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1 附录 数学准备附录 数学准备 1 矢量代数 矢量代数 2 梯度 散度和旋度 梯度 散度和旋度 3 关于散度和旋度的一些定理 关于散度和旋度的一些定理 4 算符运算公式 算符运算公式 5 并矢和张量 并矢和张量 6 曲线正交坐标系曲线正交坐标系 7 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 2 321 uuu 321 eee vvv 在一般曲线正交坐标系中 空间一 点 在一般曲线正交坐标系中 空间一 点P的位置 用三个坐标表示的位置 用三个坐标表示 6 曲线正交坐标系 沿这些坐标增加方向的单位矢量 曲线正交坐标系 沿这些坐标增加方向的单位矢量 3 333222111 dd dd dduhluhluhl 在在P点上任一矢量可以写为点上任一矢量可以写为 332211 efefeff vvv v 沿这三个方向的线元沿这三个方向的线元 4 在曲线正交坐标系中有一般公式在曲线正交坐标系中有一般公式 3 33 2 22 1 11 111 e uh e uh e uh vvv 321 3 213 2 132 1321 1 fhh u fhh u fhh uhhh f v 5 311 2 22 121 233 1 11 313 122 3 33 232 1 1 1 efh u fh uhh efh u fh uhh efh u fh uhh f v v v v 33 21 322 13 211 32 1321 2 1 uh hh uuh hh uuh hh uhhh 6 常用的曲线正交坐标系 常用的曲线正交坐标系 1 柱坐标系 柱坐标系 z ff r rf rr f e z ee r hrhh zuuru z r zr 11 1 1 321 321 v vvv 7 z rzr r z e f r rf rr e r f z f e z ff r f vvv v 111 2 2 2 2 2 2 11 zrr r rr 8 2 球坐标系 球坐标系 f r f r fr rr f e r e r e r rhrhh uuru r r sin 1 sin sin 11 sin 11 sin 1 2 2 321 321 v vvv 9 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 rrr r rr e f rf rr erf r f r e f f r f r r r v vv v 1 sin 11 sin sin 1 10 7 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下 拉普拉斯方 程用球坐标表示为 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下 拉普拉斯方 程用球坐标表示为 0sin sin 1 2 r r r 11 用分离变量法解此方程 设用分离变量法解此方程 设 rRr d d d d dr dR r dr d R sin sin 11 2 此式左边为此式左边为r的函数 右边为 的函数 只有当它们都等于常数时才有可能相等 的函数 右边为 的函数 只有当它们都等于常数时才有可能相等 12 令此常数为令此常数为n n 1 则得两个方程 则得两个方程 0 1 2 Rnn dr dR r dr d 0sin 1 sin nn d d d d 13 容易求出解容易求出解 1 n n n n r b raR nn ba 为任意常数为任意常数 14 作代换变换角度方程作代换变换角度方程 cos 0 1 1 2 nn d d d d 15 上式称为勒让德方程 只有当上式称为勒让德方程 只有当n为整数时 才存在 为整数时 才存在 1 1区间的有限解 其解称 为勒让德多项式 记为 区间的有限解 其解称 为勒让德多项式 记为 cos n P 得通解得通解 cos 0 1 n n n n n n P r b rar 16 用简单方法求出Pn cos 的显示式 用简单方法求出Pn cos 的显示式 r 1 当r 0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解 将下式描述的电势代入即可验证 当r 0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解 将下式描述的电势代入即可验证 17 对拉普拉斯方程作用算符对拉普拉斯方程作用算符 z 0 22 zz z n n z 为一解若 亦为一解 亦为解 为一解若 亦为一解 亦为解 18 因此 拉普拉斯方程具有特解因此 拉普拉斯方程具有特解 1 r cos 11 33 rr z rz 1cos3 131 2 35 22 2 2 rr rz rz 这些特解都具有形式这些特解都具有形式 cos 1 1 n n P r 19 cos 0 1 n n n n n n P r b rar cos 1 1 n n P r 比较上两式并按习惯定义所 选的常数因子 得 比较上两式并按习惯定义所 选的常数因子 得 20 cos3cos5 2 1 cos 1cos3 2 1 cos c