数学归纳法_极限_函数的连续性.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 数学归纳法 极限 函数的连续性 王 海 平 溧阳中学 江苏 213300 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 若an 1 1 22 1 1 32 1 1 n2 则 lim n an A 1 B 0 C 1 2 D 不存在 2 函数 f x 在x x0处连续是函数 f x 在x x0处有极限的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 3 用数学归纳法证明不等式 1 1 2 1 4 1 2 n 1 127 64 成立 则n的第一个值应取 A 7 B 8 C 9 D 10 4 函数 f x x 在x 0处 A 无定义 B 不存在极限 C 不连续 D 连续 5 已知lim n n 3 n n x 2 n n 3 n 1 3 n 1 3 则 x的取值范围为 A 1 1 B 1 0 0 1 C 1 5 D 1 5 6 x 1是函数f x x x 1 A 连续点 B 无定义点 C 不连续点 D 极限不存在的点 7 设 a 1 b 1 则lim n 1 a a2 an a b b2 bn 的值为 A 1 b 1 a a ab b B 1 b 1 a C 1 b b 1 a D 1 b a 1 a 8 有下列命题 lim x 1 x2 1 x2 3x 2 不存在 lim x 2 x2 1 x2 3x 2不存在 函数f x x2 1 x2 3x 2 在点x 1处不连续 函数 f x x2 1 x2 3x 2在 开区间 1 2 内连续 其中正确的是 A B C D 9 若函数 f x ex x 0 数列 an 满足 a1 1 且an f an 1 n 2 n N 1 写出数列的前5项 并猜想an的表达式 并 用数学归纳法予以证明 2 求lim n 3 n a2n 3 n 2 3 若b1 2 a1 a2 b2 22 a2 a3 bn 2n an an 1 若数列 bn 的前n项和为Sn 试求lim n Sn 2 n 2 参考答案与提示 选择题 CABDC CACBA AD 填空题 13 1 2 14 1 2 15 e2 16 3 4 解答题 17 设等比数列 an 的公比为q 则由a1a2a3 a31q3 1 36 得a1q 1 9 又 1 a2 1 a3 1 a4 1 a1q 1 a1q2 1 a1q3 9 9 q 9 q2 117得1 1 q 1 q2 13 解 得q 1 3 或q 1 4 不合 舍去 a1 1 3 于是 lim n a 1 a2 an 1 3 1 1 3 1 2 18 1 当 4 时 原式 0 2 当 0 4 时 lim n cosn sin n cosn sin n lim n 1 tann 1 tan n 1 43数 学 通 讯 2003年第22期 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 3 当 4 2 时 lim n cosn sin n cosn sin n lim n cot n 1 cot n 1 1 综上可得 lim n cosn sin n cosn sin n 1 0 4 0 4 1 4 2 19 设 A 各正方形的边长依次为a1 a2 则BC atan 由相似三角形可得 a1 a atan a1 atan a1 atan 1 tan 同理a2 a1tan 1 tan an 1 antan 1 tan an 是以 atan 1 tan 为首项 以 tan 1 tan 为公比 的无穷等比数列 其中 q 0 又an f an 1 n 2 n N an 2a2n 1 1 a n 0 当n 2时 a2 3 已经证得猜想成立 假设当n k时猜想成立 即ak 2k 1 则n k 1时 ak 1 2a2k 1 2 2k 1 1 2k 1 1 这就是说 当n k 1时猜想成立 综 可得an 2n 1对n 2 n N都成立 2 lim n 3 n a2n 3 n 2 lim n 32 2 n 1 2 3 n 2 lim n 1 2 3 n 1 3 n 1 2 3 n 1 3 b n 2 n 1 1 2 n 1 Sn 2 n 1 1 1 从 而lim n Sn 2 n 2 l