场波第三章习题解.pdf

习题与解答习题与解答 第二章 静电场 2 2 1 1 已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度 0sinl 0 试求圆心处 的电场强度 解解 建立直角坐标系 令线电荷位于xy平面 且以y轴为对称 如习题图2 1 所示 那么 点电荷d l l 在圆心处产生的电场强度具有两个分量 xE和yE 由 电荷分布以y轴为对称 左右两部分产生的xE分量 相互 抵消 因此 仅需考虑电场强度 的yE分量 即 2 0 d ddsin 4 l y l EE a 考虑到 0 dd sin l la 代入上式求的合 图2 1 成电场强度为 200 0 00 d sin 48 yy E ee aa 2 2 2 2 已知均匀分布的带电圆盘半径为a 面电荷密度 为 s 位于0z 平面 且盘心与原点重合 试求圆 盘轴线上任一点电场强度E 解解 如习题图 2 2 所示 在圆盘上取一半径为r 宽度 为dr的圆环 该圆环具有的电荷量为d2d s qr r 由于对称性 该圆环电荷在z轴上 任一点P产生的电厂强度仅有z分量 所以该圆环电 荷 在P产生的电场强度z分量为 3 2 22 0 d d 2 s z zrr E rz 图22 dl E a y xO y z x 0 r dr P 0 0 z 那么 整个圆盘电荷在P产生的电场强度为 3 2 22220 00 d 22 a ss z zz zr rzz E ee z rzaz 2 2 3 3 三根长度均为L 均匀线电荷密度分别为 123 lll 的线电荷构成等边三角形 设 123 22 lll 计算三角形中心处的电场强度 解 解 如图 2 3 所示 设等边三角形位于yOz平面 其中心点为P 中心点到各边之间的距 离为 1 tan3 30 26 l bl 线电荷密度为 1l 的线段在P点产生的电场1E 因 对称性只有y分量 大小为 111 11 00 0 333 coscos 30150 422243 6 lll yEE bll 同理 线电荷密度为 2l 3l 的线段产生 的电场2 3E E 大小为 21 23 00 33 24 ll EE ll 由图可见 2E与3E叠加后也只有y分量 图 2 3 11 23 00 33 cos60 48 ll yyEE ll 所以正三角形中心点处的电场为 1111 123 0000 3333 2884 llll yyyyEEEE llll 2 2 4 4 有两根长度均为d相互平行的均匀带电直线 分别带等量异号的电荷q 它们相隔距 离为d 试求此带电系统中心处的电场 解 解 如图 2 4 所示 由于对称性 两根线上对称位置的两对线元 在中心O处产生的电场 其x分量相抵消为零 只有y分量 y z x 0 l1 l3 l2 E1 E2 E3 P 下面一根线在O点产生的电场 依据库伦 定律1 2 0 sin d d 4 l y x E R 可得 112 0 coscos 4 l yE r 而12 2 45135 l q drd 所以 1 2 00 2 2 22 2 4 22 y q dq E d d 上面一根线在O点处产生的电场与上式相同 故两根线在O点产生的电场为 图 2 4 2 0 2 y q E d 2 2 5 5 两个无限长的ra 和rb ba 的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度1 和2 计算各处的E 欲使rb 处0E 则1 和2 应具有什么关系 解 解 利用高斯定理 求解 1 0ra E 1 2 0 2 2 al arbrlE 则 1 2 0 r a Ea r 12 3 0 22 2 albl rbrlE 则 12 3 0 r ab Ea r 令 12 3 0 0 ab E r 得 1 2 b a 2 2 6 6 已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a 外导体的内半径为b 若填充介质的相对介电 常数2 r 试求在外导体尺寸不变的情况下 为了获得最高耐压 内 外导体半径之比 解 解 已知若同轴线单位长度内的电荷量为 1 q 则同轴线内电场强度 1 2 r q E e r 为了使 y x dx dx q q d O R dE2 dE1 1 2 d 同轴线获得最高耐压 应在保持内 外导体之间的电位差U不变的情况下 使同轴线内最 大的电场强度达到最小值 即应使内导体表面ra 处的电场强度达到最小值 因为同轴线 单位长度内的电容为 1 1 1 22 ln ln q Uq C bb U aa 则同轴线内导体表面ra 处电场强度为 ln ln b UU a E a bb b a aa 令b不变 以比值 b a 为变量 对上式求极限 获知当比值 b e a 时 E a取得最小值 即 同轴线获得最高耐压 2 2 7 7 一同心球电容器由半径为a的导体球和与它同心的导体球壳构成 壳的内半径为b 球 与壳间的一半 沿径向分开 充满介电系数为 1 的均匀介质 另一半充满介电系数为 2 的 均匀介质 试求该球形电容器的电容 解 解 在 1 与 2 两种介质的分界面上有 12ttrEEE 由于场分布具有对称性 可利用高斯定律得 2 2 1 2 22r rEqEr r 2 12 2 r q E r 内外导体间的电压为 2 1212 d11 d 2 2 bb r aa q rq UEr ab r 故电容为 12 2 qab C Uba 2 2 8 8 已知内半径为a 外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为 若在球心放置一个电荷 量为q的点电荷 试求 各区域中的电场强度 介质壳内 外表面上的束缚电荷 解 解 先求各区域中的电场强度 根据介质中高斯定理 在0ra 区域中 电场强度为 2 004 r Dq E e r 在arb 区域内 电场强度为 2 4 r Dq E e r 在rb 区域内 电场强度为 2 004 r Dq E e r 再求介质壳内外表面上的束缚电荷 由于 0 PE 则介质壳内表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 1 44 nr s qq PP ee aa 外表面上束缚电荷面密度为 0 0 22 1 44 nr s qq PP ee bb 2 2 9 9 半径为a的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜 球内充满总电荷量为Q的电 荷 球壳上又充了电荷量Q 已知内部的电场为 4 r Er a e 设球内介质为真空 试求 球内电荷分布 球壳的外表面电荷分布 球壳的电位 球心的电位 解 解 利用高斯定律的微分形式可求出球内电荷分布 即电荷体密度 43 022 000 4422 116 r rr E r Er rr aarr 由上面已求出的球内电荷分布 可以得到球内总电荷量Q为 36 0022 0 44 0 0 624 d4d4 6 a a V rr QVr ar aa 故得球外表面等效电荷面密度为 2 0 0 22 28 2 44 s Q a aa 球壳电位 2 0 2 000 24 2 422 aa QQ a Edrdra aa a 球心电位 0 4 0 42 00 0 21 d ddd22 2 45 aa aa Q r ErErrraaa aa 2 2 1010 已知同轴电缆内 外导体半径分别为a和b 其间填充两层介质 介质分界面半径为 0 r 内 外导体间加电压为V 求 各层介质中的电场强度E 算出各层介质中的最大场强 欲使两层介质中的最大场强相等 两层介质满足什么条件 解 解 设同轴电缆单位长带电荷 l 根据高斯定理求出 12 12 22 ll EE rr 内 外导体间的电压为 0 0 0 12 120 11 dd lnln 2 rb l ar rb UE rE r ar 故 0 120 2 11 lnln l U rb ar 得 12 00 12 120120 1111 lnln lnln UU EE rrbb rr arar 各层介质最大场强出现在 0 ra rr 处 1max2max 00 102 120120 1111 lnln lnln UU EE rrbb ar arar 由 1max2max EE 得 102 11 ar 故 01 2 r a 2 2 1111 两同轴圆柱之间 0 0 部分填充介质电常数为 的介质 如图 2 11 所示 求单 位长度电容 解 解 根据边界条件 在两种介质的分界面处 有 12tt EEE 设同轴线单位长度带电 l 可以用高斯定理解得 12 0 2 2 l DrDr E rEr 则 0 2 l E r 同轴线内 外导体间电压 0 dln 2 b l a b UE r a 图 2 11 所以单位长度的电容为 0 0 2 ln l C Ub a 2 2 1212 设同轴圆柱电容器的内导体半径为a 外导体半径为b 其内一半填充介电常数为 1 的介质 另一半填充介质的介电常数为 2 如图 2 12 所示 当外加电压为U时 试求 电容器中的电场强度 各边界上的电荷密度 电容及储能 解 解 设内导体的外表面上单位长度的电荷量为q 外导体的内表面上单位长度的电荷量为 q 取内 外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面为高斯面 由高斯定理 求得 12 rq DD 已知 112212 DE DE 在两种介质的分 界面上电场强度的切向分量必须连续 即 12EE 求得 12 12 q E EE r 内外导体之间的电势差为 12 dln b a qb UEr a 即单位长度内的电荷量为 图 2 12 12 1 ln qU b a a b 0 0 a b 1 2 故同轴电容器中的电场强度为 ln r U E e b r a 由于电场强度在两种介质的分界面上无法相分量 故此边界上的电荷密度为零 内导体的外表面上的电荷面密度为 12 12 12 ln ln rr SS UU EE ee bb aa aa 外导体的内表面上的电荷面密度为 12 12 12 ln ln rr SS UU EE ee bb bb aa 单位长度的电容为 12 ln q C b U a 电容器中的储能密度为 2 2 12 11 22 ln e U CU b a 2 2 1313 已知平板电容器的极板尺寸为a b 间距为d 两板间插入介质块的介电常数为 如图 2 13 所示 试求 当接上电压U时 插入介质块所受的力 电源断开后 再插入 介质时 介质块的受力 解 解 此时为常电位系统 因此介质块受到的电场力为 d d eW F x 常数 式中 x为沿介质块宽边b的位移 介质块插入后 引起电容量改变 设插入深度x 则电 容器的电容量为 0 00 axa bxa Cbx ddd 电容器的电场能量可表示为 2 2 00 1 22 e aU WCbx U d 那么介质块受到的x方向的电场力 为 d d eW F x 常数 2 0 2 aU d a b d S U 0 时为常电荷系统 因此介质块受到的电场力为 图 2 13 d d eW Fq x 常数 式中 x为沿介质块宽边b的位移 介质块插入后 极板电荷量不变 只有电容量改变 此 时电容器的电场能量可表示为 22 00 11 22 e dqq W Cabx 因此介质块受到的x方向的电场力为 d d eW Fq x 常数 2 22 00 2 00 2 ab U d bx 2 2 1414 计算在电场 xy Eyx aa 中把带电量为2 C 的电荷从 2 1 1 移到 8 2 1 时电 场所做的功 沿曲线 2 2xy 沿连接该两点的直线 解 解 ddWFlq El 曲线的方程为 2 2xy 将y作为参数 则d4 dxy y 2 2 1 2 3 2 2 1 1 ddd 4 d2d 6d614 3 Wq Elq y xx y qyy yyy y qyyqq 把2qC 代入 得2 1428 WJ 在1z 平面上 点 2 1 和点 8 2 的直线方程为 11 11 yyyy xxxx 即640 xy 64 6xydxdy 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 ddd d 64 d 12 12 d4d 4 2 184 1414 228 Wq Elq y xx y qyyyy y qy yyqy qqJ 2 2 1515 把一电量为q 半径为a的导体球切成两半 求两半球之间的电场力 解 解 导体球储存在空气中的静电能量为 2 22 0 2 00 11 d 4d 2248 e a qq WE Drr ra 根据虚位移法 求均匀带电球壳在单位面积上受到的静电斥力 设想在静电力作用下 球面 稍膨胀