数学建模—对“白屋顶计划”的评估分析.pdf

1351 第五届 认证杯 数学中国 第五届 认证杯 数学中国 数学建模网络挑战赛 数学建模网络挑战赛 承 承 诺 诺 书书 我们仔细阅读了第五届 认证杯 数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则 我们完全明白 在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式 包括电话 电子邮件 网 上咨询等 与队外的任何人 包括指导教师 研究 讨论与赛题有关的问题 我们知道 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 如果引用别人的成果或其他公开的 资料 包括网上查到的资料 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出 我们郑重承诺 严格遵守竞赛规则 以保证竞赛的公正 公平性 如有违反竞赛规 则的行为 我们将受到严肃处理 我们允许数学中国网站 公布论文 以供网友之间学习交流 数学中 国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意 我们的参赛队号为 1351 参赛队员 签名 队员 1 曾妙文 队员 2 陶碧浩 队员 3 陈启超 参赛队教练员 签名 参赛队伍组别 本科组 1351 第五届 认证杯 数学中国 第五届 认证杯 数学中国 数学建模网络挑战赛 数学建模网络挑战赛 编 编 号 专 号 专 用 用 页页 参赛队伍的参赛队号 请各个参赛队提前填写好 竞赛统一编号 由竞赛组委会送至评委团前编号 竞赛评阅编号 由竞赛评委团评阅前进行编号 1351 2012 年第五届 认证杯 数学中国 年第五届 认证杯 数学中国 数学建模网络挑战赛数学建模网络挑战赛 题 目 对 白屋顶计划 的评估分析 关 键 词 白屋顶计划 热岛效应 光谱反射率 屋顶热辐射量 社会效益 摘 要 本文旨在建立数学模型来评估 白屋顶计划 对降低城市热岛效应起到的作用 模型一 利用热光学和色彩学的知识 建立了基于光谱反射率的屋顶最佳配色模型 得到白色屋顶在可见光区的反射率高于彩色屋顶 同时也远远高于黑色屋顶 其中 白 色屋顶的反射率大约为 0 8 黑色屋顶的反射率约为 0 1 所以 将城市屋顶漆成白色能 减小对太阳的吸收率 模型二 根据模型一得到的白色和黑色屋顶的反射率 利用传热学和能量平衡原理 建立了基于热量平衡方程的屋顶热辐射量模型 得到屋顶热辐射与屋顶反射率的函数关 系 进而计算出白色屋顶与黑色屋顶的平均屋顶辐射量分别为 50 14 185 14 可看出 白色屋顶保证了相对低的屋顶热辐射量 所以 将城市屋顶漆成白色能缓解了城市的热 岛效应 模型三 根据物理力学的相关知识 建立了基于内力分析的砂浆找平层失稳性能指 标函数模型 得出当砂浆找平层失稳性能指标 1 时 砂浆找平层将失去稳定 极易造 成防水层开裂 当 1 时 砂浆找平层不易失去稳定 且屋顶的温度越大 导致 的值 越大 砂浆找平层失稳性能越差 由于白色屋顶比传统的屋顶温度小得多 所以 把城 市屋顶涮成白色能减缓防水层的开裂 延长屋顶的使用寿命 节约成本 模型四 根据前面所建立的模型二 三 建立了白色屋顶的经济效益核算模型 对 白色屋顶产生的经济效益进行了定量分析 得到在炎热的城市 白色屋顶能减少空调的 用电量和屋面的翻新修补 其节省的费用所占的比例可达 20 以上 所以 将屋顶漆成 白色 不仅节能 降温 还能减少二氧化碳排放 有利于环境保护 其费用也是低廉的 本论文独具创新地对 白屋顶计划 做了更全面 更有效的研究 并取得了重大的 结论 据统计 在国内还是为数不多的 希望能给国家甚至世界各国探索 白屋顶计划 有很好的借鉴作用 参赛队号 1351 所选题目 B 参赛密码 由组委会填写 由组委会填写 1351 Abstract This article aims to establish a mathematical model to assess the role played by the White Roofs Plan to reduce the urban heat island effect Model one using the knowledge of color and thermal optical to establish best color matching model based on the spectral reflectance of the roof The reflectivity of the white roof in the visible region is higher than color roof but also it is much higher than the black roof Among them the white roof reflectivity is about 0 8 and the black roof reflectivity is about 0 1 Therefore the city roof is painted white so than it can reduce the absorption rate of the sun Model two according to the white and black roof reflectivity of the model one and using the heat transfer and the energy balance principle we establish a thermal radiation model based on the roof of the heat balance equation we get a function of roof thermal radiation and roof reflectivity Then calculate the average the amount of radiation of the white roof and black roof are 50 14 and 185 14 It can be seen the white roof ensure a relatively low roof thermal radiation Therefore the urban roof painted white can ease the urban heat island effect Model three according to the knowledge of the physical we establish a instability performance index function model based on internal force analysis of the mortar layer When the mortar layer instability performance 1 mortar layer will lose stability and it can easily cause the cracking of the waterproof layer When the mortar layer instability performance 1 the mortar layer is not easy to lose stability And the greater the temperature of the roof cause the greater the value of the instability performance of the mortar layer is worse The white roof temperature is much smaller than a traditional roof Therefore urban roof rinse white can slow down the cracking of the waterproof layer to extend the life of the roof and cost savings Model four according to previously established model of the second and third the establishment of economic accounting model of the white roof Quantitative analysis of the economic benefits of white roofs In the hot city a white roof can reduce the proportion of the cost saving air conditioning and save renovation repair up to 20 Therefore the roof painted white not only save energy cool but also reduce carbon dioxide emissions and are environmentally friendly the cost is low This thesis is a unique innovation to do a more comprehensive and more effective research for White Roofs Plan and made significant conclusions According to statistics is one of the few in our country I hope to it can give the country and even around the world a good reference in exploring the white roof plans 1351 目录 一 问题的重述 1 二 模型的假设与符号说明 1 2 1 模型的假设 1 2 2 符号说明 1 三 模型的建立 2 3 1 基于光谱反射率的屋顶最佳配色模型 2 3 1 1 模型的分析 2 3 1 2 模型的建立 2 3 1 3 模型的求解 4 3 2 基于热量平衡方程的屋顶热辐射量模型 4 3 2 1 模型的分析 4 3 2 2 模型的建立 5 3 2 3 模型的求解 6 3 3 基于内力分析的砂浆找平层失稳性能指标函数模型 8 3 3 1 模型的分析 8 3 3 2 模型的建立 8 3 3 3 模型的检验 10 3 4 白色屋顶的经济效益核算模型 10 四 模型的评价与推广 12 4 1 模型的优点 12 4 2 模型的缺点 12 4 3 模型的推广 12 五 参考文献 12 六 附录 13 1351 1 一 问题的重述 据纽约时报消息 170 华氏度大约是鸡蛋能煮熟的温度 这也是去年 7 月热浪期间 纽约市部分沥青屋顶的温度 深色的屋顶 建筑 街道等由于吸收阳光 使城市更闷热 这种 热岛效应 现象 使得纽约的温度经常会比周边地区高上 5 度 最简单的使城 市降温 降低用电量并减少碳足迹的方法 就是将屋顶变成白色 减小对阳光的吸收率 可以使城市的气温降低 在一些热带地区和炎热国家早已经实施了 白屋顶计划 在夏天的城市气温往往格外炎热 将城市建筑的屋顶漆成白色 增加对阳光的反射 减小对阳光的吸收率 房屋吸收的热量减少 降低空调等制冷设备的用电量 并且可以 使城市的气温降低 有研究表明 在炎热的天气里 白色屋顶减少空调的费用可达 20 个百分点或更多 同时减少了电力账单 较低的能源消耗 也意味着减少的二氧化碳的 排放 据称 如果在未来的 20 年里将全球的屋顶都涂成 浅色 能节省 240 亿吨二氧 化碳 相比于全球去年的二氧化碳排放量 240 亿吨来说 这就像是将地球关闭了一年 另一方面 某些平屋顶建筑 在炎热的夏季 屋面在太阳的热辐射作用下产生高温 容易致使屋顶的防水层破裂 造成屋顶渗漏 然而 在屋顶表面的防水层的表面上涂一 层白色反光材料 以增强太阳光反射 降低防水层对太阳辐射热量的吸收 从而降低屋 顶防水层的表面温度 这样达到了保护屋顶面的作用 减少对屋顶面维修的费用 减少 建筑材料的损耗 既经济又环保 请你建立合理的数学模型 评估 白屋顶计划 对降低城市热岛效应起到的作用 二 模型的假设与符号说明 2 1 模型的假设 1 忽略颜料的遮盖力对发射率的影响 2 只考虑材料的颜色对吸收率的影响 3 在相对一段时间内 白色屋顶的耐玷污性能良好 4 屋顶表面均为平面 屋顶的厚度均匀 5 屋顶的温度的来源只考虑太阳辐射 6 忽略本论文所参考的数据的误差 2 2 符号说明 a 被物体表面反射的光通量 b 入射到物体表面的光通量 在波长为 的光谱反射率 白色屋顶的吸收率 白色屋顶的反射率 t Q 到达白色屋顶表面太阳总辐射量 1351 2 b Q 屋顶表面反射量 c Q 屋顶表面与周围空气进行对流换热部分热量 i Q 屋顶吸收的热量 r Q 屋顶表面与大气物体之间的长波热辐射量 x 压应力变化值 t P 单位宽度板条受到的挤压力 1 p 两端嵌固端条件下 水泥砂浆不失去稳定的挤压力 2 p 两端简支端条件下 水泥砂浆不失去稳定的挤压力 p 屋顶的砂浆找平面不失去稳定的最大挤压力 屋顶的砂浆找平层稳定性被破环危险程度指标函数 Q 单位时间通过单位面积传输的热量 白色屋顶相对黑色屋顶的节约程度 三 模型的建立 3 1 基于光谱反射率的屋顶最佳配色模型 3 1 1 模型的分析 对于一般的屋顶来讲 温度的升高主要来源于太阳光中可见光照射 红外线辐射和 空气对流 普通的屋顶是一种灰黑色屋顶 其热吸收率通常达到 90 温度极易升高 因此 如果在屋顶表面涂一层太阳热反射率高的物质或颜色 增强屋顶的反射率 使大 部分热量在进入屋顶之前被反射掉 则可有效降低屋顶的温度 同时据研究表明 如果 屋顶吸收的太阳能平均值从 90 降至 65 那么大气温度的最高值将会降低 0 6 从 而可以使城市的气温降低 因此 针对屋顶高温引起的室内高温和加剧城市热岛效应问题 本模型拟通过在屋 顶表面涂上白色物料 增加对太阳光的反射来降低屋顶的温度 以期达到有效降低室内 高温和缓解城市热岛效应的目的 3 1 2 模型的建立 1 光谱反射率的定义 1 图 1 表示入射光通量 a 与反射光通量 b 在不透明体反射光的程度 可用光反射率 来 表示 光反射率可以定义为 被物体表面反射的光通量 a 与入射到物体表面的光通量 b 之比 可表示为 1351 3 a b 1 图 1 入射光通量与反射光通量示例图 从色彩的观点来说 每一个反射物体对光的反射效应 能够以光谱反射率分布曲线 来描述 光谱反射率 定义为 在波长 的光照射下 样品表面反射的光通量 a 与 入射光通量 b 表示为 a b 2 对图 1 若用光谱反射率来分析 如果在入射白光光谱中蓝色光和绿色光部分被吸 收 即 蓝 绿 接近于零 只有红色光部分的辐射能被反射 具有较大的 红 故该物体表面呈红色 由此可见 白色涂层可以反射所有颜色的光辐射能 故物体表面 呈白色 反射的辐射能越多 则反射率越高 所以 白色涂层的反射率明显高于其它涂 层的反射率 2 光的基本性质 2 将吸收 反射和穿过物质的能力与投射在物体上的总能量的比值分别定义为吸收 率 反射率 和透射率r 则对于总投入能量有 1 r 3 对于不透明介质 则有 1 4 白色屋顶属于不透明介质 1 适用于白色屋顶的吸收率和反射率测量 根据以上的分析可知 可推到出屋顶的吸收率为 11 a b 5 1351 4 所以 当屋顶涂成白色时 吸收率明显低于其它涂层的吸收率 使屋顶表面温度降低 3 1 3 模型的求解 根据附件 1 提供的入射光通量和反射光通量的数据 由公式 2 可求得 不同屋 面颜色的光谱线反射率 如图 2 所示 350 400 450 500 550 600 650 700 750 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 波长 nm 反射率 红 绿 蓝 黄 白 黑 10 20 30 40 50 60 图 2 屋顶颜色的反射率 由图 2 可见 对比白色屋顶和彩色屋顶的反射光谱 发现白色屋顶在可见光区的反 射率高于彩色屋顶 这是由于白色本身就是一种能够反射所有可见光的颜色 其它色彩 只可以反射部分可见光 同时从图中可看出 黑色屋顶在可见光区的发射率几乎为 0 这是因为黑色本身是能吸收所有可见光的颜色 3 2 基于热量平衡方程的屋顶热辐射量模型 3 2 1 模型的分析 屋顶处于自然环境之中 经受着各种自然因素周期性的影响 如太阳辐射 气温 降雨 降雪和风速等 这些因素与屋顶表面进行热能交换 构成了屋顶的光热环境 3 图 3 由图 3 可以看出 投射到屋顶的热辐射 包括太阳直接辐射 散射辐射 大气逆辐 射等 屋顶对投射来的太阳热辐射响应 包括屋顶对太阳热辐射的反射 吸收 屋顶热 辐射 对流换热等 但无论在屋顶的内部还是外部 能量之间都是以传导 对流和辐射 1351 5 三种方式进行传递 由图 3 也可以看出 产生城市热岛效应主要是由屋顶与大气物体之间的长波热辐射 量决定的 城市中的机动车 工业生产以及居民活动等产生的大量氮氧化物 二氧化碳 排放物也会吸收城市屋顶热辐射 增加局部温室效应 进一步推升城市大气的温度 加 剧城市热岛效应 所以要减轻城市热岛效应 就必须对城市屋顶的热力属性进行改变 本模型利用传热学和能量平衡原理 对屋顶建立了热量平衡方程 2 由此求出屋 顶对周围环境的热辐射量与屋顶表面温度的关系 3 2 2 模型的建立 图 4 是屋顶的光热环境的简化图 设到达白色屋顶表面太阳总辐射量为 t Q 屋顶表 面反射量 b Q 屋顶表面与周围空气进行对流换热部分热量 c Q 屋顶吸收的热量 i Q 屋 顶表面与大气物体之间的长波热辐射量 即屋顶热辐射量 r Q 如下图 t Q b Q c Q i Q r Q 图 4 根据传热学和能力平衡原理 对屋顶表面建立热量平衡方程 tbicr QQQQQ 6 由热量平衡方程可解得屋顶表面与大气物体之间的长波热辐射量 r Q 为 rticb QQQQQ 7 其中 bt QQ 从公式 7 可知 要求出屋顶表面与大气物体之间的长波热辐射量 还需知道对流换 热热量的大小 c Q 和屋顶吸收的热量 见如下 1 对流换热热量测量 2 对流换热热量的大小 c Q 一般通过屋顶表面温度和周围空气温度差值来计算 在完 全静止的状态下 屋顶表面和周围空气之间为自然对流换热 因此 可利用牛顿冷却公 式将对流换热量表示如下 cwf QttA 8 式中 表示自然对流换热系数 w t 表示白色屋顶表面温度 f t 表示周围空气温度 1351 6 A表示与空气进行热交换的屋顶表面面积 由公式可知 对流换热热量在测量太阳辐射吸收率时所占比例较低 对流换热系数 的变化基本不会造成太阳辐射吸收率的变化 根据传热学原理以及工程经验 取 4 5 2 5 8 m aWK 2 屋顶吸收热量测量 2 对于白色屋顶吸收热量 i Q 屋顶吸收热量可借用热流计量测得到 热阻式热流计是 目前常用的热量测量工具 当有热流通过热流计探头时 在探头的热阻层上产生温度梯 度 由此可以得到通过热流探头的热流密度 T q X 9 又因为热流密度 i dQ q ds 所以 i dQ T Xds 10 式中 q表示热流密度 T X 表示温度梯度 是热流计的导热系数 由上式可以求得白色屋顶吸收热量为 0 0 i i T Qdsc X Q 11 因此可解得屋顶表面与大气物体之间的长波热辐射量 r Q 为 rtwft T QQdsttAQ X 12 3 2 3 模型的求解 由模型一可知 黑色屋顶的反射率约为 0 1 灰色屋顶的反射率越为 0 5 白色屋 顶的反射率约为 0 8 其中太阳辐射值 热流计修正值 表面温度 空气温度的数值 2 见下表 2 4 表 2 白色屋顶在不同时刻的太阳辐射值 热流计修正值 表面温度 空气温度 时间 总辐射 2 Wm 热流计修正 值 2 Wm 表面温度 C 空气温度 C 10 45 627 43 100 42 46 34 46 51 11 00 659 43 104 59 49 06 54 19 11 30 663 61 102 64 51 10 56 00 12 00 659 43 98 87 53 14 57 81 12 30 639 96 93 66 54 72 58 94 13 00 616 30 87 29 56 08 59 17 13 30 538 40 75 60 53 82 55 78 14 00 474 40 62 96 55 40 57 36 1351 7 表 3 灰色屋顶在不同时刻的太阳辐射值 热流计修正值 表面温度 空气温度 时间 总辐射 2 Wm 热流计修正 值 2 Wm 表面温度 C 空气温度 C 10 45 627 43 211 74 54 67 52 95 11 00 659 43 220 34 58 71 56 00 11 30 663 61 213 55 62 31 58 20 12 00 659 43 203 67 65 50 60 40 12 30 639 96 191 83 67 62 62 20 13 00 616 30 177 84 69 32 63 40 13 30 538 40 153 14 66 98 63 00 14 00 474 40 127 29 68 04 62 00 表 4 黑色屋顶在不同时刻的太阳辐射值 热流计修正值 表面温度 空气温度 时间 总辐射 2 Wm 热流计修正 值 2 Wm 表面温度 C 空气温度 C 10 45 685 87 310 35 60 13 57 95 11 00 703 95 313 29 62 24 59 86 11 30 735 95 322 81 65 62 63 04 12 00 728 99 308 92 67 73 64 73 12 30 723 43 296 05 69 84 66 85 13 00 703 95 276 31 71 32 68 76 13 30 666 39 248 90 71 95 69 18 14 00 628 83 225 73 72 16 69 81 由公式 11 求出不同时间段的单位屋顶热辐射量 如下表 5 图 4 5 表 5 不同颜色的屋顶在不同时间段的单位屋顶表面的热辐射量 时间 10 45 11 00 11 30 12 00 12 30 13 00 13 30 14 00 白色屋顶热辐射量 2 Wm 26 05 57 05 58 50 60 10 58 81 53 89 43 44 43 29 灰色屋顶热辐射量 2 Wm 92 00 93 66 94 42 96 47 96 71 95 97 92 98 74 88 黑色屋顶热辐射量 2 Wm 157 1 165 7 177 39 183 97 193 0 201 61 201 51 200 8 1351 8 10 45 11 00 11 30 12 00 12 30 13 00 13 30 14 00 45 50 55 60 65 70 75 时间 屋顶表面温度 白色屋面 灰色屋面 黑色屋面 10 45 11 00 11 30 12 00 12 30 13 00 13 30 14 00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 时间 热辐射量 白色屋面 灰色屋面 黑色屋面 图 4 图 5 由图 4 图 5 可以看出 在同一天的任一时刻 在等量太阳辐射能量情况下 屋顶 颜色越深 屋顶表面温度越高 其中 黑色屋顶由于较低的太阳反射率和较高的太阳辐 射吸收 屋顶表面温度高于 60 C 而屋顶表面颜色越浅 屋顶温度越低 即具有较高 阳光反射率的白色屋顶将大部分太阳辐射能量发射回太空 仅有少量太阳辐射量被其 收 屋顶温度最高不超过 55 C 高温物体对周边环境辐射热量的能力要高于低温物体 而温度较高的屋顶向周边环 境和室内辐射热能的能力也要明显高于温度较低的屋顶 屋顶温度的差异决定了室内温 度及舒适度的不同 对周边环境热岛效应的加剧程度也不同 白色屋顶保证了相对低的 室内温度 减少了能耗 提高了室内舒适度 缓解了局部微观环境的热岛效应 建议在 不影响视觉效果及对周围建筑无不良影响的前提下 屋顶表面涂刷浅色涂层 并尽量使 屋顶表面平整 3 3 基于内力分析的砂浆找平层失稳性能指标函数模型 3 3 1 模型的分析 屋顶防水层 6 表面颜色一般是接近于灰黑色 夏季在太阳光的长时间照射下 将 吸收大量的热量 屋顶温度高达 80 90 在这一温度下 防水层变得十分柔软 在外 力作用下 极易开裂 防水层下面是找平层 找平层截面在温升作用下 产生温度变形 时 全截面受热均匀 其达到的最高温度近似等于面层温度 找平层的下一层是相对比 较松散的材料 它和找平层粘接不牢或出现不同程度的脱空现象 当温度升高时 水泥 砂浆找平层的砂浆受热膨胀 而屋顶四周的檐口会限制找平层砂浆的膨胀 导致其受到 温度压应力的作用 在粘接力不足或脱空位置的找平层砂浆变成受压构件 当压应力达 到一定数值 引起失稳破坏或弯曲破坏 同时防水层被拉裂 而造成屋顶漏水 3 3 2 模型的建立 温度使屋顶的结构产生变化 且基本上都是三维的 但屋顶工程大多数情况下 可简 化为一个方向的变形就足够了 这种变形的影响包括弹性变 蜗变 热变位和干缩度 本文只讨论温度产生的变形 本文用由屋顶受热膨胀产生裂缝宽度来衡量的 假定粘着力薄弱或起壳的板承受均匀的约束压应力 非均匀温度时取平均温差 对 于薄板可以忽略 y 的影响 并按平均应变问题考虑 即假定 0 z 则 应变公式为 1351 9 2 11 xx ee a T 13 由于方向嵌固 所以 0 x 于是压应力变化值为 1 x e a T 14 当屋顶厚度为 时 单位宽度板条受到的挤压力为 1 tx e a T P 15 其中 a 是线性膨胀系数 为弹性特征系数 e 为弹性模量 负号表示挤压力的方向 由公式 3 可看出 当只考虑温度对屋顶表面的变形时 屋顶单位宽度所受到的 挤压力与屋顶表面的温度成正比例关系见图 1 即屋顶表面的温度越大 屋顶单位宽度 所受到的挤压力越大 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 100 200 300 400 500 600 屋面温度 挤压力 图 6 考虑以往工程经验裂缝的规律是单向出现 可假定板的失稳模型是受压板条的失稳 问题 根据欧拉临界力公式 在不同的边界条件下 水泥砂浆不失去稳定的挤压力不同 两端嵌固端条件下 2 1 2 4 e J p L 16 两端简支端条件下 2 2 2 e J p L 17 1351 10 其中eJ 为板的弯曲刚度 L为板的脱空长度 在屋顶的条件下 面层即不是嵌固端 也不是简支端 而是介于二者之间 取其平 均值较为合适 即屋顶的砂浆找平面不失去稳定的最大挤压力为 2 12 2 12 5 2 e J ppp L 18 根据以上分析 可建立随温度的变化 屋顶的砂浆找平层稳定性能指标函数 2 2 2 5 1 t p aL T pJ 19 由 19 可知 当 1 即 t pp 时 屋顶的砂浆找平层失去稳定 当 1 即 t pp 时 屋顶的砂浆找平层不失去稳定 且屋顶的温度越大 导致 的值越大 屋顶稳定性 能越差 3 3 3 模型的检验 我们对某个小区的屋顶漏水情况进行了分析 得到砂浆找平层与基层的平均脱空长 度 1 2 Lm 砂浆找平层破坏后的斜面平均长度为0 6025m 其它参数值为 50 TC 0 15 5 10 根据以上数据计算如下 单位宽度找平层受到的挤压力为 5 1050 20 0 01176 11 0 15 tx e a Te Pe N mm 层面的砂浆找平层不失去稳定的最大挤压力为 3 2 12 22 1 20 2 5 3 14 12 5 12 0 011415 21200 e e J pppe N mm L 所以 t pp 层面的砂浆找平层失去稳定破环 3 4 白色屋顶的经济效益核算模型 屋顶的热量通过热传导传输到屋顶的内侧 再通过对流传到室内 7 如图 7 所示 1 T T 2 T Q Q 图 7 1351 11 其中变量T 表示屋顶温度 Q 表示单位时间内单位面积传导的热量 1 T 表示屋顶的 内侧 2 T 表示室内温度 根据传热学知识 物体表面薄层空气对流传热可以用一个线性 关系来描述 即在屋顶的内侧表面成立如下公式 12 QTT 20 其中 Q为单位时间通过单位面积传输的热量 称为对流传热系数 它们的值与 屋顶材料的表面性质以及空气流动的速度有关 由于屋顶的两侧的温差 1 TT 引起热传导 单位时间内单位面积传导的热量 Q 与温差 1 TT 间成线性关系 1 k QTT a 21 其中 k称为热传导系数 a为屋顶的厚度 所以 联系公式 20 与公式 21 消去 1 T 得 1 1 2 a TTQ kk 21 令 1 1 a Q kk 所以 22 式可改写为 2 TT 23 其中 传热损失量 我们假设 在炎热夏天 我们把室内的温度保持在某一个舒适的数值上 我们设 为 0 T 所以我们需要消耗的能量为 200 Qcm Tcm TTcm TT 24 其中 c为空气比热容 m为屋内的体积 由公式 24 我们可看出屋顶温度越低 空调消耗的能量越少 所以 在白色屋 顶与黑色屋顶情况下 要想让室内的温度保持在某一个舒适的数值上 空调需要消耗的 能量分别为 0 Qcm Tcm TT 白色 白色 白色 25 0 Qcm Tcm TT 黑色 黑色 黑色 26 特别地 我们可构造白色屋顶相对黑色屋顶的节约程度为 1351 12 00 0 0 100 100 100 QQcm TTcm TT Qcm TT TT TT 白色 黑色 白色 黑色 白色 白色 白色 黑色 白色 27 为了能定量的近似计算白色屋顶相对黑色屋顶所能节约的能量 利用模型二中白色 屋顶温度和黑色屋顶温度的数据 为了使计算更方便 取屋顶温度的平均值作为屋顶的 温度 即 54 60 TT 白色 黑色 令 1 2 C 0 27 TC 所以 得到白色屋顶相对黑色 屋顶的节约程度为 22 另一方面 由模型三可知 白色屋顶相对其它颜色屋顶来说 其屋顶所受的表面温 度相对很低 所以白色屋顶的耐用性更强 寿命更长 减少翻新或修补的次数 最终达 到节约成本 总之 舒适的生活环境 减缓热岛效应等都将带来显著的社会效益 而且屋顶面积 越大 经济效益和社会效益将更为明显 四 模型的评价与推广 4 1 模型的优点 针对不同颜色的屋顶表面对太阳光具有不同的反射率 建立了屋顶最佳配色模型 这一模型结构简单 而且能够真实地本质地反映出屋顶表面的颜色与对光的反射的规 律 在这一基础上 又合理地利用传热学和能量平衡原理又对屋顶表面建立了热量平衡 方程 从而得到在不同颜色下的屋顶 它们对大气的热辐射和自身表面的温度 通过这 一模型 清晰的反映出白色屋顶有利于降低城市的温度和减轻城市热岛效应 在全面考 虑白色屋顶的效益时 在模型三和模型四中 进一步分析了把屋顶漆成白色对屋顶的保 护作用 和白色屋顶所产生的经济效益 本文的模型思维严密 具有较强的现实指导意 义 能较好的评估 白色屋顶计划 4 2 模型的缺点 本文从屋顶表面涂料的颜色的角度考虑 但没有对选取不同的涂料种类 作进一步 分析 4 3 模型的推广 本模型具有广泛的应用性 可以应用于研究建筑 生物和物理等方面 对于解决一 些实际问题具有重大意义 本模型也可用于对路面太阳热反射涂层性能的研究 五 参考文献 1 殷燕子 太阳热反射涂料的研究 D 机械科学研究院 2004 24 25 2 刘文燕 混泥土表面太阳辐射吸收率实验研究 J 混泥土与水泥制品 2004 4 8 11 3 王伟 沥青路面太阳热反射涂层性能及其研究 D 重庆 重庆交通大学 2011 8 9 4 姜全德 蒋鸿 钢筋混凝土箱形梁桥日照温度场和温度应力平面有限元数值分析方 法 J 桥梁建设 1990 3 5 张国庆 田泽民 等 混凝土箱梁的温度场 J 东北公路 1999 Vo122 3 6 刘士彬 屋面防水层开裂的机理分析与研究 J 东北电力学院学报 2003 4 23 4 75 77 1351 13 7 谭永基 数学模型 M 上海 复旦大学出版社 2006 150 153 六 附录 1 入射光通量和反射光通量的数据 data1 表示入射光通量 data2 表示反射光通量 data1 0 84301 0 89407 0 91961 0 92521 0 92554 0 92481 0 92418 0 92331 0 92 224 0 92051 0 9183 0 91625 0 91387 0 91119 0 90851 0 90775 0 91015 0 91568 0 92481 0 93667 0 95554 0 96986 0 9754 0 97715 0 97766 0 97771 0 97766 0 97 756 0 97751 0 97731 0 97713 0 97697 0 97688 0 97675 0 97659 0 9765 0 76905 0 83165 0 86207 0 87342 0 87908 0 88493 0 89282 0 90301 0 91618 0 9 3342 0 9496 0 95982 0 96601 0 97015 0 97209 0 97104 0 96765 0 96174 0 95247 0 93994 0 92266 0 89733 0 85915 0 81413 0 77728 0 75309 0 73615 0 72067 0 71182 0 71264 0 72452 0 74227 0 76019 0 77169 0 76905 0 76415 0 83389 0 9068 0 94715 0 96132 0 96567 0 9695 0 97382 0 97727 0 97989 0 982 04 0 98296 0 98286 0 98173 0 97939 0 97538 0 96911 0 96032 0 94756 0 92888 0 90654 0 88493 0 86737 0 8494 0 83333 0 82456 0 82047 0 81917 0 82332 0 83 193 0 8366 0 83416 0 82699 0 81651 0 80769 0 81516 0 83845 0 58678 0 62264 0 63768 0 64664 0 64539 0 65035 0 6587 0 66997 0 67846 0 68 847 0 7006 0 72067 0 76247 0 85507 0 92366 0 94756 0 95455 0 95706 0 95917 0 96133 0 96239 0 96266 0 96248 0 96214 0 96179 0 96142 0 96112 0 96085 0 9 6069 0 96032 0 96 0 95971 0 95956 0 95938 0 95915 0 959 0 93804 0 96118 0 97394 0 9787 0 98026 0 9817 0 98351 0 98516 0 9866 0 9880 2 0 98902 0 98956 0 98969 0 98971 0 98974 0 98934 0 9884 0 98707 0 98569 0 98485 0 98523 0 98653 0 98719 0 98727 0 9872 0 98708 0 98698 0 9869 0 9869 0 98682 0 98673 0 98665 0 9866 0 98653 0 98648 0 98655 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 3 3333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 3333 3 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 0 33333 data2 0 15699 0 10593 0 080386 0 074794 0 07446 0 075188 0 075815 0 07668 7 0 07776 0 079491 0 081699 0 083752 0 086133 0 08881 0 091491 0 092251 0 0 89847 0 084317 0 075188 0 063331 0 044464 0 030139 0 0246 0 022847 0 022341 0 022292 0 022341 0 022442 0 022492 0 022691 0 022873 0 023026 0 023121 0 023245 0 023408 0 023502 0 23095 0 16835 0 13793 0 12658 0 12092 0 11507 0 10718 0 096993 0 083822 0 066578 0 050403 0 040177 0 03399 0 029851 0 02791 0 02896 0 032352 0 03825 6 0 047529 0 06006 0 07734 0 10267 0 14085 0 18587 0 22272 0 24691 0 26385 0 27933 0 28818 0 28736 0 27548 0 25773 0 23981 0 22831 0 23095 0 23585 0 16611 0 093197 0 052854 0 038685 0 034329 0 030497 0 026185 0 022732 0 02 0109 0 01796 0 017039 0 017135 0 018275 0 020606 0 024624 0 030893 0 039683 0 052438 0 071124 0 093458 0 11507 0 13263 0 1506 0 16667 0 17544 0 17953 0 18083 0 17668 0 16807 0 1634 0 16584 0 17301 0 18349 0 19231 0 18484 0 16 155 1351 14 0 41322 0 37736 0 36232 0 35336 0 35461 0 34965 0 3413 0 33003 0 32154 0 31 153 0 2994 0 27933 0 23753 0 14493 0 076336 0 052438 0 045455 0 042937 0 04 0833 0 03867 0 037608 0 037341 0 037523 0 037864 0 038212 0 03858 0 03888 0 039154 0 039308 0 039683 0 04 0 04029 0 040437 0 040617 0 04085 0 041 0 061958 0 03882 0 026062 0 021299 0 019743 0 018301 0 016491 0 014843 0 01 34 0 011978 0 010976 0 010442 0 010314 0 0