新课程标准下数学学习策略体系的构建与特点分析.doc

新课程标准下数学学习策略体系的构建与特点分析作者：鲁成全 指导老师：习军明（江西省吉安市井冈山大学356信箱 邮编：343009）摘要： 新的数学课程、新的数学课本、新的学习目标要求新的数学学习策略与之相适应，所上，构建新的数学学习策略体系成为当务之急。本文在对标准的总体目标及学习目标主行分析的基础上，构建了标准指导下的新的数学学习策略的体系，并分析了新的数4学习策略所呈现出的新的特点:数学学习策略的过程性: 数学学习策略的群体性；数学学习策略的活动性； 数学学习策略的个体性； 数学学习策略的现代化；关键词：国家数学课程标准 数学学习策略 过程性 群体性 个体性 活动性 现代化 情感与态度 数学建构主义 非认知因素全日制义务教育数学课程标准（实验稿）于2001年由北京师范大学出版社出版发行，在标准的指导下，数学课程以一种全新的面貌呈现于中学生面前，新的数学课程要实现的目标是： 人人学有价值的数学； 人人都能获得必需的数学； 不同的人在数学上得到不同的发展。如何才能获得有价值的数学？如何才能获得必需的数学？如何在数学上得到充分的之展？这是摆在教育工作者面前的问题，同时也特别是对中学生的数学学习提出了新的要求，因为学生是学习的主体。 时代的发展对学生的数学学习提出了新的挑战，如何才能更有效地学习数学，实现标准所提出的数学学习的目标？显然传统的数学学习策略己不能满足时代的要求，在看到学生过去所取得的辉煌的数学成绩的同时，我们也不能不看到传统的数学学习策略的弊端 构建新的数学学习策略体系离不开坚实的理论基础。认知科学的发展推动了数学学习的研究，建构主义教育理论极大地影响了我国关于数学学习的研究，“建构主义提供的是关于数学学习认识论的分析，相对于学习心理的实证研究而言，它是不可或缺的，甚至是更为根本的”。建构主义的核心认为:知识并非主体对于客观实在的简单的、被动的反映，可是一个主动的建构过程。所以，在新的学习策略体系中，我们以学生为主体，学生是认知的主体，学习策略的一切活动都是为学生而设计，目标是为了实现学生的数学认知的发展与情感、态度、价值观的发展。 在新的数学学习策略体系中，虽然一切都是围绕学生而设计，但我们并不否定教师的指导与引导作用，在实现目标的过程中，都融入了教师的作用。教师的规范引导使得学生的认知结构更加具有组织化与社会化。一、新的课程标准所提出的数学教学目标 传统的教学大纲不能适应时代的发展对数学学习所提出的目标，新的标准的出台已成为历史的必然。新的课程标准打破了传统的教学大纲一贯的模式，姘弃了以数学学科体系为中心来表述本学科的知识点和教学要求的框架，转而强调学生自我的教育需求，让他们积极主动地接近数学、了解数学、应用数学，在获得数学知识的同时获得数学学习的发展和形成正确的数学价值观。在标准的第二部分课程目标中，以总体目标和学段目标从宏观和微观两个角度对义务教育阶段数学课程所要实现的目标做了详细叙述。标准课程目标的总体目标是:通过义务教育阶段的数学学习，学生能够: 1、获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能； 2、初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识； 3、体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；4、具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。具体阐述如下:知识与技能经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。数学思考经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维；经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念；经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。解决问题初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；初步形成评价与反思的意识。情感和态度能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 上述四方面目标联系密切，对人的发展具有十分重要的作用，他们是在丰富多彩的数学活动中实现的。数学思考、解决问题、情感和态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习又必须以有利于其他目标的实现为前提。 分析标准的总体目标，可以看到，在“以人的发展为本”的教学理念的支撑下，与传统的教学大纲不同的是，标准尤其注重了学生作为数学学习的主体地位。对于数学知识与技能的学习，标准没有过分强调“了解、理解、掌握”而是把重点放在“经历的过程”，“掌握的基础知识与基本技能，并能解决简单的问题”。 如对空间与图形的要求是:经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。 除了传统观念中的基础知识和基本技能外，标准把知识性领域的目标又提高了一个层次，上升到了数学活动的过程及问题解决。学数学就是做数学（knowing mathematics is doing mathematics）。让学生经历做数学的过程，在做数学的过程中发现数学、了解数学、体验数学、掌握数学；在问题解决的过程中运用数学，观察数学的特征，总结数学的规律，体验到数学的概念、定理等知识领域中所蕴涵的独特的理性精神与思想方法。二、国际上其他国家的学习者所采取的数学学习策略 放眼世界，从其他国家的数学课程标准或数学教学大纲中，我们不难窥视其他国家的学生在数学学习中所采取的数学学习策略。 法国现行的中学数学教学大纲对初中一年级几何的教学内容与教学要求有“几何教学要依靠绘图仪器和测量工具；也要和其他内容的学习紧密联系，它为有关数值计算和一些概念（如坐标、比例等）提供基础”。 （1）简单平面图形的复制，平面面积的比较。【“复制”是指按一些模型或一些图案制作复制品，或根据某些己知条件与己知数据制造一些成品。可使用透明纸、方格纸、三角形网格纸；使用直尺（有刻度或没有刻度的）、圆规、角尺、量角器等仪器；复习垂线与平行线的基本做图；在这些工作中谨慎地引入用字母表示图形中的点的做法；这些工作可以培养学生针对具体情况选择和使用恰当工具的能力】 对数据的组织与处理、函数的教学要求是:从下述实践活动中导出的例子:（1）以数值计算为基础的:百分比的运用；统计数据；计算机中的乘以常数的运算。（2）以几何为基础的:矩形的面积与周长的计算，长方体的体积及圆周长的计算。运用上述例子，以达到:用图或表示来描述情景，识别比例关系，确定第四比例项，单位换算（本栏的目的在于对表格、数表、图表的阅读、解释、使用进行启动。这些工作只有通过具体事例才能明白；要使用来自其他学科以及以下六个领域的问题:消费、发展、环境、财务、信息、生活与健康） 。 英国90年代SMP （School Mathematics Project（学校数学设计）的数学教材（第711学年，1116岁）具有如下特点:1、 联系生活、联系实际。通过与学生日常生活经验相关的实践活动来发展数学知识。2、 引人入胜，精心安排、并用生动有趣的方式来发展学生的数学思想，使数学成为通俗的、为学生所喜爱的学科。3、灵活多样的学习资料。不仅提供一套教科书和小册子，而且包括各种资料，以满足多种多样的学习方式。 第7、 8学年（1113岁）的SMP教材采用小册子的形式，它既便于个人自学、双人或小组活动，也适用于混合能力组或班级授课。它便于学生按各人自己的进度进行学习，也能使他们体会到学习数学的过程中自己的成绩与进步。 流行于英国的数学教材还有由伦敦大学教育学院组织编写的世纪数学，这是英国国家课程颁布后出版的一套数学教材，很大程度上反映了国家课程的要求。NMP （National Mathimatics Project（国家数学设计）教材也具有自己的特色。NMP致材便于自学，有大量的习题（例题）结合在课文中，也有必要的注解与说明。课本提供了学生与学生、学生与教师间的讨论题，口算与心算作业。另外，英国国家课程中的数学除了明确成绩目标外，在学习大纲中规定了学生应从事的活动，而不象传统的教学大纲那样着重于“知识点”。新的NMP、世纪数学等教材都突出了致学学习过程，注重学生的数学活动，特别是探究活动。 美国的国家数学课程标准明确提出:要十分重视学生的年龄特征。58级（即从小学五年级到初中二年级）学生的特点是具有“自我意识”，对于“我是谁、“我适合做什么”、“我喜欢做什么”、“我要做什么”等问题怀有浓厚的兴趣和好奇心。这种兴趣和好奇心是他们学习的动力，数学教学要想方设法让学生主动投人到学习中去；要使他们有视听接触；又有操作活动。要让他们接受多种多样力所能及的挑战，鼓励他们把已有的经验和知识用到新的更的情景中去，进行探索、描述、友达、预测、求解、证明、应用、讨论、研究、发展，以积累经验，学习知识，培养指力。 国家数学课程标准也十分重视“数学交流”作为一种有效的学习策略，而且强调:数学教学应该重视数学交流的训练，使学生掌握交流的技能，在教学中要特别重视让学生有机会去讲，去表达自己的思想和听取别人的想法，因此要注意组织学生进行小组或大组的讨论。讨论活动也是学生学习新思想、新方法、新支巧、新符号的重要途径。 分析其他国家的数学教材与课程标准，可以看到:对于学生的数学学习，具有以下两个方面的共识:（一）注重了数学学习的特殊性与可持续发展性 数学作为一门独立的学科，有自己独特的内容，当然，学习这些独特的内容，就要有相应的不同于其他学科的学习策略。如数据的收集、处理与分析，制作数学模型，开展实践活动，这些学习策略具有学习数学的独特性，在数学学习过程中具有别的学科所代替不了的价值。 数学学习不仅要让学生获取数学知识，更应该让学生在态度、情感、认知、思维和一般能力各方面都得到发展，即数学学习除了掌握数学基础知识和技能外，还包括提高和发展解决数学问题的能力、交流数学的能力、发展推理思维和数学联系，这些能力不仅对学生以后学习数学有用，而且对于学生将来步入社会做任何事情都有价值。 学习数学的过程应当成为积极的、愉快的和富于想象的过程，在学习的过程中，让学生形成积极的情感体验，使学习数学的过程不再是令人望而生畏的。传统的数学学习过分重视数学学科自身体系结构的完整和学生对基础知识技能的理解与掌握，在很大程度上忽视了学生数学学习过程中的情感与态度。任何一门学科的学习，首先应该是发展人的各方面素质。注重学生学习过程中良好的情感与态度的养成，会极大地促进学生对数学内容本身的学习，促进学生主动学习与探索。良好的态度、情感、价值观的养成，与数学知识的获得是互相促进、相辅相成的。（二）提供数学知识背景、自主探索、合作交流是数学学习策略的重要组成部分 学生学习数学是学生生活常识的系统化，离不开学生现实的生活经验，对学生来说，数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”。在他们的生活中己经有许多数学知识的体验，课堂上的数学学习是他们生活中的有关数学现象和经验的总结与升华。在学习数学的过程中，每一个学生都从他们的现实数学世界出发，与教材内容发生相互作用，建构自己的数学知识，因此，数学教师应该为学生的数学学习营造一种现实而有吸引力的数学学习背景，激发学生学习数学的兴趣与动机，让学生在自然的情景中。自己动手、动脑“做数学”，用观察、模仿、实验、猜想等手段，收集资料，获得体验，从而学会运用数学解决生活中的问题，在学数学中用数学，在用数学中学数学。 数学学习是学生自己的活动过程，学生用自己的活动建立对人类已有的数学知识的理解。数学学习不是单纯的数学知识的接受，而是以学生为主体的数学活动，因此数学课堂应该让学生有自主探索、合作交流、积极思考和操作实验等活动的空间和机会，让学生在具有现实背景的活动中去研究、去探索，从而养成探索与创新的精神，运用数学发现问题，解决问题、交流处理信息。所以，现实的、有趣的和有探索性的数学课题的学习活动要成为数学学习策略的有机组成部分，数学学习也应该成为绿色的数学学习。 数学教育要与时俱进，要跟上社会与时代的步伐，所以为了实现标准所提出的目标，学生所采取的传统的数学学习策略已不能适应时代发展的要求。背诵概念、习题演练己不能满足时代的发展对数学学习提出的目标。社会需要创造性人才，数学学习要为人与社会的发展服务，学生在学习数学的过程中要学会学习，学会创造，而不仅仅是模仿与操练，这样才能为学习与创造的可持续发展打下良好的基础。三、新课程标准下，数学学习策略体系的构建 在新的课程标准下数学学习策略受包含那些内容？哪些因素的影响？是否有规律可寻？有什么特点？笔者在现代数学学习心理学发展研究的基础上，以新的标准为依托，结合标准提出的数学学习目标，通过过问卷调查结果分析，试图构建新的课程标准下，数学学习策略体系的框架，寻求上述问题的答案。 如上图，新的数学学习策略的内容由四个因素构成师生、生生之间交流合作；学生的观察、实验动手做；学生的独立思考、自我反思；现代信息技术（计算器、计算机、网络）的运用。学习策略的目标有两个方面:学生对数学知识的主动建构与情感、态度、价值观的发展。 这是一个立体的结构，在这个数学学习策略体系中，学生对数学知识结构的主动建构与学生情感、态度、价值观的发展是两个并列的目标中心，即是学生数学学习的目标。师生之间的合作与交流；学生的观察、实验、调查、动手做；学生的独立思考、自我反思；以及现代技术、计算机、网络的应用则是达到这两个目标的主要的数学学习策略，或者说在实现这两个目标的过程中所呈现出来的新的数学学习的特点，它们围绕在两个中心目标的四周。在每一个运用策略向目标前进的过程中，都融合了传统的教师讲授以及适当时候，对学生已具有的数学知识结构、知识观念的规范性加以引导。在实现目标的过程中，又要受到认知因素与非认知因素的影响，即要受到智力发展与非智力发展的影响。在策略与目标之间用双箭头连接，说明他们之间互相制约、互相影响、相辅相成的双向关系，即策略的发展有利于目标的形成，目标的实现又有利于策略的进一步发展，这是一个循环系统；而两个中心目标又是双箭头连接，说明情感、态度、价值观的发展与数学知识的发展也是相辅相成的关系，即情感、态度、价值观的发展会促进数学知识的发展，反过来，学生数学知识的发展又会刺激其非认知及身心各方面的发展，这又是一个循环的系统。数学学习的目标即是要形成这样的良性循环。 整个数学学习策略体系的主体是学生的自主活动，学生是学习活动的主体，在这个学习策略体系中占据主导地位，其外部环境为社会、家长、学校对学生数学学习的关注以及良好的教室文化对学生数学观念的影响，其中包括激发学生数学学习的动机；及时对学生的数学学习作出适当的评价；帮助学生树立正确的数学学习态度、学好数学的信心、克服数学学习中的困难。在此，不可忽视的是数学教师在这个过程中所起的作用，因为学生大部分数学学习的时间是直接与数学教师接触的，所以，虽然在这个学习策略体系中我们没有提到数学教师，但是教师的传授、引导、规范、指导却是必需的。在新的数学学习策略中，学生不再只是盯着一张黑板，拿着一本教科书，守着一堆练习题，学习策略呈现出了前所未有的多样化趋势与一些新的特点，以下笔者着重对标准指导下数学学习策略的新特点进行分析。四、新课程标准下，数学学习策略的主要特点分析（一）、新课程标准下，数学学习策略的过程性 由于深层的文化背景与客观条件的影响，而其中最直接的因素即是考试制度的影响以及传统的对考试的评价只注重了问题解决的结果，结果正确，则万事大吉。以至于在过去的数学学习中，学生更多地是注重了数学学习的结果，结果正确，学生就会高呼“我做对了”而不去考虑过程的繁与简，甚至对与错。在前期的调查中，我们也发现如果结果正确了，则部分的学生都不会去考虑过程的简洁性，甚至对与错。 标准强调了数学学习的过程性。数学知识的形成是一个动态的过程。学习者应该在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在总体目标的具体阐述中，标准姘弃了过去教学大纲中简单的“了解、掌握、理解，、灵活运用”，而是提倡让学生去体会知识的获得过程。在知识与技能、数学思考两方面尤其注重了数学知识的过程性。如 知识与技能目标为: 经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程； 经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程。 经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程 数学思考的目标为: 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维； 经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念； 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程 标准的这些目标不仅仅与创新意识和实践能力的培养紧密相联，而且使学生的探索经历和得出新发现的体验成为数学学习的重要策略。上述“过程”包含两个方面的涵义: （1）在学习的过程中发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化的处理，把一个实际问题转化为数学问题。 （2）在数学范畴之内对已经符号化了的数学问题做进一步的抽象化处理，从符号一直到尝试建立和使用不同的数学模型，发展更为完善、合理的数学概念框架。学生通过这个过程，理解一个数学问题是如何提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学结论是怎样获得和应用的，通过这个过程学习和应用数学。在一个充满探索的过程中，让已经存在于学生头脑中的不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受到数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识，使人的理智和情感世界获得实质性的发展和提升。 数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。标准强调:“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”由于数学课程内容是现实的，并且“过程”成为了课程内容的一部分，因此，课程内容本身就要求有意义的、与之匹配的学习策略。数学的学习策略不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，它应该是一个绿色的、充满生命力的过程。学生要有充分的从事数学学习活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法。在亲身体验和探索中认识数学，解决问题理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。在合作交流、与人分享和独立思考的氛围中，倾听、质疑、说服、推广而直至感到豁然开朗，这是数学学习的一个新境界，数学学习变成学生的主体性，能动性、独立性不断生成、张扬、发展提升的过程。如在学习函数概念时，老师要引导学生关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习策略，不应只关注对其表达式、定义域与值域的讨论。案例2以知摄氏温度与华氏温度有如下关系:摄氏温度01020304050华氏温度32506886104122 在平面直角坐标系中，通过描点观察点的分布情况，建立满足上述关系的函数表达式。 在学习的过程中，学生就可在老师的指导下，进行如下的活动: 1、描点:根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点； 2、判断:判断各点的位置是否在同一直线上；（可以用直尺去试或顺次连接各点，观察所有的点是否在同一直线上） 3、求解:在判断出这些点在同一直线上的情况下，选择两个点的坐标，求出一次函数的表达式； 4、验证:验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数的表达式。 如上选取生活中的具体实例，这样学生能够体会函数反映实际事物的变化规律的过程，并产生探索这种规律的愿望。 在此，我们强调一点的是，数学学习的过程不仅仅包括从认识问题到问题解决的过程或者从接触文字到理解概念的过程，还应该包括理解概念及问题解决以后的反思过程，或者说是一个元认知的过程。我们的调查显示，大部分的学生没有去做这方面的工作，而这一环节与前面的“经历”、“操作”过程同样重要，只有经历了自己的反思，对整个概念认识过程或问题解决过程进行再认识，学生所具有的认知结构才会达到一个新的理论的高度。弗赖登塔尔（H.Freudenthal）甚至认为反思自己的问题解决过程是数学学习活动的核心与动力。能够对自己的学习过程进行反思，也是对于主体数学知识结构的系统化的一次总结，是数学学习过程可持续发展的必要条件。（二）、数学学习策略的群体性 标准在其第三学段的教学建议中指明:数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。具体建议中又提到“鼓励学生自主探索与合作交流”，有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测，验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的数学学习策略。这样，学生与教师即形成了一个数学学习共同体，或者说，即是形成了一个数学学习群体。所以，在新的学习策略体系中，我们强调数学学习的群体性。即学生的数学学习过程不应仅仅是一个个体内部的建构过程，还应是一个与他人交往与共享的过程，是每一个参与数学学习活动的个体在充分地交互与共享中生成、修正或开展的社会性的实践过程。从相关的调查中可以看出，“如果一个数学问题很复杂，需要几个人一起去做，那么我会积极参加”，65.7%的学生选择符合自己的想法。71%的学生也认为与老师或同学一起讨论数学问题是一种乐趣。群体性最有力的表现则是合作学习与数学交流。 合作学习是本世纪60年代末，70年代初在美国兴起的，它指学生们在其成员能力各异的小型学习中从事学习活动。这种学习策略从学习过程的集体性出发，针对传统教学忽视同伴相互作用的弊端，着眼于学生与学生之间的互动的普遍性，将合作性的团体结构纳入了学习过程之中，构建了以生生互动的为基本特色的学习结构。每组的学生不仅自己要学好课堂上老师教的内容，还有义务帮助同组的其他成员搞好数学学习，他们通常还有一定的小组目标。小组合作学习能激励学生发挥出自己的最高水平，在传统的学习中，一个学生的成功往往使别的学生成功起来更加困难，（通过提高了常态曲线或是提高了教师对全体学生的期望水平），那些努力完成了学习任务的学生被看作老师跟前的红人。为此，其他学生在学习活动中就容易信心不足。而相比之下，在合作学习中，如果学生们能够朝着一个共同的目标就得有赖于所有的小组成员都能进行有效的个别学习。 江苏省泗阳中学的张雪明老师早在2000年就进行了“小组交流一合作学习”的尝试，实验结果表明:采取“小组交流合作学习”的学习策略对学生形成正确的学习态度是有益的，它能增强学生学好数学的信心，使他们掌握更多的学习策略，从而显著提高自己的数学成绩，同时，在这种长期团结、协作的学习过程中，也培养了学生的群体精神，合作精神。以下是摘自张雪明老师的两个个案记录（有关实验对象A， E的谈话片段）: A:“成立小组时，我很害怕，因为D， E， F的数学成绩都比比较差，特别是F，数学成绩在班里倒数，E还是有名的调皮大王，所以我害怕他们拖垮我的成绩，当然，从内心来讲，也是怕承担责任，我是组长嘛 现在，我理解了老师的知识为什么那么牢，因为他是在教的过程中得到巩固的，一年来，我也教了好多次，可以说收获很大，使我对知识有掌握全局的感觉，确实，指导别人，也能提高自己 我觉得后一学期中，我在小组中的权威越来越弱，讨论时经常受到挑战，扬言，不出两个月，数学成绩要超过我，一年前我会当成笑话，现在还真难说，但我也不是好惹的，咱们走这瞧吧 D的进步不太大，我们打算帮他一起想想办法。”E:“数学确实有意思，以前我怎么就没有发现呢，现在在数学和游戏之间，我会选择数学，但在一年前，我肯定会倒过来 参加小组活动的第一天，我就因为提了一个不伦不类的问题而受到其他人的奚落，原本想在小组中炫耀一下的，结果却伤了自尊。凭什么呀，难道我就不能超过你们？从此以后，每参加一次活动前，我都悄悄地准备好长时间，嘿!时间不长，我也能伤他们的自尊了数学学进去就想学了 小组里的每个人都帮助过我，但有时我也会帮助他们，所以，我感到很自豪我其他科目的成绩也越来越好了。” 由此可见，学习小组的建立为学生主体性的发展提供了良好的外部环境，学生主体性的发展是以活动为中介的，而小组合作正是以“活动”为主要特征，这使得学生在这种合作学习的过程中形成着主体性、表现出主体性，学习小组对学习活动进行规范、组织与引导，使影响学生主体性形成和发展的各种因素得到优化，逐步体现出良好的主体能力。 数学学习群体性的另一个表现则是数学交流。什么是数学交流？数学交流，就是数学学习中使用数学语言，数学方法进行各类数学活动的动态过程。数学交流有着悠久的历史，至少从古希腊哲学家苏格拉底（Socrates）时代起，师生之间的对话就是数学课堂的一个组成部分。Plato的数学对话则以给学生一个谈论数学的机会为特征。Socrates则证实了一个学生可以以提问的方式来引导他发现一个是已知正方形面积2倍的正方形。例如以边长为2英尺的正方形开始，学生打算通过把边长加倍，达到把这个正方形的面积加倍的目的。Socrates给出了下面的对话： Socrates:但是它能容下4个小的正方形，每一个小正方形的面积等于原来正方形的面积，对吗？Boy:是的。Socrates:那么大的正方形的面积是原来正方形面积的4倍吗？Boy:当然。Socrates: 2倍与4倍相等吗？Boy:当然不相等。Socrates:所以，把边长加倍得到的不是一个2倍大小的图形，而是一个4倍大小的图形，对吗？Boy：是的。 学生接下来就猜想3英尺边长的正方形；当这个猜想不能得到面积为8平方英尺的正方形时，又开始问: Socrates:那么边长为多少才能得到所要得结果呢，试着告诉我们正确答案，如果你不能计算出来，就在图上给我们标出来。Boy:没有用的，我还是不知道。 美国NCTM把数学交流作为1998年标准的一项新的目标。其目的就是为了加强学生对数学的理解。数学交流可以把学生非正式的直观的观念与抽象的数学语言建立联系，还可以帮助学生把实物的、图画的、符号的、口头的以及心智描绘的数学概念联系起来。通过理解、推断和对自己的思想进行口头和书面的表达可使学生加深概念和原理的理解。数学交流改变了以教师为中心的传统教学形式，使学生成为学习活动的主体，使学生能够更加充分地表达自己的思想、认识和情感。在交流的过程中，学生除了作为独立的学习者，更重要的是可以成为他人的伙伴与协作者。从这一角度来看，合作学习与数学交流并非各自独立，互不相关的，而是相互联系，相互融合的，合作中有交流，交流中又有合作。在合作交流的过程中，每个人都有了双重角色，既是学生，又是老师，接受帮助时，是一名谦虚好学的学生，提供帮助时是一名耐心热情的老师，作为学生，他要在总结会上提出有价值、有分量的问题，作为老师，他应当在别人提出问题时能给出漂亮的回答。这种横向互动的关系迫使学生在扮演这种双重角色时，承担着明显的责任，不得不认真准备，独立钻研。 案例3：有关三角形的一些概念的教学对于三角形，学生在小学就己经知道，那时的定义是“三角形是由三条线段围成的图形”。，这个定义对于初中生己不适合，这时需要一个更为准确的定义，教师可以让学生自己叙述，然后补充完善，这就要师生交流、生生交流。 首先，教师可先让学生自己画一个三角形，根据这个三角形，概括三角形的定义。可能得到如下的交流。学生A:由三条线围成的图形叫三角形。立刻有学生B说:“不对，不对”。显然有错误存在，（可让B作出一个反例，如下图）让B进行补充。 学生B:由三条线段围成的图形叫做三角形。这回到了小学三角形的定义了，但是这个定义是否准确呢？可让学生自己找反例，于是学生在黑板上画下了如下的图形: 这也不是一个三角形，接着又有学生补充:“三条线段首尾相接所围成的图形是三角形” “应该是首尾顺次相接”。“为什么一定要首尾顺次呢？”于是又到了下图: 教师:“如果不是首尾顺次的就不能组成一个三角形，好，再加上这一条，即:由三条线段首尾顺次相接所围成的图形叫做三角形”。 学生安静下来，似乎不再有异议了。 教师:“这个定义就这样了吗？大家在仔细观察，有没有漏洞？”教师一边说，一边在黑板上画出如下图的图形，并故意将端点放大，实际上这个图形是三条线段重合在一起得到的。 学生恍然大悟，立即有人说“不在同一直线上的三条线段首尾相接所组成的图形叫做三角形”。至此，完整的、准确的三角形定义给出来了，为了巩固一下，教师可由定义延伸出一些真假命题，让学生判断正误，如: 1由三个角组成的图形叫做三角形； 2由三条线段组成的图形叫做三角形； 3不在同一条直线上的三条直线所组成的图形叫做三角形。 接下来的顶点、边和角的概念要相对容易一些，仍让学生积极参与，从而提高他们的认识。 回顾整个概念的学习过程，师生都在积极地思考，探索，并且学生有兴趣去回答问题，与教师交流，与同学讨论，充分体现学习的主动性。通过这种交流形式的学习，学生对知识将有更深刻的理解，掌握的更牢固。案例4：已知:如下图，ABCADE，相似比为2 : 3 ， AB=5 ， AC=6 ，A=30， SADE =（ ）A: 5 B: 135/4 C:135/8 D: 45/4 （以下是解这道题的过程：S:学生，T:教师）S:相似比为2: 3，则面积比为4: 9，如果求出SABC，则可以求出SADE，怎样SABC？AC=6 ， AB=5 ， A=30，那么BC=3。T:为什么有BC=3 ？S: 300角所对的边。T: 300角所对的直角边是斜边的一半，这个命题只有在Rt中才能成立，ABC是直角三角形吗？S:看起来有点象。T:在数学学习中还需要有一些理性的思考，肯定的语言。如果书上画的图不是很准确呢？S:那么怎样求ABC的面积呢？我不会求。T:一般三角形的面积为S=1/2 底高，现在知道了两条边，只要以一条边为底，作它的高，把高求出来，是不是就可求面积了？S:那么以AB为底，从C点作边AB的高（这时S作出了下图）好象与BC重合T:如果万一垂足落在BD上呢？S:那就不好求了（看来S已经习惯于此类型的高）。T:试着以AC为底作高（这时S把书倒过来，作了边AC上的高BM） S:BM=25。T:对，那么面积呢？S:面积为6 2.5 1/2=7.5T:那么ADE的面积呢？， x= （看到这里，我想67.5直接除以4就可以了，没想到S却不是这样做的，而是这样做的）=6755=135， 405=8= T:为什么这样做？ S: 67.5除以4显然除不尽的嘛! T:那就带上小数点也没有错呀! S:我先上下都乘以10，675的末位数字为5，肯定能被5整除，40也肯定能被5整除，这样就直接得到了答案。 T:很好，看来我们还是要互相学习只 以上通过数学交流引导学生对问题进行分析，在交流的过程中，学生不仅巩固了自己的知识结构，而且通过展现自己的思维过程，使得目标问题一步步清晰起来，最后借助巧妙的运算得出了问题的答案。通过此例也可以看出，在数学交流的过程中，教师可以很清楚地看到学生学习中的不足与闪光点，以便及时给予纠正与鼓励，提高学生学习的兴趣与信心。 由以上案例分析与张雪明老师的实验及学生的体会可以看出：合作学习与数学交流充分体现了数学学习策略的群体性这一特征。而这一特征也有它特殊的意义: （1）、数学合作与交流有助于学生的社会化。在家庭之后，学校是学生接触的第一个社会机构，是学生学会与陌生人相处的场所，而数学学科学时之多，学习时间之长，使得数学课堂成为学生了解社会，认识自我的重要场所。学生只有在与同伴的合作与交流中，把自己的观点与别人的观点相互比较，从而认识到自己的观点与别人的观点的不同，对别人的看法提出疑问或修改意见。在这种交往中，他们学会摆脱权威的束缚，相互尊重，互相协作，发展自己独立的评判能力，逐步融入到社会中去。 （2）、数学合作与交流是完善数学认知的有效手段。首先，也是最鲜明的，数学合作与交流能帮助学生达成对事物全方位的理解。建构主义认为，事物的意义不能独立于主体而存在，必须通过主体的主动建构才能获得理解，因而不同的人看到的是事物的不同方面，不存在对事物唯一标准的理解，处于同样发展水平的人对同一事物的理解也是不同的，通过合作与交流这种学习策略，可以帮助学生从不同的角度理解数学知识，形成对问题的全方位的理解。其次，数学合作与交流使得个体的思维成果社会化。因为数学思维的成果最初是作为个体的内部知识而存在的，既不能在社会实践中得到检验，也无法为社会所认同，将知识表达出来，在社会中传播，数学知识才能最终实现其自身的价值。当然，数学学习的群体性的意义并不仅仅限于此，合作与交流也并不仅仅限于学生与学生之间，学生与老师、与家长也可以进行合作与交流，在此我们强调一点，学生在学习的过程中与教师的交流是非常重要的，因为在与教师交流的过程中能够使他的认知结构更加规范化与条理化。由此可见，数学学习策略的这一群体性特征对于实现标准所提出的双重目标知识与技能目标、情感与态度价值观是一条有效的途径。（三）、数学学习策略的活动性 学习数学并不等于去记数学、去背数学、去练数学、去考数学，而更应是“做数学”（ doing mathematics）。即学习并不仅仅是听，也不仅仅是看，更应该是自己动手做（hands-on）。因为“听过会忘”（ you hear and you forget），看能记住（you see and you remember），做才理解（you do and you underhand）。因此，要让学生在“做数学”的过程中去发现数学、了解数学、体验数学、掌握数学、认识数学的价值、了解数学的特征、总结数学的规律，在“做数学”的过程中学习数学，学会用数学。笔者在此想提及的一个事实是:俄罗斯沙雷金教授等编著的几何教材直观几何深受国人推崇的一个重要原因即是把数学变得动起来了，大量的绘图实验、动手折纸让学生在做几何的过程中开始喜欢几何，并学习几何，理解几何，应用几何。 标准在其“总体目标”的数学思考中强调“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。在原来的教学大纲中，观察、实验、猜想等数学学习活动并不涉及，而在新的标准中，却非常注重数学观察、数学实验、数学猜想等学习活动，数学学习必须通过学生自己的活动，包括观察、描述、操作、猜想、实验、收集整理等等，让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的性质，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受数学的力量，促进数学学习。所以，在新的数学学习策略体系中，观察、实验与猜想成为数学学习策略一个必不可少的内容。Euler曾说过:“数学这门科学，需要观察，还需要实验”。Gauss也曾提到过，他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的，证明只是补充的手续。对数学观察与实验的剖析 实验是近代科学最伟大的传统，离开实验传统，科学之树就丧失了壮大成长的肥沃土壤。观察同实验一样，都是科学认识的基本方法。它们相互依存，观察是实验的前提，实验是观察的发展。在现代科学认识中，实验往往与观察密不可分，表现出观察和实验相结合的整体化趋势。 笔者认为，所谓数学观察就是从数学的角度或以数学的眼光把外界的信息通过感官输入大脑，经过大脑的处理，形成对外界事物的数学感知。数学观察在数学认识活动中具有很重要的作用，它会导致许多新问题的发现。例如，挂历是日常生活中很普通的事物，而学生如果有敏锐的眼光，能够从数学的角度去看它，则会发现许多问题。案例5：下面是某月的月历: 学生通过观察，可以提出下列问题: （1）阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其他方框成立吗？ （3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？ 观察并不是目的，重要的是能够从现象中提出问题，给出结论，然后借助理论思维，达到“必然性”的证明。 而数学实验是一种以数学知识素材形成、发展和应用为任务，利用算具（或空间模型实物）作为实验工具来推演或模拟的，并且以一定的数学思想方法作为实验原理的一种实验形式；它必须以某一层面的数学知识素材作为实验对象，在一般意义下的某中运算程序里，以数值计算、符号演算或图形演示等作为实验内容的心智活动，达到验证数学命题，广泛展开猜想创新的学习目的。数学观察与数学实验是分不开的，数学实验的过程中必定要有数学观察，而学生在进行数学观察的时候，也时而会进行一些动手操作的活动。从数学发展史里可以看到，存在着大量的通过数学观察与数学实验实验产生的许多创新思维，从而发现新的数学思维方法。例如:刘徽著的九章算术里的割补法就是一种数学实验证明思想，是中算的基本方法。而他独创的“牟合方盖”则是可以用来证明球体公式的数学实验产物，内含着刘徽祖亘原理“幂势既同，则积不容异”。数学发现里各种猜想的得出，一般都是经过观察，然后实验得到的。例如著名的歌德巴猜想就是由初等数论里的观察体验进而由数学实验归纳得出来的。数学实验是在一个基础层面的定向观察，引入的是可以重复的实验，这种实验有利于用来巩固已引入的概念，探求一定条件下的命题结论。例如，对于三角形的“内心、外心、重心”的存在性，初中的教材没有给出证明，学生做图稍不准确，就难以得出符合结论的要求，教师就可以让学生通过实验折纸活动，领悟其本质。 每一个学生可以准备一个三角形的纸片，如下图，过ABC做一折叠使AB落在AC上，得折痕AD，则AD平分BAC，用同样的方法的到折痕BE、CF。这样，学生就能够直观地发现:三角形三个角的平分线交于一点，这点即为三角形的内心，相似地，可以折出三角形的外心、中心。 通过折纸这一直观形象的数学实验来阐述抽象的数学内容，在现行的教材中是很多的，如“三角形内角和定理”、“三角形中位线定理”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及“勾股定理”等等，初中的学生还可以通过制作多面体实验来在发现欧拉定理，渗透对多面体拓扑变换的理解。通过这些实验操作，一方面使学生更深入更扎实地掌握数学知识，另一方面，也是他们的思维方式不会犯浮夸和刻板的毛病，能准确抓住事物的本质，提出符合实际的有创新的想法。正如著名的数学教育家波利亚曾指出的“数学有两个侧面，一方面是欧几里德式的严谨科学，从这方面看，数学是一门系统的演绎科学；但是另一方面，在创造过程中的数学更象是一门实验性的归纳科学。”从这一点上来讲，数学观察与实验对激发学生的思维有着不可估计的作用。 国际数学课程改革的趋势以及数学学习手段的多样化需要数学实验的回归。数学实验作为数学学习活动的主要形式，可以创设学生自主学习的问题情景，通过实践、思考、探索、交流获取知识，形成技能，发展思维，学会学习，科学里最形式化的数学证明的真谛不在于能否证明命题的真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能导致发现，因此，这就突破了传统的对数学证明的观念。借助于算具或明显数学化的实物来推理演算，特别是计算机介入证明之中，用机器证明产生定理（如四色问题的证明，吴文俊的初等几何机器证明方法等），所以人们不在以逻辑推理作为证明数学命题的唯一手段，于是提出“实验证明”的想法，即实验应成为判断数学命题真假的一种手段。人们不再一味地追求所得出的结论，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解。另外，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己的认知结构的改变去建构自己对数学知识的理解，因此在数学中如果只重视逻辑演绎式的数学证明回限制学生掌握数学知识，也不利于学生形成良好的认知结构，命题学习的目的不应只是去核实命题的正确与否，而是应该通过证明的学习去理解命题，并能重新构建自己的新的认知结构。 当然数学实验并不仅仅在数学证明中具有独特的价值，而且是传统的问题解决的一种艺术加工，比如有关抵压贷款的数列实验，定义分段函数的个人所得税的纳税问题等等。这两个实验既是代数实验，又是准备实验，是对于传统意义下解数学应用题的加工整理，刘朝晖认为目前“应用现代教育技术还存在着以此替代学生亲自操作、实验、体验和想象的问题”。例如三角形的合同判定SSS. SAS， AAS的实验证明，不仅可以理解三角形合同的特点和本质属性，而且体验了命题的实质，