MATHEMATICA在高等代数与微积分中的应用.doc

MATHEMATICA在高等代数与微积分中的应用1 高等代数运算1.1 矩阵的输入、表输入：例：输入矩阵 命令：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9不过，我们看到输出的结果不是矩阵形式，如果希望得到矩阵形式，可再使用函数MatrixForm，如： 或者：、二阶方阵可直接用模板输入单击输入面板上的“ ”，再输入矩阵的元素即可，例如，求矩阵的逆：求矩阵逆的函数是：Inverse，或：两种不同的使用方式或：、菜单来输入操作：“输入”“创建表单矩阵面板T” 对话框选择“矩阵” 输入行数和列数 空白矩阵计算结果如下图示：例：、增加行与列按Ctrl+ Shift +“，”； 增加行，Ctrl+“”增加列。、输入任意矩阵例：输入任意矩阵，可用命令：Arraya,2,2 / MatrixFormArraya，m，n 创建m行、n列的矩阵，元素为ai，j 、创建一个n阶单位矩阵：IdentityMatrixn、创建一个对角线上为表list的元素的方阵：DiagonalMatrix list 例： a1=1,2,3,4,5DiagonalMatrixa1 / MatrixForm1.2 MATHEMATICA的矩阵运算命令(1) a=a1,a2,an功能：定义一个一维向量（），这里是数或字母(2) a=Tablefj，j,n 例： (3) a=a11,a12,a1n,a21,a22,a2n,am1,am2,amn功能: 定义一个矩阵: 例：(4) a=Tablefi,j，i，m，j，n功能: 定义一个分量可以用fi,j计算的矩阵，其中f是关于i和j的函数，给出矩阵在第i行第j列的元素值例：(5) MatrixForma 功能：把a按通常的矩阵或向量形式输出，其中a是矩阵或向量(6) DiagonalMatrixlist功能：使用列表中list的元素生成一个对角矩阵.例：(7) IdentityMatrixn 功能：生成n阶单位阵(8) A+B 功能：求A与B的和, 这里A与B都是矩阵或都是向量(9) A-B 功能：求A与B的差这里A与B都是矩阵或都是向量(10) k*A 功能：求常数k与A的数乘，这里A是矩阵或向量(11) A.B 功能：求矩阵A与矩阵B的乘积，注意A与B之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点(12) a.b 功能：求向量a与向量b的内积，注意a与b之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点(13) A.b或b.A 功能：求矩阵A与向量b的乘积，注意A与b之间的乘号“.”必须使用数字键盘上的小数点(14).TransposeA 功能：求矩阵A的转置矩阵.(15). InverseA 功能：求矩阵A的逆矩阵(16). MatrixPowerA，n 功能:计算方阵A的n次幂(17). DetA功能:求方阵A的行列式(18) ai, j 功能：取矩阵a的位于第i行，第j列的元素.(19). ai 功能：取矩阵a的第i行的所有元素或取向量a的第i个分量.(20) Transposeaj 功能：取矩阵a的第j列的所有元素.1.3 多项式运算命令 PolynomialGCDf,g 功能：求多项式f、g的最大公因式。例： f=4 x4-2 x3-16 x2+5 x+9;g=2 x3-x2-5 x+4;PolynomialGCDf,g PolynomialQuotientf,g,x 功能: 求g除f的商，x为变量。 PolynomialRemainderf,g,x 功能：求g除f的余式，x为变量。 Lengthq1功能：求表q1中元素的个数。 Expandu功能：Expandf 把分式u的分子展开,分母不变且被看成单项。例： f=4 x4-2 x3-16 x2+5 x+9;g=2 x3-x2-5 x+4;Expandf/g Collectexpr，x，y 将expr表示成x的多项式，再把多项式的每一项系数表示成y的多项式。 PolynomialLCMp1，p2， 求多项式p1，p2，的最小公倍式。 PowerExpandexpr 将(xy)n分解成 xnyn 的形式。 用mathematica进行分式运算Denominatorf 提取分式f的分母Numeratorf 提取分式f的分子ExpandDenominatorf 展开分式f的分母ExpandNumeratorf 展开分式f的分子Expandf 把分式f的分子展开,分母不变且被看成单项ExpandAllf 把分式f的分母和分子全部展开ExpandAllf, x 只展开分式f中与x匹配的项Togetherf 把分式f的各项通分后再合并成一项Apartf 把分式f拆分成多个分式的和的形式Apartf, x 对指定的变量x（x以外的变量作为常数）,把分式f拆分成多个分式的和的形式Cancelf 把分式f的分子和分母约分Factorf 把分式f的分母和分子因式分解Factorf 把f因式分解。1.3 应用举例：例A 求多项式的最大公因式及相应的、。在高等代数中有以下结论： 最大公因式设F是一个数域，Fx是F上一元多项式环。 定义1 令f(x)和g(x)是Fx的两个多项式.若是Fx的一个多项式h(x)同时整除 f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)与g(x)的一个公因式.定义2 设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式。若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式. 最大公因式的求法 辗转相除法设f(x)和g(x)是Fx的两个多项式且g(x)0，用g(x)除 f(x)，得到商式q(x)及余式r(x)，如果r(x) 0，那么再以r(x)除g(x), 得商式q(x)及余式r(x )，如果r(x ) 0，再以r(x ) 除r(x)，如此继续下去，因为余式的次数每次降低，所以此过程必在有限次后得到这样一个余式r(x)：它整除前一个余式r(x). 这样我们就得到一串等式： f(x)=g(x) q(x)+ r(x) g(x)= r(x) q(x)+ r(x ) r(x)= r(x )q(x)+r(x) （1）r(x)=r(x) q(x)+ r(x)r(x)= r(x) q(x)+ r(x)r(x)= r(x)q(x)则r(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 由(1)的倒数第二个等式得： 令： ， （2） 则： （3）由(1)的倒数第三个等式得： （4）把（4）代入（3），并令 ， （5）即得： （6）一直下去，最后可得到与，使得： （7） 算法描述：根据上述推导及结论，可以得到以下算法： 输入f(x)与g(x)； 辗转相除： 定义数组q1：存储每次带余除法所得的商式。 定义数组r1：存储每次带余除法所得的余式。 While(1) f(x)=g(x) q(x)+ r(x); if(r(x)=0) Break; 添加q(x)到q1，添加r(x)到r1; f(x)=g(x); g(x)=r(x); r1中的最后一个元素就是所求最大公因式. 求与 k= q1中元素的个数；u(x)=1;v(x)=-q1k;for(i=1,ik,i+) w(x)=u(x); u(x)=v(x); v(x)=w(x)-v(x)*q1k-i; 输出结果； mathematic程序f=4 x4-2 x3-16 x2+5 x+9;g=2 x3-x2-5 x+4;f1=f;g1=g;d=PolynomialGCDf,g; (*求多项式f，g的最大公因式*)q1=;WhileTrue, q=PolynomialQuotientf,g,x; (*求g除f的商,x为变量*) r=PolynomialRemainderf,g,x ;(*求g除f的余式,x为变量*) Ifr=0,Break; AppendToq1,q; f=g; g=r; ;k=Lengthq1;u=1;v=-q1k;For i=1,i指出内的字母是x的函数.命令Dt的选项Constants-指出内的字母是常数. 求积分命令： 求不定积分的命令： Integratef，x其中 f：被积函数表达式，x：积分变量，Mathematica对不定积分的计算完成后输出的只是一个结果，而不定积分的结果应是原函数族，因此需要自己加上积分常数C 求定积分的命令： Intergratef，x，a，b其中 f：被积函数表达式，x：积分变量，a：积分下限，b：积分上限 数值积分： Nintegratef,x,a,b 在a,b上求f数值积分Nintegratef,x,a,x1,x2,b 以x1,x2.为分割求a,b上的数值积分数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解特别是对于用Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用2.2 导数的求法 求函数的导数与微分例1 求函数 的一阶导数. 并求 输入：DSina*x*Cosb*x,x/.x-1/(a+b)计算结果： 例2 求函数 的1阶到11阶导数.输入：fx_:=x10+2(x-10)9DoPrintDfx,x,n,n,1,11计算结果：或输入：TableDfx,x,n,n,11则输出集：或输入：fx_:=x10+2(x-10)9TableDfx,x,n,n,11/.x-1则输出集：774840988,-688747446,535693248,-357123312,198434880,-88028640,29998080,-4717440,4354560,3628800,0注： 此处用到“循环语句Do”Do表达式, 循环变量的范围其中，表达式中一般有循环变量, 有多种方法说明循环变量的取值范围. 最完整的格式是：Do表达式, 循环变量名, 最小值, 最大值, 增量其中，当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1.例3 求由方程 确定的隐函数的导数.方法1 使用导数命令，输入:d1=D2 x2-2 x*yx+yx2+x+2 yx+1=0,x其中，输入yx以表示y是x的函数. 输出为对原方程两边求导数后的方程：再解关于的方程, 输入：Solved1,yx （此处的 是单引号）则输出所求结果：方法2 使用微分命令. 输入：Dt2 x2-2x*y+y2+x+2y+1=0,x Solve%,Dty,x则输出：注意： 方法1是用yx 表示导数，而方法2是用Dty,x表示导数例4 求由方程 确定的隐函数的二阶导数.输入:d1=D2 x2-2 x*yx+yx2+x+2 yx+1=0,xd2=Dd1,xSolved1,d2,y x,y x则输出结果但结果是繁分式，对此，可用函数“Simplify”使其化简，如下所示，输入:d1=D2 x2-2 x*yx+yx2+x+2 yx+1=0,xd2=Dd1,xSolved1,d2,y x,y x/Simplify则输出结果利用： 例5 求由参数方程 确定的函数的导数.在数学分析中已有结果： 若： ，则： ， .于是求一阶导数，可输入命令：DEt*Sint,t/DEt*Cost,t则得到：求二阶导数，则再输入：D%,t/DEt*Cost,t /Simplify则得到：2.3 求二元多项式函数的极值 理论基础： 在数学分析中有以下结论： 极值与驻点极值：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对在此邻域内除点外的任意点，均有（或者），则称点为函数的极大值点（或极小值点）. 称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。驻点： 使同时成立的实数点称为函数的驻点. 极值存在的必要条件设函数在点的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果是极值点，则必有. 极值存在的充分条件设函数在点的某个邻域内具有二阶连续偏导数，且是驻点. 设，,，则 当时，点是极值点，且当时，点是极大值点；当时，点是极小值点； 当时，点不是极值点； 当时，点有可能是极值点也可能不是极值点. 算法描述：根据上述结论，可以得到以下算法： 输入； 求、与、； 求； 解方程组：，取其实数解得到的驻点集S； 依次取每个，计算，依照极值存在的充分条来判断是否为极值点： 若，则不是极值点； 若且，则是极大值； 若且，则是极小值； 若，则不能确定是否为极值点； 相关的mathematic命令 Df x,y,x 功能：求函数f(x,y) 对x的偏导数。 Dfx,y, x, n 功能: 求多元函数f(x,y)对x的n阶偏导数 Df x,y,x,y 功能：求多元函数f(x,y) 对x、y的混合