大学物理简明教程(北师大版).pdf

1 第一章 习题 第一章 习题 1 1 1 1 质点的运动学方程为 2 28rtit j rr r 国际制单位 求质点运动的轨道 速度和加 速度 解 解 运动学方程可表述为分量形式 2xt 和 2 8yt 消去时间t 得质点运动的轨道方程 2 2yx 对运动学方程 2 28rtit j rr r 求时间导数 即可求得质点运动的速度和加速度为 2 dd 28 dd r vtit j tt r rr r 2 d 2 d 8 dd tt ij tt rr 216 m s itj rr 2 dd 216 16 m s dd v aitjj tt r rrr r 1 2 1 2 质点沿Ox轴运动 其速度3sin x vt 国际制单位 求3st 到5st 时间内的 位移 解 解 根据直线运动位移和定积分概念 质点3t 到5t 时间内的位移为 55 33 3sin d3sin dxttt t 5 3 3cos 3 cos5cos3 3 82 m t 1 3 1 3 舰载飞机降落到甲板上后为了尽快停止采用降落伞制动 飞机刚落到甲板上时 0t 0 x 0 x vv 设飞机制动时加速度 2 xx abv b为正值常量 求飞机速度随时间 的变化规律 x v t 解解 由已知条件知 2 d d x xx v abv t 将上式分离变量 使左侧仅有变量 x v 右侧仅有变量t 得到 2 d d x x v b t v 做不定积分 2 d d x x v bt v 2 可得 1 x btC v 把初始条件0t 时 0 x vv 代入上式 确定积分常数 0 1 C v 所以 0 11 x bt vv 即 0 0 1 x v v bv t 1 4 1 4 质点沿Ox轴运动 其加速度 2 cos x aAt 0t 时xA 0 x v 其中A 为正值常量 求此质点的运动学方程 解解 由 2 d cos d x x v aAt t 可得 2 dcosd x vAt t 作定积分 由初始条件0t 时0 x v 确定积分下限 2 00 dcosd x vt x vAt t 把上式右侧积分变量换为t 00 dcosd x vt x vAtt 则得到 00 sin x vt x vAt sin x vAt 再由 d sin d x x vAt t 得到 dsindxAt t 做定积分 由初始条件0t 时xA 确定积分下限 00 dsindsind xtt A xAt tAtt 0 cos xt A xAt cosxAt 即为质点运动学方程 1 5 1 5 质量为2kg的质点 运动学方程为 22 61 341 rtittj rr r 国际制单位 3 求证质点所受合力为恒力 证证 对运动学方程求时间导数 d 1264 d r vtitj x r rr r 2 2 dd 126 dd vr aij tt rr rr r 2 126 2412 N Fmaijij rrrrr r 可见质点所受合力为恒力 1 6 1 6 质量为1kg的质点沿Ox轴 在合力12 N x Ft 作用下运动 已知0t 时质点位 于2mx 处 并以速率3m s沿Ox轴正向运动 求此质点的运动学方程 xx t 解解 根据牛顿第二定律可得 dd 12 dd xx vv mt tt d12 d x vt t 作积分 d12 d x vt t 得 2 1 6 x vtC 由0t 时3 x v 定出积分常数 1 3C 所以 2 63 x vt 根据 2 d 63 d x x vt t 可得 2 d 63 dxtt 积分 并用0t 时2x 定积分常数 则求出质点的运动学方程为 3 232 m xtt 1 7 1 7 跳水运动员沿竖直方向以速度 0 14m sv 入水 入水后浮力与重力抵消 受水的阻 力与速率平方成正比 2 0 5 N Fmv m为运动员质量 求入水后运动员速度随时间的变 化规律 解解 以运动员入水处为原点 竖直向下建立坐标系Oy 根据牛顿第二定律有 2 d 0 5 d y y v mmv t 4 即 2 d 0 5 d y y v v t 分离变量并积分 0 2 0 d 0 5d y vt y v y v t v 即可求出 0 11 0 5 y t vv 也可以表示为 0 0 1 0 5 y v v v t 1 8 1 8 实 验 测 出 云 雾 中 水 滴 半 径 6 10 mr 当 物 体 在 空 气 中 以 很 小 的 速 率 1 10m sv 略去 0 19 6 y v 可求出 0 19 6 y v 在碰撞中根据动量定理 21 Imvmv r rr 由于 1 19 6vi r r 20 19 6 y vvjj rr r 所以棒对球的冲量 9 89 8 N s Iji rrr 棒对球冲击力的平均值 9 89 8 196196 N 0 05 Iji Fij t rrr rrr 1 14 1 14 飞机以300m s的速度飞行 撞到一只质量为1kg的鸟 鸟的长度为0 3m 假定 鸟撞上飞机后随同飞机一起运动 试估算它们相撞时的平均冲击力的大小 为了安全 机场需 要驱逐飞翔在机场附近的鸟 8 解解 由于鸟飞行速度不大 认为鸟与飞机碰撞前静止 鸟与飞机碰撞后 鸟与飞机以共 同速度运动 所以鸟在碰撞中所受冲量的大小约为 1 3000300I 飞机以300m s的速度飞行 鸟的长度为0 3m 故鸟与飞机碰撞的时间约为 0 3 0 001 300 t 因此鸟在碰撞中所受冲击力的大小约为 300 300000 N 0 001 I F t 根据牛顿第三定律可知 飞机受鸟施与的冲击力的大小约为300000N 足以使飞机受到毁灭 性的打击 1 15 1 15 质量为m的质点在Oxy平面内运动 其运动学方程为cossinrat ibt j rr r a b 均为常量 求 1 质点对Oz轴的角动量 2 质点所受对Oz轴的合力矩 解解 对运动学方程求时间导数 可得 d sincos d r vatibt j t r rr r 所以质点对Oz轴的角动量 22 sincos z Lm abt kabt kmab k rrr 因 z L为常量 由对Oz的角动量定理 可知质点所受对Oz轴的合力矩 d 0 d z z L M t 1 16 1 16 如题图 1 16 所示 小球m系于不可伸长的轻绳的一端 绳 经O点穿入竖直小管 开始小球绕小管在水平面内做半径为R的圆周 运动 每秒转两圈 再由绳的A端将绳拉入小管 拉绳后小球在水平 面内做半径为2R的圆周运动 求拉绳以后小球每秒所转之圈数 题图 1 16 解解 在拉绳过程中 因为小球所受重力与OA轴平行 绳拉力与OA轴相交 对OA轴力 矩均为零 所以在拉绳过程中小球对OA轴角动量守恒 0 2 R mvmv R 拉绳前 每秒转两圈 故 0 22Rv 设拉绳后 每秒转n圈 则2 2 R nv 把 0 4vR 和vn R 代入角动量守恒的方程 得到 4 2 R mn RmR R 即可求出求拉绳后小球每秒转8n 圈 1 17 1 17 1 证明力 2 3sine N x Fxxi rr 为保守力 2 质点沿Ox轴由0 x 运 动到1mx 试用两种方法计算力F r 对质点所作的功 9 解解 1 由于 2 3sine N x Fxxi rr 在位移dr r 中所作元功 2 d 3sin ddd x Frxxe ixiyjzk rrrrr r 2 3sine d x xxx 3 d cose x xx 可以表示为只与位置有关的标量函数 3 cosexU xxx 的微分 所以此力为保守力 2 方法一 质点沿Ox轴由0 x 运动到1x F r 对质点所作的功为 1 2 0 d 3sine d x AFrxxx r r 31 0 cose x xx 1 cos1 e 1 1 1 cos1 e 方法二 因F 为保守力 引入势能 3 p cose x EUxx 则 p2p1 AEE 1 cos1e 1 1 1 cos1e 1 18 1 18 如题图 1 18 所示 一个劲度系数为k的弹簧 一端固定于A 点 另一端与质量为m的质点相连 弹簧处于自由伸张状态时 质点 位于竖直面与半径为R的半圆柱面的交点B处 质点在力F r 的作用下 由B点从静止开始运动到光滑半圆柱面的顶点C 到达C点时速率为 C v 求力F r 对质点所做的功 题图 1 18 解解 在质点由B到C点的过程中 受重力和弹簧弹性力为保守力 以B点为重力势能及 弹性势能零点 质点受面的支撑力不作功 设力F 作功为 F A 由质点的机械能定理 kpkp CCBBF EEEEA 可得 22 111 R 00 222 FC AmvmgRk 222 11 28 C mvmgRkR 1 19 1 19 接 1 18 题 质点到达C点后 力F r 被撤除 求质点运动到AB之间的平衡位置时 的速率 10 解解 质点平衡时mgk l mg l k 即质点的平衡位置位于B点下方 mg k 处 在质点由C到平衡位置的过程中 由于受重力和弹簧弹性力为保守力 受面的支撑力不 作功 所以机械能守恒 以B点为重力势能及弹性势能零点 则 2 2222 1111 2822 C mvmgRkRmvmg lkl 2222 2 1 22 m gm g mv kk 22 2 1 22 m g mv k 即可求出质点运动到AB之间的平衡位置时的速率 222 21 2 1 2 4 C kRmg vvgR mk 1 20 1 20 如题图 1 20 质量为0 2kg的小球B 用弹性绳在光滑 水平面上与固定点A相连 弹性绳劲度系数为8N m 自由伸张长 度为0 6m 小球初位置和初速度 0 v r 如图所示 当小球速率变为v 时 它与A点距离最大且等于0 8m 求初态与末态之速率 0 v和v 题图 1 20 解解 小