初中数学教学论文：中学数学不等式证明方法新人教A版必修5.pdf

中学不等式证明方法探究中学不等式证明方法探究 摘摘 要要 不等式 渗透在中学数学各个分支中 有着十分广泛的应用 因此不等式应用问题 体现了一定的综合性 灵活多样性 对数学各部分知识融会贯通 起到了很好的促进作 用 在解决问题时 要依据题设与结论的结构特点 内在联系 选择适当的解决方案 最终归结为不等式的求解或证明 而不等式的证明 方法灵活多样 还和很多内容结合 它既是中学数学教学中的难点 也是数学竞赛培训的难点 近年也演变为竞赛命题的热 点 因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理 非常讲究的恒等和不等变形技巧 而且证明 过程千姿百态 极易出错 因此 有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与 大家一起分享交流 本文通过对不等式的进一步研究 同时在前人的基础上对不等式的 证明方法进行再探讨 得出了几点新方法 再有就是对于一些题目 很多人都是用一些 常用的方法来解决 而笔者则是通过另外的一种方法来解 并且解题过程相对简单 在 正文的例题当中 我用方法二给出了我的证明过程 以飨读者 关键词 关键词 不等式 证明方法 证明技巧 换元法 微分法 证明不等式的方法灵活多样 内容丰富 技巧性较强要依据题设 题断的结构特点 内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种证法中的推理思维 并掌握相应的步骤 技巧和语言特点 在证明不等式前 要依据题设和待证不等式的结构特点 内在联系 选择适当的证明方法 通过等式或不等式的运算 将待证的不等式化为明显的 熟知的 不等式 从而使原不等式得到证明 反之亦可从明显的 熟知的不等式入手 经过一系 列的运算而导出待证的不等式 前者是 执果索因 后者是 由因导果 为沟通联 系的途径 证明时往往联合使用分析综合法 两面夹击 相辅相成 达到欲证的目的 通过不等式的基本知识 基本方法在代数 三角函数 数列 复数 立体几何 解 析几何等各部分知识中的应用 深化数学知识间的融汇贯通 从而提高分析问题解决问 题的能力 在应用不等式的基本知识 方法 思想解决问题的过程中 提高学生数学素 质及创新意识 1 比较法 比较法是证明不等式的一种最基本的方法 也是最常用的的方法 基本不等式就是用比 较法证明的 其难点在第二步的 变形 上 变形的目的是有利于第三步判断 求差比 较法变形的方向主要是分解因式 配方 1 作差比较法的理论依据有 0 0 0 babababababa 2 作商比较法的理论依据有 1 0 b a bab 3 作差 商 比较法的步骤 作差 商 变形判断符号 与1的大小 例1 求证 234 221xxx 证明 法一 2 21 234 xxx 234 22 22 3 3 3 221 0 2 1 2 1 2 1 122 1 122 1 12 1 1 1 1 2 xxx xx xxx xxxx xxx xxxx 法二 2 21 234 xxx 234 2222 24234 221 0 1 122 xxx xxx xxxxx 说明 法一的变形主要是因式分解 其难点在于分解的因式 判断 的符号除用配方法外 还可用判别式法 此法我们后面再述 证法二的变形主要是配 方法 难点在于拆项 此法笔者又将其归纳为裂项法 通过本例 可以了解求差比较法 的全貌 以及关键的第二步变形 12 3 xx122 2 xx 例2 已知0 1 a 求证 2 log log aa aa 证明 aa a a aa a a log 2 log log 2 log log 2 log 0 log 1 2 log 2 2 log 2 2 log 2 log 2 log 2 2 2 2 2 2 aaa aaa aaaa aaa aa aaa 又 说明 观察不等式的特点 a充当了真数和底 联想到 a N N a log 1 log 进而用了 作商比较法 作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质 如函数的单调性等 我们再看 例3 若 求证 0 cba 1 baba abba 2 bacacbcba cbacba 222 证明 1 0 cba ba ba ba b a ab ba 又0 1 0 ba b a ba abba ab ab ba ba baba ba ba ba b a 0 1 1 又即 2 由 1 的结果 有 0 0 0 caacbccbabba acaccbcbbaba 两边分别相乘得 bacacbcba cabcabaccbba cbacba accbbaaccbba 222 2 综合法 利用某些证明过的不等式作为基础 再运用不等式的性质 推导出所求证的不等式 这 种证明方法叫做综合法 综合法的思考路线是 由因导果 例4 1 已知 证 为不全相等的正数 求cba 3 c cba b bac a acb 2 已知1 abccba为不相等正数 且 求证 cba cba 111 证明 1 证法一 3 a c c a c b b c b a a b 左式 2 2 22 c a a c c b b c b a a b b a a b cba 同理 为不全相等的正数 且上面三个等号不能同时成立 3363 a c c a c b b c b a a b 得证 证法二 2 2 2 c cba b cba a cba 左式 369 6 1 336 111 6 111 3 3 abc abc cba cba cba cba cba 为不全等正数 得证 2 证法一 1 abccba为不等正数 且 cba baaccb abcabc cba 111 2 11 2 11 2 11 111 证法二 1 abccba为不正数 且 cbaabccabbca bcacbcabacab abacbc cba 222 222 111 得证 说明 1 题两种方法的差别主要在于对不等式左边施行不同的恒等变形 其目的都是 为了有效地利用基本不等式 灵活地运用均值不等式 这也是综合法证明不等式的主要 技巧之一 2 题是条件不等式的证明 要找出条件与结论之间的内在联系 分析已知与求证 不等式左边与右边的差异与联系 去异求存同 找到证题的切入口 本题合理运用条件 的不同变形 1 abc 3 分析法 从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明这个不等式的问题转 化为判断这些条件是否具备的问题 如果能够肯定这些条件都已具备 那么就可判定所 求证的不等式成立 这种证明方法叫做分析法 分析法的思路是 执果索因 例5 已知函数 2 1 0 1 1 lg x x xf 若 2 1 0 2121 xxxx 且 求证 2 2 1 21 21 xx fxfxf 证明 要证原不等式成立 只需证明 2 2121 1 2 1 1 1 1 xxxx 事实上 2121 2 1 0 xxxx 2 2 1 1 2 lg 1 1 1 1 lg 1 2 1 1 1 1 0 1 4 4111 1 2 1 1 1 1 21 21 2 2121 2 2121 2 2121 21 2 21 21 2 212121 2 2121 xx fxfxf xxxx xxxx xxxx xxxx xxxxxxxx xxxx 故 即是 得证 4 换元法 换元法是数学中的一个基本方法 在不等式的证明过程中 按照所证不等式的结构特点 将不等式中的变量作适当的代换 可使不等式的结构明朗 从而使不等式变得容易证明 这种方法称为换元法 换元法的目的是把合命题化简 化熟 把复杂的 不熟悉的命题 化为简单的 熟悉的命题 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易 化繁为简的作用 有些问题直接证 明较为困难 但若通过换元法的思想与方法来解就很方便 换元法多用于条件不等式的 证明中 一般有增量换元 三角换元 和差换元 向量换元 利用对称性换元 借助几 何图形换元等几种方法 1 增量换元 对对称式 任意互换两个字母 代数式不变 和给定字母顺序的不等式 常用增量换元 换元的目的是通过换元达到减元 使问题化难为易 化繁为简 例6 已知 411 cacbba cba 求证 分析 考虑到 由此可以令 cbbaca 0 0 cbybax这时问题转 化为 yxyx yx 411 0 证明若 证明 令yxcacbybax 0 0 下面只要证明 yxyx 411 即可 取等号 即当且仅当cabyx y x x y y x x y yx yx yx 2 4222 11 0 成立 即 cacbbayxyx 411 411 例7 若 2 0 222 abababba 求证 分析 如何利用已知不等式是证明本题的关键 0 ba 因为 0 0 0 hhbahhbababa 这样可把已知的不等式关系 换成相等关系 证明 0 0 hhbaba设 2 22 22 222 22 222222 ababab ahbbhhnhb bhbbhbbbabab 则 得证 2 三角换元 三角换元就是根据已知的一些三角等式 三角代换来解决题目中的某些问题 如 问题 中若已知 若已知 sin cos 0 222 ayaxaayx 可设 1 sin cos 1 22 rryrxyx 可设 若已知 或11 2 2 2 2 2 2 2 2 b y a x b y a x 则条件可 设其中 tan sec sin cos y ax ay ax 或 的范围取决于yx 的取值范围 等等 例8 已知 1 1 1 2222 bdacdcbadcba求证 都是实数 且 分析 由 可以联想到的关系作三角代换 1 1 2222 dcba1cossin 22 证明 cos sin cos sin 1 1 2222 dcbadcba所以可设 cos coscossinsin bdac 1 1 cos bdac 又 即原不等式成立 3 和差换元 例9 对任意实数 2222 663 3 22 babababa ba 求证 分 析 对 于 任 意 实 数 都 有ba与 22 22 baba b baba a 令 tsbt sa ba t ba s 2 2 则有 证明 设 下面只需证 tsbtsa 1515 3 6422462322 ttstssststss 2222 1515 3 01211 663322 6422462322 64224 babababa ttstssststss ttsts 即 左边右边 得证 4 向量换元 例10 已知 221212 1 babaRba求证 分析 将不等式变形为12122121121 baba 观察其结构我们可 联想到学习两个向量的内积是有这样一个性质 2211 bababababa 及 证明 设 12 12 1 1 banm 则有1212 2 1212 banmbanm 221212 2 1 aa nmnmnba 得 由性质 5 利用对称性换元 例 11 设 cbabacacbabcRcba 求证 分析 经过观察 我们发现 把中的两个互换 不等式不变 则可令cba 8 xyzxzzyyxcbazbacyacbx 则原不等式可化为 证明 令cbazbacyacbx 8 0 2 1 2 1 2 1 xyzxzzyyx xyzRcba yxczxbzya 时 有当 则 当时 有 否则0 xyz Rzyx zyx 中必有两个不为正值 不妨设则0 0 yx0 c 这与矛盾 0 c 因此 02 02 02 zxxzyzzyxyyx 则有 xyzxzzyyx8 综上 恒有xyzxzzyyx8 把zyx 的值代人上式得 cbabacacbabc 得证 6 借助几何图形换元 例 12 已知是cba ABC 三边的长 求证 222222333 accbbaaccbba 分析 如图 作 令为切点的内切圆 设FEDABC AEzCDyBDx 其中 则原不等式可转化为 Rzyx zyxy y x x x z z z y 222 222 1 再利用均值不等式 abba2 证明 设为切点 令FED AEzCDyBDx 则原不等式可化为 1 的形式 又 因为 则有 Rzyx 2 2 xy z y 2 2 22 y x zx x z yz 所以 1 式成立 故原不 等式成立 得证 7 代数换元 例 13 已知 且 Rcba 23131313 1 cbacba求证 分析 引入参数 配凑成二次方程转化为二次不等式 证明 设 131313kcba 则可令 0 3 13 3 13 3 13 321321 tttt k ct k bt k a其中 所以 2 3 2 2 2 1 3 3 3 131313t k t k t k cba 即 3 3 2 3 6 2 3 2 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1321 2 ttt k ttttttk k 所以 3 6 2 k 解得 23 k 即23131313 cba 得证 8 分式换元 例 14 设223 21 1 0 0 yx yxyx求证 分析 因为所以用分式换元 转化为均值不等式证明 0 0 1 yxyx 证明 设 0 0 ba ba b y ba a x 则 223 2 3 221 b a a b b ba a ba yx 即223 21 yx 9 比值换元法 对于在已知条件中含有若干个等比式的问题 往往可先设一个辅助未知数表示这个比 值 然后代入求证式即可 例 15 已知 10 421 222 zyxzyx求证 证明 设kzyx 421 于是 4 2 1 kzkykx 把zyx 代入得 222 zyx 1010 1 310 12 31363 222 kkkkk 得证 5 放缩法 为了证明不等式 有时需舍去或添加一些项 使不等式一边放大或缩小 利用不等式的 传递性达到证题的目的 这种方法称为放缩法 放缩时主要方法有 1 舍去或加上一些项 如 2 1 4 3 2 1 22 aa 2 将分子或分母放大 缩小 如 1 1 21 1 21 1 11 1 11 22 kNk kkkkkk kkkkkk 例 16 设 1 3221Nnnnan 求证 2 1 2 1 2 n a nn n 证明 nnnnan 2211 1 3221 2 1 21 nn n 又 2 1 1 1Nk kk kkkk 得证 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 32 2 21 1 3221 2 22 n a nn nnn nn nna n n 说明 在使用放缩法时 需要注意的是放缩要适度 不能放得过大或太小 6 反证法 反证法就是从否定结论出发 通过逻辑推理 导出矛盾 从而肯定原命题成立 反证法 必须考虑各种与原命题相异的结论 缺少任何一个可能都是不完全的 如 要证不等式 B A 先假设BA 根据题设及其他性质推出矛盾 从而肯定B A成立 例 17 已知 2 1 3 2 1 2 不全小于求证 fffbaxxxf 证明 假设 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1 3 2 1 ffffff 即全小于 由于 39 3 24 2 1 1 bafbafbaf 2 3 2 2 1 2 3 2 2 1 fff fff 另一方面 由假设得 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 3 1 3 2 2 1 ffffff 显然 是错误的 22 故 2 1 3 2 1 不全小于fff 得证 说明 对于存在 不都是 至少 多 不全小 大 某个 反面 任意的 等问题 通常从正面难寻突破口 可变换角度 巧用反证法往往会见奇效 7 判别式法 如果所要证明的不等式可转化为形如 11 2 1 22 2 2 cxbxa cxbxa y 的函数值域 或转化 为一元二次方程有实数根等问题 则可用判别式法达到证题目的 Rx 例 18 若 0 2 1 2222 aazyxazyxRzyx用且求证zyx 都是不大于a 3 2 的非负数 证明 由 2222 2 1 azyxyxaz 代入 可得 得证 同理可得 化简得 即 azax aya ayy ayayyaRx ayayxyax 3 2 0 3 2 0 3 2 00 023 0 2 1 8 4 0 0 2 1 22 2 2222 2222 8 构造法 有些不等式可构造函数利用函数性质 或构造复数利用复数向量有关性质 或构造几何 图形利用集合知识 还可以构造数列利用数列相关性质来证明不等式