【答案】--初三数学寒假.pdf

目录目录 目录 1 二次根式 4 1 二次根式的概念 性质 4 知识操练 4 2 最简二次根式 5 知识操练 5 3 同类二次根式 6 知识操练 1 6 知识操练 2 7 4 二次根式的加减 7 知识操练 1 7 知识操练 2 10 5 二次根式的乘除 11 知识操练 1 11 知识操练 2 12 6 二次根式的混合运算 15 知识操练 15 一元二次方程 19 1 一元二次方程的概念及一般形式 19 知识操练 19 2 直接开平方配方法解一元二次方程 20 知识操练 20 3 公式法解一元二次方程 21 知识操练 21 4 因式分解法解一元二次方程 22 知识操练 22 5 根与系数的关系 24 知识操练 24 6 与一元二次方程有关的分式方程 25 知识操练 25 7 一元二次方程的应用 26 知识操练 26 圆 28 第一节 和圆有关的概念 28 知识操练 28 第二节 直线和园的位置关系 31 知识操练 1 31 知识操练 2 35 第三节 圆和圆的位置关系 38 知识操练 1 38 知识操练 2 39 第四节 和弧有关的计算 41 知识操练 1 41 知识操练 2 43 第五节 圆和正多边形的关系 45 知识操练 1 45 知识操练 2 48 第六节 圆柱和圆锥的侧面展开图 49 知识操练 1 49 知识操练 2 50 概率初步 51 1 随机事件的概率 51 知识操练 1 51 知识操练 2 52 2 列表法求概率 54 知识操练 1 54 知识操练 2 55 知识操练 3 59 3 树状图求概率 63 知识操练 1 63 知识操练 2 68 二次函数 71 1 二次函数及其图象 71 2 用函数观点看一元二次方程 78 3 实际问题与二次函数 81 相似 82 1 图形的相似 82 2 相似三角形 82 锐角三角函数 86 1 锐角三角函数 86 2 解直角三角形 88 投影与视图 89 二次根式二次根式 1 二次根式的概念 性质二次根式的概念 性质 知识操练知识操练 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 B 分析 注意条件 被开方数大于或等于 0 分母不为 0 7 C 分析 二次根式a 就是指非负数 a 的算术平方根 点拨 二次根式的被开方数所要满足的条件是被开方数为非负数 8 D 分析 每一个命题要看是否具备二次根式所有条件 点拨 A B C 缺少另一部分条件或结论不够完整 9 B 分析 由平方根定义可得 一个正数的平方根有两个 它们互为相反数 点拨 5 2先进行化简 化成一个正数 再求它的平方根 10 D 分析 一个二次根式是否有意义 关键在于被开方数是否为非负数 如果被开方数为分式 还要 看分母是否不为 0 点拨 利用二次根式的被开方数为非负数解答 11 a a 0 12 x 1 且 x 2 13 x 1 2 14 x 1 15 x 3 16 x 2 1 17 2 5 x 18 x 2 19 x 2 20 5m 21 4 5 0 2 3 2 2 最简二次根式最简二次根式 知识操练知识操练 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 A 7 B 8 B 9 3 10 m 11 1 y 0 1 1 y y 1 12 3a b 2 3a 2 b a 3 2 b 0 b 2 22 4444aabb 22 2 2 ab a 2 2 b a b 4 点拨 掌握二次根式的双重性负性 13 由 x 3 得 3 xb 0 1 ab a 点拔 a3 2a2b ab2 a a b 2 15 b a 1 2 2 ab 1 16 4c 3 同类二次根式同类二次根式 知识操练知识操练 1 1 B 点拨 应先化为最简二次根式 2 D 点拨 第 小题3a 2a是进行二次根式的加减运算 需要把被开方数相同的二次根式合并 而3a与2a并非被开方数相同的二次根式 不能合并 3 A 4 D 分析 判断是否为同类二次根式 必须先将二次根式化简为最简二次根式 再看被开方数 被 开方数相同的为同类二次根式 5 D 点拨 由题意可知 这两个二次根式化简后的被开方数相同 因此 先把这两个二次根式进行 化简 2 2 6 a 2 2 6 6 6 a 1 3 126a 6 23 4 a 323a 依题意 12 6a 2a 3 解得 a 15 8 当 a 时 0 23 4 a 0 故选 D 此题的易错之处在于最后一步 根据题意 在求出 a 的值后 有些同学没有检验被开方数的正负 就盲目选择了答案 有些题目出题人专门在此设下陷阱 专抓那些不细心的同学 6 C 7 B 8 D 9 7 2 知识操练知识操练 2 1 B 2 C 3 D 4 D 5 33 6 33 7 0 8 3 9 3 2 2 10 0 11 2 12 42 17 27123 32 333 3 33 13 原式 4 3 4 23 3 4 二次根式的加减 二次根式的加减 知识操练知识操练 1 1 C 2 B 点拨 a 0 a 0 b 0 b 0 3 D 4 A 5 102 23 点拨 分两种情况 当腰长为 23时 则三角形的三边长为 23 23 52 由于 23 23 4323 且 52 23 52 所以能构成三角形 此时 三角形的周长为 52 52 23 102 23 6 2 76 7 43 8 20 2 9 2 2 2 10 4 11 原式12 323 33 12 原式 2 23 2 2 2 2 3 3 3 2 8 2 2 32 23 1 2 2 2 3 3 1 4 2 32 23 1 2 2 2 3 3 1 4 2 32 2 2 3 3 1 2 1 4 3 2 4 3 3 9 4 2 点拨 题目采用了先化简再去括号 最后进行合并的方法 也可先去括再化简 然后进行合并 应注意的是符号问题 不要在符号上出现低级错误 13 原式 2 xy xy 2 xy x 2 xy y xy xy xy xy 1 x xy 1 y xy xy xy xy 1 x 1 y 1 xy xy 点拨 题目带有一定的综合性 把二次根式的化简和加减运算与分式的运算结合在一起 加大了 计算难度 提升了运算量 14 4 3 3 9 4 2 5 49 15 S 205 BC 85 AE BC 85 AE 205 AE 5 2 B 30 AB 2AE 5 ABCD 周长 C AB BC CD DA 2AB 2BC 2 5 2 85 10 165 所求 ABCD 周长 C 的值为 10 165 16 6 5 7 6 6 5 7 6 2 6 5 7 2 6 2 4 6 2 12 2 6 6 5 7 2 12 235 2 6 35 6 36 6 35 26 2 5 7 2 又 2 6 0 5 7 0 26 5 7 2 6 5 7 0 6 5 7 6 17 862 3624 xy xy 由 得 x 2 2 3 x y 原式 0 2736 36 6 点拔 由已知求出 x y 的值 18 y x x y 2 yx xy 2 yx xy 22 2 xy xy 2 2 2 xyxy xy 25 65 2 33 3 点拔 y x x y 2 yx xy 19 原式 a a b a c b c a a b a c b c a 点拔 由图知 a 0 b0 再判断绝对值中的符号 20 x2 2y 3 1 y2 2x 3 2 1 2 得 x2 y2 2 x y 0 x y x y 2 0 x y x y 0 x y 2 1 2 得 x2 y2 2 x y 23 x2 y2 2 2 3 x2 y2 2 3 1 即 x y 2 2xy 2 3 1 xy 2 3 yx xy 22 xy xy 2 3 1 23 2 3 1 23 2 点拔 由已知两式相减得 x y 2 由已知两式相加结合 x y 2 得 x2 y2 2 3 1 知识操练知识操练 2 1 B 2 C 3 D 4 D 5 33 6 33 7 0 8 3 9 3 2 2 10 0 11 2 12 42 17 27123 32 333 3 33 13 原式 4 3 4 23 3 5 二次根式的乘除二次根式的乘除 知识操练知识操练 1 1 D 2 C 3 1 点拨 7 52 2007 7 52 2007 1 4950 725 725 20072007 4 22 7 7 aa 点拨 4914 24 aa 22 7 a 22 7 7 aa 5 40 6 3 分析 a2 33 3 a 3 7 x 4 3 1 9 3 8 12 9 1 10 x 3 1 11 1 4 2 12 x 3 2 7 2 7 13 2 5 2 5 5 14 2x 15 1 原式 67 2 原式 1723 3 原式 nn 1 16 登山者看到的原水平线的距离为 5 8 1 n d 现在的水平线的距离为 5 2 8 2 n d 2 2 5 2 8 5 8 2 1 n n d d 知识操练知识操练 2 1 C 2 C 3 4 分析 解不等式时 在不等式两边都除以负数 不等号的方向要改变 1 3 x 1 3 x 1 3 13 x 3 2 最大的整数解是 4 4 x 3 2 x 3 5 62 2 6 224 7 因为 a 5 8b b2 16 所以 a 5 b 4 2 0 又因为 a 5 0 b 4 2 0 所以 a 5 b 4 所以 原式 5 5 5 4 4 5 5 45 54 5 5 4 5 10 4 105 9 10 5 10 8 10 9 10 2 5 点拨 题中只给出了关于 a b 的一个条件等式 欲求 a b 的值 自然联想到非负数的性质 8 1 c 2222 8 12 ab 20 4 5 25 S a b 8 12 9616 6 46 2 因为 S ab 所以 b 3030 15 22 S a c 2222 2 15 17ab 3 b 2222 20 5 20 515ca S a b 15 5 3 5 5 53 点拨 认真领会勾股定理在解题中的不同应用 已知 a b c S 中的任意两个量 可求另外两 个量 即知二求二 9 1 2 3 5 2 3 5 2 2 3 5 2 2 3 2 23 5 5 2 2 3 215 5 215 6 2 2 3 2008 2 3 2006 2 3 2006 2 3 2006 2 3 2 2 3 2 3 2006 2 3 2 22 3 2 2006 2 3 2 2 3 2 7 43 点拨 这两题的计算都有很强的技巧性 第 1 小题巧妙地运用了平方差公式和完全平方公式 使计算方便 快捷 对于第 2 小题 巧妙地运用乘法结合律 也简化了运算 因此 我们应 根据题目自身的特点选择相应的方法 10 7 2 2 n ab 2 ab a 0 b 0 证明 因为 a 0 b 0 所以 a b 0 所以 a 2ab b 0 2ab a b 所以ab 2 ab 点拨 题目给出大量的信息 首先应分清信息中 2 与 1 3 与 3 2 6 与 3 的对应关系 即后边的 常数是前边一个常数的 1 2 然后进行类比 推理 11 题目错在第一步 b a b a 正确的解法是 因为 a b 3 ab 2 所以 a 0 b 0 所以 b a a b b a a a b a b b 2 ab a 2 ab b ab a ab b ab ab ab 3 2 2 12 1 4 4 15 4 4 15 验证 4 4 15 332 2 44444 41 4 151541 4 4 15 2 反映的规律 n 2 1 n n 2 1 n n n 证明 n 2 1 n n 332 222 1 111 nnnnn nn nnn 2 1 n n n 点拨 解决阅读题的关键是看懂题目所给的阅读材料 此题属类比型总计题 用题目中所给的 信息验证所给的问题 要通过题目中每一步变形的情况 类比出自己进行验证时所采取的措施 联 系本题 第一步 先把根号外的因式平方后移到根号内 第二步 在被开方数的分子上配上一个 常数 进行分解变形 第三步 整理结果 13 10 31 14 4 2 15 设 高为 x 则 310 215x 1203 x 1203 6 150 20 12 50 505 22 点拨 长方体的体积等于长 宽 高 16 S 1 2 42 30 1 2 42 30 1 2 3 14 3 10 3 2 7 2 53 35 2 点拨 直接用 S ABC 1 2 底 高 6 二次根式的二次根式的混合运算混合运算 知识操练知识操练 1 原式 3 2 2 2 5 2 4 2 x x xx x 2 9 2 x x 3 2 2 x x 2 3 3 x xx 3 2 2 x x 2x 6 当 x 32 时 原式 2 32 6 22 2 因为 a b 2 3 2 3 4 a b 2 3 2 3 23 ab 2 3 2 3 1 所以 a b b a 38 1 324 22 ab baba ab ba 3 原式 xxxx x1 2 1 2 2 2 当 2 x 时 原式 2 2 2 1 4 22 112 2 y xyxyxxyy y yx yxyx yxyx 2 2 y yx yxyx y 2 2 2 yx yx 把 23 x23 y代入上式 得 原式 2 6 22 32 23 23 23 23 5 当x 2时 原式 2 2 2 11 2 1 2 2 2 xxxx x 6 原式 yxxy y yxxy x 22 yxxy yx 22 yxxy yxyx xy yx 当 12 12 yx时 xy yx 2 1 2 12 12 12 12 7 8 原式 1 1 1 1 2 1 x xxx x 1 2 x xx 2 2x 当6x 时 原式 2 6 2 4 9 原 式 2 1 1 1 xx x x x x 2 1 1x 当 21x 时 原式 2 11 2 2 10 原式 a a aa a 1 1 2 1 2 2 a a aaa a 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 aa a aa a 1 3 a 当13 a时 原式 3 3 3 113 3 11 12 原式 a ba baa baba 2 ba 1 2 2 112 1 13 x x x x x x x x x x x x1 1 2 1 11 2 1 22 x x x xx1 1 2 2 x x x xx1 1 2 2 x 当时13 x 原式 33213 14 原式 1 1 1 1 1 1 2 a a a a a 1 1 1 1 aa 1 2 2 a 当 2 a 时 原式 2 1 2 2 2 15 16 原式 x x xx xx x x6 1 6 6 6 1 x x x x66 12 x 当 x 3时 原式 34 3 12 17 xxxx x 2 1 2 4 2 2 2 xxxx xx xxx x1 2 1 2 2 2 2 1 2 4 2 当 2 x 时 原式 2 2 2 1 18 原式 2 1 1 1 1 aa aaa 1 11 aa aa 1 1a 当31a 时 原式 1 3 3 3 19 原式 1 1 x xxx 1 11 2 2 x x 1 2 xx x xx 2 1 1 x 1 x 3 1 原式 3 1 1 3 2 20 一元二次方程一元二次方程 1 一元二次方程的概念及一般形式一元二次方程的概念及一般形式 知识操练知识操练 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 C 7 A 8 D 9 A 10 C 11 6 12 2 13 2006 14 2 y3y1 0 15 y2 3y 2 0 16 如 x2 0 x2 x 0 17 032 2 yy 18 2 19 y2 y 2 0 2 直接开平方配方法解一元二次方程 直接开平方配方法解一元二次方程 知识操练知识操练 1 D 2 C 3 1 8 4 9 4 3 2 5 x1 2 1313 22 x 6 解 2 2830 xx 2 3 4 2 xx 2 3 444 2 xx 2 5 2 2 x 10 2 2 x 12 1010 2 2 22 xx 7 2 3 4 3 公式法解一元二次方程 公式法解一元二次方程 知识操练知识操练 1 A 2 C 3 C 4 k 1 4 且0k 5 1 6 1 x1 2 1 x2 2 2 8x2 63x 8 0 a 8 b 63 3 nx2 n2 1 x n 0 x1 n 1 x2 n 7 I kx2 2k 3 x k 3 0 是关于 x 的一元二次方程 9 3 4 32 2 kkk 由求根公式 得 k k x 2 3 23 1 x或1 3 k x II 0 k 11 3 k 而 21 xx 1 1 x 1 3 2 k x 由题意 有 1 1 3 31 1 3 b k k bk k k 解之 得 8 5 b k 一次函数的解析式为816 xy 反比例函数的解析式为 x y 8 8 1 2 2 21 4 2 mmm 22 441 448mmmm 90 不论m取何值 方程总有两个不相等实数根 2 由原方程可得 1 2 21 9 21 3 22 mm x 12 21xmxm 12 3xx 又 12 2 1 1 m xx m 2 31 1 m m 4m 经检验 4m 符合题意 m的值为 4 9 k 9 8 k 9 8 k 9 8 10 1 2 k 1 2 4 k2 1 4k2 8k 4 4k2 4 8k 8 原方程有两个不相等的实数根 8k 8 0 解得 k 1 即实数 k 的取值范围是 k 1 2 假设 0 是方程的一个根 则代入得 02 2 k 1 0 k2 1 0 解得 k 1 或 k 1 舍去 即当 k 1 时 0 就为原方程的一个根 此时 原方程变为 x2 4x 0 解得 x1 0 x2 4 所以它的另一个根是 4 4 因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 知识操练知识操练 1 C 2 D 3 7 4 1 2x 2 7x 5 不惟一 2 140 x 6 2 7 x1 1 x2 3 8 解 7 1 1 22 xxxx 7 323 xxxx 7 2 xx 06 2 xx 17 2 xx 即 7 1 1 22 xxxx1 9 解法一 2 3 4 3 0 xx x 3 34 0 xxx 3 53 0 xx 30 x 或5 30 x 12 3 3 5 xx 解法二 22 694120 xxxx 2 51890 xx 2 18 18 4 5 9 2 5 x 18 12 10 12 3 3 5 xx 5 根与系数的关系根与系数的关系 知识操练知识操练 1 A 2 D 3 B 4 D 5 024 2 xx 6 2 1 7 分析 有实数根 则 0 且16 21 2 2 2 1 xxxx 联立解得m的值 1 k 6 2 k 8 时 x1 3 x2 5 k 12 时 x1 5 x2 7 8 依题意有 12 2 12 22 1212 22 2 2 5 16 4 2 4 5 0 xxm x xm xxx x mm 由 解得 1 m或15 m 又由 可知m 4 9 15 m舍去 故1 m 9 略证 假设原方程有整数根 由 1997 1997 21 21 xx xx 可得 1 x 2 x均为整数根 1997 21 xx 1 x 2 x均为奇数 但 21 xx 应为偶数 这与1997 21 xx相矛盾 10 1 由k 0 和 0 k 0 1 21 xx k k xx 4 1 21 21 2 212121 9 2 2 2 xxxxxxxx 2 3 4 9 k k 5 9 k 而k 0 不存在 2 2 1 2 2 1 x x x x 4 21 2 21 xx xx 1 4 k 要使 1 4 k 的值为整数 而k 为整数 1 k只能取 1 2 4 又k 0 存在整数k的值为 2 3 5 11 1 2 k 2 3 k时周长为 14 4 k 时周长为 16 6 与一元二次方程有关的分式方程与一元二次方程有关的分式方程 知识操练知识操练 1 A 2 C 3 3 4 去分母得5 1 3 0 xx 整理得480 x 解之得2x 经检验 2x 是原分式方程的解 5 方程两边同乘 11 xxx 得 121121 2 xxxxxxx 2332 2222xxxxxx 03 2 xx 解这个方程 得0 1 x 3 1 2 x 检验 当0 1 x时 x 011 xx 当 3 1 2 x时 x 1 1 0 xx 所以 3 1 x是原方程的解 6 去分母 得 2 3 21 1 0 xxxx 整理 得 2 3210 xx 解方程 得 12 1 1 3 xx 经检验 1 1x 是增根 2 1 3 x 是原方程的根 原方程的根是 1 3 x 7 一元二次方程的应用 一元二次方程的应用 知识操练知识操练 1 C 2 A 3 3 1 有道理 2 2 2 4 22kkk 无论k为何实数 方程总有实数根 2 当 a b b c k 2 a b c k 3 当 a c b c k 2 a b c k 3 所以 ABC 的周长 k 3 4 解 设每盒茶叶的进价为 x 元 则 2400 1 20 50 5 50 2400350 xx x 整理 得 1200 100 x x 去分化 化简得 x2 10 x 1200 0 x 40 x 30 0 x1 40 x2 30 舍 经检验 x 40 答 每盒茶叶的进价为 40 元 5 设建议承包正方形水域的边长为 x 千米 根据题意得 5 35 05 025 045 4 22 xxx 即034 2 xx 解得1 1 x 4 3 2 x 不合题意舍去 答 应建议承包 1 千平方米的水域 6 设每年增长的百分数为x 72 81 200 1 200 2 x 解得 202 0 1 x 2 2 2 x 不合题意 舍去 7 设水深x尺 则芦苇长 1 x尺 由题意得 222 1 5 xx 解得 12 x 答 略 8 设平均每月应降低x 则 2 625 1 20 1 6 500 1625 500 x 1 0 1 10 x 2 1 9x 不合题意 舍去 9 3 2秒 当出发16 3 后 面积最大为 64 平方厘米 0 8 秒 10 设道路的宽为x ABa ADb 则 1 22 2 axbxab 22 4 abab x 由于 22 2 22 abababb xb 不合 舍去 故 22 44 ababABADBD x 具体做法是 用绳量出ABAD 再减去BD之长 然后将余下的ABADBD 对折两次 即得道路的宽 11 解 设经销商将这批蟹放养 x 天后再一次性售出 依题意得 20 10 x x 30 1000 10 x 400 x 30 1000 6250 整理 得 x2 50 x 625 0 解得 x1 x2 25 答 经销商放养 25 天后再一次性售出能获利 6250 元 圆圆 第一节 和圆有关的概念第一节 和圆有关的概念 知识操练 知识操练 1 B 2 3 4 D 5 D 6 D 7 C 8 B 9 4 10 135 11 12 或 13 BDC 60 四边形 ABOC 是菱形 Rt ABD Rt ACD 14 6mm 15 1 正确作出图形 2 过 O 作 OC AB 于 D 交于 C 易求 BD 8cm 又 CD 4cm 设半径为 x 则 OD x 4 cm 在 Rt BOD 中 OD2 BD2 OB2 x 4 2 82 x2 x 10 即半径为 10cm 16 1 40 千米 2 AB 50 AC 60 2 120 则 BC 130 而有效半径为 100 千米 故到 C 城不能接到信号 17 1 AB CD BD CA 在 AEC 与 DEB 中 ACE DBE 又 AEC DEB AEC DEB 2 点 B 与点 C 关于直线 OE 对称 由 1 得 BE CE 点 E 在直线 BC 的中垂线上 连接 BO CO BO CO 点 O 在线段 BC 的中垂线上 直线 EO 是线段 BC 的中垂线 点 B 与点 C 关于直线 OE 对称 18 连 DB DC 由 可证 DB DC 又因为 DE DF 可证 DEB DFC 故 BE CF 19 1 作 OE PA 于点 E OF PB 于点 F APC BPC OE OF 可证 POE POF PE PF 又 PE PA PF PB PA PB 2 3 结论成立 证明同 1 20 1 16 21 5n 1 2 不能得到 2005 个扇形 因为 5n 1 不可能等于 2005 21 29 尺 由于枯木上下粗细相差不大 不妨设此枯木为一圆柱体 因为葛藤绕枯木七周而达顶 这样需将 枯木滚动七周 表面展开成 7 个并排的矩形 如下图 每个矩形底边都等于 3 尺 高都等于 20 尺 大矩形的对角线 AB 的长就是葛藤的实长 AB 29 尺 22 提示 连接 OB OC OB OCB OBC 180 BOC 90 BOC 而 ACD 90 A BOC 2 A BCO 90 BOC 90 A ACD BCO 23 1 证明 BOC 120 BAC BOC 60 又 AB AC ABC 是等边三角形 2 BAD 90 24 证明 连结 OD OE BD EC BOD COE 又 OB OC OD OE BOD COE B C AB AC 25 1 PC 是 APB 的平分线 当 PC 是圆的直径 即 PAC 90 时 四边形 PACB 面积最大 在 Rt PAC 中 APC 30 AP PB AB PC 2 S四边形PACB 2S ACP PC AB 2 2 当 PAC 120 时 四边形 PACB 是梯形 PC 是 APB 的平分线 APC BPC CAB 30 APB 60 PAC APB 180 AC PB 且 AP 与 BC 不平行 四边形 PACB 是梯形 当 PAC 60 时 四边形 PACB 是梯形 AC BC 又 BAC 30 ACB 120 PAC ACB 180 BC AP 且 AC 与 PB 不平行 四边形 PACB 是梯形 26 1 略 2 3 m 6 n 5 27 解 易证 ABO CDO BC BO OC CD AB 6 过 A 作 AE CD 垂足为 E AE 6 DE 4 2 2 所以 AD 2 过 O 作 OF AD 垂足为 F AOF 与 DOF 是等腰直角三角形 所 以 OF AD 即 O 到 AD 距离为 28 解 AB AE BE 5 13 18 cm 过 O 作 OM AB 则 AM AB 9 cm OM 2 cm 所以在 Rt OBM 中 BO 11 cm ON EM AM AE 9 5 4 cm 29 证明 在 AEO 和 BFO 中 因为 OA OB 所以 1 2 又因为 C D 是三等分点 所以 3 4 所以 AEO BFO 故 AE BF 连 AC AC CD BD 因为 6 7 ACO DCO 5 7 即 5 6 故 AC AE 即 AE CD BF 第二节 直线和园的位置关系第二节 直线和园的位置关系 知识操练 知识操练 1 1 C 2 C 3 C 4 75 或 15 5 380 6 2 5 7 1 8 1 t1 4 t2 10 P1 4 9 P2 10 9 2 相切 15 3 BCOPC BCPB PBCPOABC AOPO OPB 22 作于 点 t 12AP 12 AO 9OP AO AP 即d r 与相切 3 9 1 过 M 点作MNOA 垂足为 N 连结 MA 2 2 ABMAM 为圆心 1 1 2 AQAB 3 1ONQMMNy 在Rt MNP 中 3 3MPPNx 22 1 9 3 yx 2 62 31 035 yxxx 2 当MOP 为等腰三角形时 若3OPPM 时 3x 若OMPM 时 2 3x 若OMOP 时 有 22 1 3yx 即 22 9 3 3xx 解得 311 2 x 或 311 2 x 舍去 3 当MQO OMP 时 有 MQOM OMOP 即 2 2 3 1 3 3 1 y x y 22 3 1 3 1 33yxyx 2 9 3 33xx 解得 339 2 x 或 339 2 x 舍去 但 339 35 2 不存在满足条件的实数x 使MQO OMP 10 解 1 直线 EF 与 O 相切 理由 如图 连结 OE 则 OE OB OBEOEB AB AC OBEC OEBC OE AC EFAC EFOE 点 E 在 O 上 EF 是 O 的切线 2 如图 作AHBC H 为垂足 并连结 OE 那么 BH 1 2 BC AB 6 1 cos 3 B BH 2 BC 4 OE AC BOE BAC BEOE BCAC 即 46 BEx BE 2 3 x 2 4 3 ECx 在 Rt ECF 中 1 coscos 3 CB 21 cos4 33 CFECCx 所求函数的关系式为 42 39 yx 2 如图 连接 OE DE OF 由 EF DF 与 O 相切 FD FE 且DFOEFO 则 OF 垂直平分 DE 由90DEB BCDE OF BC 则四边形 OBCF 是等腰梯形 OB CF 得 42 39 xx 解得 12 11 x 即 OB 12 11 11 1 证明 C 是劣弧 BD的中点 DACCDB 而ACD 公共 DEC ADC G FH E D BOA C 2 证明 连结OD 由 得 DCEC ACDC 1 2 13CEACAEEC 2 3 13DCAC EC 3DC 由已知3BCDC AB是 O 的直径 90ACB 2 2222 3312ABACCB 2 3AB 3ODOBBCDC 四边形 OBCD 是菱形 DCABDCAB 四边形 ABCD 是梯形 法一 过 C 作 CF 垂直 AB 于 F 连结 OC 则3OBBCOC 60OBC sin60 CF BC 33 sin603 22 CFBC 1139 3 2 33 2224 ABCD SCF ABDC 梯形 法二 接上证得四边形 ABCD 是梯形 又DCAB ADBC 连结 OC 则AOD DOC 和OBC 的边长均为3的等 边三角形 AOD DOC OBC 2 39 3 333 44 AODABCD SS 梯形 3 证明 连结 OC 交 BD 于 G 由 2 得四边形 OBCD 是菱形 OCBD 且OGGC 又已知 OB BH BGCH 90OCHOGB CH 是 O 的切线 12 1 AMAN ABAC A A AMN ABC 2 在 Rt ABC 中 BC 22 ABAC 10 由 1 知 AMN ABC 4 8 MNAMx BCAB 5MNx O 的半径 r 5 2 x 可求得圆心 O 到直线 BC 的距离 d 4812 105 x O 与直线 BC 相切 4812 105 x 5 2 x 解得x 48 49 当x 48 49 时 O 与直线 BC 相切 3 当 P 点落在直线 BC 上时 则点 M 为 AB 的中点 故以下分两种情况讨论 当 0 x 1 时 2 6 PMN ySx 当x 1 时 2 6 16 y 最大 当 1 x 2 时 设 MP 交 BC 于 E NP 交 BC 于 F MB 8 4x MP MA 4x PE 4x 8 4x 8x 8 MNPPEF ySS 2 22 88 66 4 x xx x 2 4 188 3 x 当 4 3 x 时 8y 最大 综上所述 当 4 3 x 时 y值最大 最大值是 8 知识操练 知识操练 2 1 D 2 D 3 B 4 D 5 5 24 6 2 7 7 3 7 86 8 3a 9 TBC 10 1 证明 连结AD OD AB 是O 的直径 ADBC ABC 是等腰三角形 BDDC 又AOBO ODAC DFAC OFOD DFOD DF 是O 的切线 2 AB 是O 的直径 BGAC ABC 是等边三角形 BG 是AC的垂直平分线 GAGC 分 又AGBC 60ACB 60CAGACB ACG 是等边三角形 60AGC 11 B 市受影响 影响时间为 4 时 12 1 sin 1 3 2 至多为南偏东 60 提示 1 过 B 作 A 的切线 BD 连 AD 2 过 C 作 A 的切线 CE 连 AE 13 1 BE 4 22 2 DF 4 3 2 14 1 OD BC A C DE 是 O 的切线 AB BC DE2 BE CE CD2 CE CB C CDE 90 CE2 DE2 CD2等 提示 连 BD 2 BC 是 O 的切线 CE BE DE BE CE DE DE AB A CDE 45 CB2 CD CA C CDE 45 DE 1 2 AB CDCEDE CACBAB 等 15 证明 连结 AD AB 是直径 ADB 90 在 Rt ADC 中 AD 15924 22 DCAC tan CAD 5 15 15 3 AD DC AC 是 O 的切线 CAD B tan CAD tan B 5 15 16 证明 连结 OC BC AB 是直径 ACB 90 又 CAB 30 CBA 60 BC 2 1 AB BO BO BD BC BD BCD BDC 2 1 ABC BCD 30 AO OC ACO 30 ACO BCD ACO OCB 90 BCD OCB 90 DC 是 O 的切线 17 证明 1 连结 OD DC BC 是 O 的直径 BDC 90 在 Rt ADC 中 AE EC DE EC EDC ECD DE 是 O 的切线 EDC B ECD B DCB 90 AC 是 O 的切线 2 设每一份为 k AD 3k DB 2k AB 5k AC 是 O 的切线 ADB 是割线 AC2 AD AB 即 3k 5k 152 解得 k 15 AB 515 在 Rt ACB 中 BC 65225375 22 ACAB 18 1 连结 OC PC2 PE PO PC PO PE PC 又 P P PEC PCO PEC PCO CD AB PEC 90 PCO 90 PC 是 O 的切线 2 半径为 3 3 sin PCA 6 6 第三节 圆和圆的位置关系第三节 圆和圆的位置关系 知识操练 知识操练 1 1 D 2 B 3 4 8 4 72cm2 提示 矩形的长为 9 宽为 8 9 8 72 5 解 1 DQ AP 当 AP DQ 时 四边形 APQD 是平行四边形 此时 3t 8 t 解得 t 2 s 即当 t 为 2s 时 四边形 APQD 是平行四边形 2 P 和 Q 的半径都是 2cm 当 PQ 4cm 时 P 和 Q 外切 而当 PQ 4cm 时 如果 PQ AD 那么四边形 APQD 是平行四边形 当 四边形 APQD 是平行四边形时 由 1 得 t 2 s 当 四边形 APQD 是等腰梯形时 A APQ 在等腰梯形 ABCD 中 A B APQ B PQ BC 四边形 PBCQ 平行四边形 此时 CQ PB t 12 3t 解得 t3 s 综上 当 t 为 2s 或 3s 时 P 和 Q 相切 6 1 如图 345 A A A 67 A A 2 特殊四边形有菱形 四边形 3546 A A A A 特殊三角形 直角三角形 等腰三角形 等腰直角三角形 3 求证 四边形 3546 A A A A是菱形 证明 1314 4A AA A 5116 2A AA A 34 A A 56 A A 四边形 3546 A A A A是菱形 7 解 1 如图所示 设点 O2运动到点 E 处时 O2与腰 CD 相切 过点 E 作 EF DC 垂足为 F 则 EF 4cm 方法一 作 EG BC 交 DC 于 G 作 GH BC 垂足为 H 通过解直角三角形 求得 EB GH 3 3 38 9 cm 所以 t 3 38 9 秒 方法二 延长 EA FD 交于点 P 通过相似三角形 也可求出 EB 长 方法三 连结 ED EC 根据面积关系 列出含有 t 的方程 直接求 t 2 由于 0s1 3 外离 2 设 B x 0 x 2 则 AB 2 9x B 半径为 x 2 设 B 与 A 外切 则 2 9x x 2 1 当 x 2 时 2 9x x 3 平方化简得 x 0 符题意 B 0 0 当 x 2 舍 设 B 与 A 内切 则 2 9x x 2 1 当 x 2 时 2 9x x 1 得 x 4 2 B 4 0 当 x 2 应舍去 综上所述 B 0 0 或 B 4 0 10 解 1 A 2 0 CAO 45 2 直线 AC 绕点 A 平均每秒旋转 30 11 解 连结 AB AE AC 是 O1的直径 ABC 90 ABE 90 AE 是 O2的直径 ADE 90 在 Rt CDE 中 CD 8 DE 6 CE 2222 86CDDE 10 答 CE 的长为 10 12 解 3 2 1 2 若摆 3 层 为3 1 2 若摆 4 层 为 3 2 3 1 2 13 解 如图 连结 OO1 O1O2 O2O 则 OO1O2是等腰三角形 作 OA O1O2 垂足为 A 则 O1A O2A 由图可知大圆的半径是 9cm 设小圆的半径为 xcm 在 Rt OAO1中 依题意 得 9 x 2 9 x 2 25 9 x 2 整理 得 x2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 因为 x2 64 9 不合题意 舍去 所以 x 4 答 两个小圆的半径是 4cm 第四节 和弧有关的计算第四节 和弧有关的计算 知识操练 知识操练 1 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 C 7 389mm 8 5 3 3 9 4 10 5 3 3 11 8 2 12 5 6 13 B 14 12 15 1 2400 cm2 2 403cm 16 路径是以B为圆心以AB为半径的圆弧 1 AA及线段A1A2 画图略 路径长 4 3 3 5 9米 17 解 如图 设圆弧所在圆的圆心为 O AB 37 4 147 m CD 34 6 203 m GE 6 m 在 Rt OCE 中 OE OC 6 CE 103 OC2 CE2 OE2 OC2 103 2 OC 6 2 OC 28 m OA 28 在 Rt OAF 中 AF 77 m 21 77 28 2222 AFOAOF 拱高 GF 28 21 7 m 18 解 连接 OC O1E O1D 则 O1在 OC 上 O1E OB O1D OA 设 O1的半径为 r 即 O1E r AOB 120 COB 60 OE 2 1 OO1 2 1 OC O1C 2 1 OC O1E 又 2 180 120OB OB 3 OE 2 1 3 r 由 OO12 O1E2 OE2 3 r 2 r2 4 1 3 r 2 得 r 63 9 O1的周长 2 r 123 18 19 解 1 设此圆锥高为 h 底面半径为 r 2 r AC r AC 2 2 r AC 2 圆锥高与母线的夹角为 30 则锥角为 60 3 h 33 cm r 3 cm AC 6 cm 圆锥的侧面积 2 AC2 18 cm2 20 解 把圆锥沿过点 A 的母线展成如图所示扇形 则蚂蚁运动的最短路程为 AA 线段 由此知 OA OA 3r 的长为 2 r 2 r 180 3rn n 120 即 AOA 120 OAC 30 rOAOC 2 3 2 1 rCOOAAC3 2 3 22 AA 2AC 33r 即蚂蚁运动的最短路程是 33r 知识操练 知识操练 2 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 3 2 8 CD 垂直 AB 9 22 10 3 4 l 11 10 12 35 提示 将立体图形转化为平面图形 由已知条件不难发现所求最短路径的长就是以 6m 和 3m 为 直角边的直角三角形斜边的长 13 36 14 8 3 15 解 如题图 中 绳长应为半圆 AmD BnC和线段 AB CD 总和 因为 AmD的长 BnC的长 1 2 a AB CD 2a 所以绳长 2a 2 1 2 a 2 4 a 如右图所示 连接 O1O2 O1O3 O2O3 O1A O2B O2C O3D O3E O1F 将绳分为 6 段 易知 AB CD EF a AF的长 BC的长 ED的长 1 120 2 180 a 3 a 所以绳长 3a 3 3 a 3 a 所以最少要用 3 a 的细绳 宜用第二种捆法 16 解 如下图 画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象 可以得出圆盘滚动过程中圆心 走过的路线由线段 OO1 线段 OO2 圆弧 2 3 O O 3 线段 O3O4四部分构成 其中 O1E AB O1F BC O2C BC O3C CD O4D CD BC 与 AB 延长线的夹角为 60 O1是圆盘在 AB 上滚动到与 BC 相切时的圆心位置 此时 O1与AB和BC都相切 则 O1BE O1BF 60 此时Rt O1BE和Rt O1BF全等 在Rt O1BE 中 BE 10 3 3 cm OO1 AB BE 60 10 3 3 cm BF BE 10 3 3 cm O1O2 BC BF 40 10 3 3 cm AB CD BC 与水平夹角为 60 BCD 120 又 O2CB O3CD 90 O2CO3 60 则圆盘在 C 点处滚动 其圆心所经过的路线为圆心角为 60 且半径为 10cm 的圆弧 2 3 O O 2 3 O O的长 60 360 2 10 10 3 cm 四边形 O3O4DC 是矩形 O3O4 CD 40cm 综上所述 圆盘从 A 点滚动到 D 点 其圆心经过的路线长度是 60 10 3 3 40 10 3 3 10 3 40 140 20 3 3 10 3 cm 17 解 弯道长 BCAB ll 2 6024 3 180 6048 3 180 101 4 m 跑道全长 2AB 2L 2 98 5 2 101 400 m 跑完 3000m 应为 7 圈零 200m 而 AB L 200 m 估算终点在 C 处 18 1 如图 2 旋转过程中动点B所经过的路径为一段圆弧 4AC 3BC 5AB 又 1 90BAB 动点B所经过的路径长为 5 2 19 解 L 120 360 2 R R 3 2 l 则弓形的高为 3 4 l 故周长为 3 4 L 第五节 圆和正多边形的关系第五节 圆和正多边形的关系 知识操练 知识操练 1 1 D 2 D 3 B 4 A 5 4 6 2 7 解 1 OC平分AB OH AB 1 3 2 3AHAB 联结 OA OB 设 OA r 则3OHr 由勾股定理得 222 3 3 3 rr 解得6r OH AB 3OH OA 6 OAB 30 OA OB OBA 30 AOB 120 4 180 AB n r 2 画图略 取 A B中点 H 联结 OH 则 OH A B H是点H旋转后的对应点 HOH 90 OH OH 又OH AB 四边形 HOH D正方形 3HDOH 33 3ADAHHD 8 解 PBPE 与PA满足的数量关系是 0 2cos36PBPEPA 理由如下 作AMPB 于M ANPE 于N APMAPN Rt AMPRt ANP AMAN PMPE ABAE Rt AMBRt ANE NEMB 2PBPEP