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线性代数第七章习题解答习题七（P274276）1 设，以下哪些函数定义了的一个内积？ （1）， 否 （2） ， 是 （3） ， 否 （4） ， 否2.以下哪些函数定义了上的一个内积. （1） （） （2） （） （3） （） （4） （） （5） （）3 设是正定矩阵，在中对任两个向量，定义，证明：在这个定义下构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西施瓦兹不等式.证明：（1） （2） （3）设： （4）由的正定性知，当且仅当时，即，从而在定义下构成欧氏空间。又.柯西施瓦兹不等式为4 在中，求之间的夹角（内积按对应分量乘积之和）. （1） （2）解：（1） （2），从而5 在中求一单位向量与正交.解：设所求向量为，应有： 解之得：， 又 ，得：，6 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）：,。解：，取：，取，即为所求 。7 次数不超过3的所有实系数多项式，根据构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基（由基出发作正交化）。解：为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化.，（此处 ），取：，；取， ，；，；即为所求.8 求齐次线性方程组：的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。解：解方程组，得解空间的一组基，, , 。将其标准正交化：，取，；取，； 即为所求.9 设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：,也是一组标准正交基。证明：，为单位向量，又： ，类似有：，两两正交. 从而为三维欧氏空间中一组标准正交基.10 设是欧氏空间的向量，且可以由线性表示，证明若与每一个正交，则.证明：由可以由线性表示得知，存在一组数使又与正交，从而。11 在欧氏空间V中，如果任意有，证明：。证明：对任意，即，由10知，从而.12 设是由生成子空间，则向量垂直充要条件为垂直.证明：必要性显然，只需证充分性.对任意，可由线性表示，即存在，使：.，从而.13设是一维欧氏空间，是中一固定向量。证明：（1）是的子空间；（2）的维数等于.证明：（1）对任意，对任意常数，从而为的子空间。（2） 由定理4知可扩充为的一组正交基，易知：。对任意，可由线性表示。即存在使，又，知，即：，故即可由线性表示。为的一组基。14一组数据如下： 在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程.解：设所求直线方程为，将值代入得： ， ， , ,最佳
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