数学建模样题及答案.doc

数学建模作业一学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。（2） Q值方法：m方席位分配方案：设第i方人数为，已经占有个席位，i=1，2，m.当总席位增加1席时,计算，i=1，2，m 把这一席分给Q值大的一方。（3） dHondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如下表： 1 2 3 4 5 A 235 117.5 78.3 58.75 B 333 166.5 111 83.25 C 432 216 144 108 86.4 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。（试解释其道理。） （4） 试提出其他的方法。数学建模作业二假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为,t到t+t时间内人口的增长与-成正比例(其中为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。解：dxdt=r(xm-x),r为比例系数，x(0)=x0 解为：x(t)= xm-( xm- x0)ert,如下图粗线，当t时，它与Logistic模型相似。数学建模作业三一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？要求写出分析过程。解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量dxdt=-2x100+3t-2t+23x0=50 x(t)=2(100+t)-1.5106(100+t)-2 X(t=30)=171.24dxdt=-2x100+3t-2tx0=50 x(t)= 5105(100+t)-2 X(t=30)=29.59数学建模作业四商业集团公司在三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区，它们需要的货物量分别是25，10，20，30，15个单位质量。产品从到的每单位质量装运费列于下表：5530405040353010045604060953530解：设从Ai运至Bi的货物质量为Xij，i=1,2,3;j=1,2,3,4,5;目标函数：min 55X11+30X12+40X13+35X34+30X35S.T:j=15X1j=40j=15X2j=20j=15X3j=40i=13Xi1=25i=13Xi2=10i=13Xi3=20i=13Xi4=30i=13Xi5=15非负限定；软件求解：数学建模作业五设有9个节点，他们的坐标分别为：a（0，15），b（5，20），c（16，24），d（20，20），e（33，25），f（23，11），g（35，7），h（25，0），i（10，3）。任意两个节点之间的电缆长度为问怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆长度为最短。数学建模作业六有三个旅游点上海、乌鲁木齐、昆明供你选择，考虑的因素是费用、景点、交通，试通过层次分析法求给出选择的结果。数学建模作业七简述数学建模的一般步骤，通过对一个实例的求解展现这一步骤。建模的步骤一般分为下列几步:1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.数学建模作业八设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa. 研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因分布如何？解：设xn=1,2,3分别表示第n代的一个体属于AA、Aa、aa，即3种状态，n=1,2,3,a(n)=(p(x1), p(x2), p(x3)表示第n代后个体分别属于状态x1，x2，x3 的概率。假设a（0）=（a,2b,c）.P=a+b;q=b+q其中a+2b+c=1转移概率pji 表示:一个后代具有的基因类型j/亲具有的基因类型.则 转移矩阵 D=p11p12p13p21p21p21p31p31p31 =10012120010且Dn=1002n-12n 12n 02n-1-12n-112n-10那么a(n+1)=a(n)D=a(0)Dn=(a+b+2n-1-12n-1b+c, b+c2n-1,0)=(p+(1-12n-1)q, 12n-1q,0)所以若干（n）年之后三种基因分布情况AA：Aa：aa=（p+(1-12n-1)q）：（ 12n-1q）：0数学建模作业九小李要购买二居室公房一套，共10万元一次付清。他们自己设法筹借到4万元，另外6万元申请抵押贷款。若贷款月利率为1%，还贷期限25年，问小李每月要还多少钱？要求给出分析过程。k=1nx(1+i)k=vx每月所还金额I月利率n还贷期限（月）v贷款金额将题目数据带入可得：x=分析：此题如同经济上的后付年金现值得计算方法。数学建模作业十一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？解：（1）按照男孩和女孩的步行速度，男孩和女孩去学校或者回家所用的时间都是