别解析函数的方法；熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。 函数在一点可导的定义是 设函数定义在区域内，若存在，则称此极限为函数在点的导数，记为，即 （2.1）此时，称函数在点可导，否则，称函数在点不可导。函数在一点解析的定义是 设函数定义在区域内，为内某一点，若存在一个邻域，使得函数在该邻域内处处可导，则称函数在点解析。此时称点为函数的解析点。若函数在点不解析，则称为函数的奇点。 函数在一点解析，则在该点可导，反之则未必。 例1 试证：函数在复平面上处处不可导。 分析：导数是一个特定类型的极限，要证明复变函数在某点的极限不存在，只需要找两条特殊的路径，使自变量沿这两条路径趋于该点时，函数值趋于不同的值。证对任意点，因 令，于是有 由于上式当沿平行于虚轴的方向趋于点时（即），其极限为；当沿平行于实轴的方向趋于点时（即），其极限为，所以 不存在，故在点处不可导。 由点的任意性，函数于复平面上处处不可导。 若函数定义在区域内，则函数在区域内为解析函数的充分必要条件是： 与在内可微。 在内成立。 条件称为柯西黎曼条件或C. R.条件。 函数在区域内为解析函数的充分必要条件是： 在内连续 在内成立例2 试证函数在复平面解析证 令，则 于是 从而有 显然，在复平面上处处连续，且满足C. R.条件，故函数在复平面解析。 函数在区域内为解析函数的充分必要条件是为的共轭调和函数。例3 设，试求以为实部的解析函数，使得 解 依C. R.条件有 于是 由此得 从而有 因此 （为任意常数）故得 将代入上式，得 由此得，故得 经验证，所得既为所求。复变函数期末复习提要第3章：初等函数 理解与的定义及其主要性质；知道支点概念。 幂函数定义3.1设，为正整数，称为幂函数根式函数定义3.3 设，称满足 （为不小于2的正整数）的为的次根式函数，或简称根式函数，记作根式函数为多值函数，它不是解析函数对于每一个确定的，都有个不同的与之对应，即有（3.1）因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出个单值函数定义3.4设函数为多值函数，若当变点从起始点出发绕一条包围点的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点时，函数从一个支变到另一个支，则称点为函数的支点根式函数的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数 指数函数定义3.5 设，称 （3.2）为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即 对任意二复数与,有 在复平面上为解析函数，且有 对任意一复数，有 （：整数） 只以(为整数)为周期 的充分必要条件是 （为整数） 不存在 设，若，则；若，则这便是欧拉公式 若，则例1试证证：设，由定义得及（实）三角函数的性质得 对数函数定义3.6 设，称满足的为的对数函数，记作令由定义3.6可得 （：整数）即对于每一个，有无穷个不同的，即有 （3.3）与之对应，因此，对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数 例2 计算解： （：整数）三角函数定义3.7设为复数，称 与分别为的正弦函数和余弦函数，分别记作 与 正、余弦 函数的性质： 与在复平面解析，且有 三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得 仅在处为零，仅在处为零，其中的为整数 与均以（为整数)为周期； 命题“若为复数，则”不真 与均不存在 例3试证证：由定义可得例4计算的值解 由定义得 复变函数期末复习提要第4章：解析函数的积分理论理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式；了解刘维尔定理、最大模原理，掌握证明它们的方法；掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。 积分基本定理定理4.2 设为复平面上的单连通区域，为内的任意一条围线（图4-3），若在内解析，则定理4.4 设有围线，其中中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在的内部；又设为由的内部与的外部相交的部分组成的复连通区域（图4-4），若在内解析，且在闭区域上连续，则（4.6）积分基本公式定理4.5 设是以围线为边界的单连通区域（图4-6），若在内解析，且在上连续，则（4.11）例1计算积分。解 首先，识别积分类型由于被积函数在积分路径内部含有两个奇点与，所以，想到用“挖奇点”法来计算。其次，为了用“挖奇点”法，作，由定理4.4有最后，计算上式右端两个积分，对这两个积分分别重复例4.4的解题步骤，得 故 高阶导数公式定理4.6 设是以围线为边界的单连通区域（图4-7），若在内解析，且在上连续，则在区域内有各阶导数，并且有（4.15）例2计算积分。解 由高阶导数公式 刘维尔定理定理4.9 若在复平面上解析，且有界，则必为常数。最大模原理定理4.12设为区域，为有界闭区域，函数在内不是常数，若在内解析，且在上连续，则其中的为在上的最大值。 最大模原理为我们提供了一种证明在区域内解析的函数为常数的方法：只须证对内某点有即可，其中的为在上的最大值。 莫瑞拉定理 定理4.15设在单连通区域内连续，为内任意一条围线，若则在内解析。 莫瑞拉定理不仅给出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理4.2（积分基本定理）一起可得解析函数的又一等价定义。复变函数期末复习提要第5章：解析函数的幂级数表示了解复级数的基本概念；理解解析函数的幂级数表示；理解收敛圆及收敛半径的概念；熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法；了解解析函数的零点并掌握其判别方法；熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法； 了解解析函数的唯一性定理，掌握其证明方法。 幂级数定义5.7 称形如 （5.5）或 （5.6）的级数为幂级数，其中均为复常数。 收敛圆 收敛半径 对于级数（5.5），总存在圆周，使得级数（5.5）在的内部绝对收敛，在的外部发散我们称圆为级数（5.5）的收敛圆，称为级数（5.5）的收敛半径。求收敛半径的方法与数学分析中的方法一样。定理5.7 对于级数（5.5），若极限存在（有限或无限），则极限存在，并且有其中的为级数（5.5）的收敛半径当时，规定，当时，规定。 解析函数的幂级数表示 定理5.9 设为区域，点，圆含于（图5-1），若函数在内解析，则在内有 （5.7）其中 （5.8）且上述展式是唯一的。例1 试将在点展成泰勒级数。解 因为是的唯一有限奇点，所以，可在内展成泰勒级数，有解析函数的零点定义4.8 设函数在点解析，若，则称点为的零点，若的零点满足，但则称点为函数的级（阶）零点。 计算的零点的级别的方法 定理5.11点是不恒为零的解析函数的级零点的充分必要条件是其中，在点解析，且。例2 试判断点是函数的几级零点。解 因为所以，若令，则在点解析，且，即满足定理5.11的条件，故点为函数的二级零点。解析函数的唯一性定理5.13若函数与在区域内解析。为内一无穷点集，且在内至少有一个聚点。在上成立，则在内成立。解析函数的唯一性定理可以用来在复平面证明我们过去熟知的一些等式。复变函数期末复习提要第6章：解析函数的罗朗级数表示了解双边幂级数的有关概念；理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。定义6.1 称级数 （6.1）为双边幂级数，其中与为复常数，称为双边幂级数（6.1）的系数定义6.2若级数（6.1）在圆环内收敛，则称此圆环为级数（61）的收敛圆环类似幂级数，双边幂级数有如下定理：定理6.1若级数（6.1）的收敛圆环为，则级数（6.1）在内绝对收敛，且在内每个较小的同心闭圆环上一致收敛，其和函数在内为解析函数定理6.2若函数在圆环内解析，则在内可展成双边幂级数为 （6.4）其中 （6.5）这里的为圆周，并且系数被及圆环唯一确定例1 试将在圆环内展成罗朗级数解 首先，知道在圆环内解析，所以，在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的其次，利用展式将展成罗朗级数由得 及 故 例2 试将在点的去心邻域内展成罗朗级数解 首先，确定使在其中解析的点的最大去心邻域为其次，将展成罗朗级数，有 孤立奇点的分类定义6.3 设点为函数的奇点，若在点的某个去心邻域内解析，则称点为函数的孤立奇点定义6.4 设点为函数的孤立奇点：若在点的罗朗级数的主要部分为零，则称点为的可去奇点；若在点的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为则称点为的级（阶）极点；若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本性奇点依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点为的本性奇点函数在孤立奇点的去心邻域内的性质函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理6.3 若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：点为的可去奇点；函数在点的某个去心邻域内有界函数在极点的去心邻域内的性质定理6.4 若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的点为的级极点；在点的某个去心邻域内可表示为其中的在点的邻域 内解析，且；点为的级零点（可去奇点视作解析点时）定理6.5 点为函数的极点的充分必要条件是函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理6.6 点为函数的本性奇点的充分必要条件是不存在，即当时，既不趋于有限值，也不趋于定理6.7 若点为的本性奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则点必为的本性奇点例3 设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别解 首先，求的奇点的奇点出自方程的解解方程得 若设，则易知为的孤立奇点另外，因所以，由零点的定义知为的一级零点从而知均为的一级极点复变函数期末复习提要第7章：留数及其应用理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法； 理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。定义7.1 设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在上解析，则称为在点的留数（或留数），记作或，即 （7.1）例1 设，求解法1 由（7.1）式得 注意：这里的积分路径的半径并非只能取，只须使半径小于1即可满足定义7.1的条件解法2 因点为的孤立奇点，所以，在内有 由此得，依（7.2）式得解法3 因点为的一级极点，所以，依（7.3）式得 解法4 因点为的一级极点，所以，由（7.4）式得 定义7.2设为函数的孤立奇点，为圆周：，若在内解析，则称为函数在点的留数（或留数），记作或，即 （7.6）例2 设，求解 取圆周，由（7.6）式得定理7.1 设区域是由围线的内部构成（如图），若函数在内除含有限个奇点外解析，且在上除点外连续，则 （7.8） a1c1 a2c2 a3c3 ancnGc例3计算积分解 首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点由求出被积函数的奇点有 与 因，所以，又因，故，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点其次，经检验，由（7.8）式得