漫谈Lyapunov稳定性的理论、方法和应用.pdf

文章编号 1 6 7 4 7 0 7 0 2 0 0 9 0 1 0 0 0 1 1 5 漫谈 L y a p u n o v稳定性的理论 方法和应用 摘 要 根据个人学习研究稳定性的心得体 会 首先介 绍 了前 苏联 伟 大的数 学 力 学 家L y a p u n o v院士的博士论文 运动稳定 性的一般 问题 在全世界产生的超过 1 个世纪 的 巨大影响 叙 述 了由该博 士 论 文首创 的几个 巨大成 就何 以能奠定 1门 学科的基础 从 而开创 了 1个 新 的重要 的研究方 向 以及 留给后 人 很 多很 多研 究的课题的理由 特别地 用事实和科学 断 语 回 答 了 L y a p u n o v稳 定 性 已领 风 骚 1 0 0多年 余 晖 还几 何 的 问题 明确 表 明 1个观 点 稳定性将是 1个 永 恒的主 题 不老的科 学 定将永恒地 给人启 迪 洞察力 智慧和思想 关键词 L y a p u n o v稳 定 性 V函 数 常 微 分 方 程 中图分类号 0 2 3 1 2 r P 1 8 3 文献标志码 A 收稿 日期 2 0 0 9 0 4 0 5 作者简 介 廖 晓昕 男 教 授 博士 生导师 主要研究 动力 系统稳定性的理论与应用 x i a o x i n l i a o h o t ma i l t o m 1 华 中科技 大学 控 制科 学与 工 程系 武 汉 4 3 0 0 7 0 廖晓昕 0 引言 I n t r o d u c t i o n 欣闻 南京信息工程大学学报 创刊 特致以读者的热烈祝贺 蒙 编辑部盛情 邀笔者写 1 篇关于 L y a p u n o v 稳定性方面的综述文章 内 心顿感惶然 虽然 笔者学 习 讲授 钻研这个理论数十年 但综述题 目太大 面太广 而 L y a p u n o v博士论文 运动稳定性的一般问题 发 表 1 0 0多年来 追随者何止万千 迄今为止 有关 L y a p u n o v稳定性 的 专著 编著达上百部 仅中文著作就有 2 0多部 论文逾数万篇 在如 此浩如烟海的知识海洋中 笔者 的知识 只不过是渺渺沧海之一粟 加 之 退休后查阅文献更是困难重重 要求写 1 篇 中肯的综述 这远非笔 者的能力所及 因此 本文仅呈现少数几篇其他学者关 于 L y a p u n o v稳 定性 的综述文献 这些文献从不 同时期 不 同侧面反映了很多有 关稳定性 的动态进展信息 相信读者 可以从这些文献 中找到 自己感 兴趣 的材料 当然 也为不负盛意 笔者仍愿抛砖引玉 写一点个人学 习 讲授 钻研 L y a p u n o v稳定性的心得体会 与读者共勉 本文尽量少 涉及一些同行具体 的工作 以免挂一漏万 至于个人的见解片面 体 会肤浅 也就不顾忌其孤陋寡闻而被贻笑大方了 但愿读者原谅且批 评 指 正 1 L y a p u n o v博士论文的巨大影响 Tr e me nd o us i n flu e n c e o f L y a p u n o v S d o c t o r a l t h e s i s 1 8 9 2年 伟大 的俄 国数 学力学专家亚历 山大 米 哈伊维奇 L y a p u n o v院士 A M I a I I y H O B 完成 了他 的天才博士论文 运动稳定性 的一般问题 前四五十年之 内 它的影 响范 围还基本上局限于前 苏联 的数学 力学界 甚至是 曲高和寡而被束之高 阁 仅仅流连辗转 在少数理论修养很 高的数 学力学 专家手中 后来 因得到 自动控制界 的青睐 反响逐渐增大且越来 越强烈 1 9 0 7年论 文被译成法文 而传 至美国 由 P r i n c e t o n大学于 1 9 4 7年再译成英文 1 9 5 4年 曾获美 国哈 佛大学数学博士学位 后来 回到中国科 学院数 学研究所工作 的秦元 勋教授将 L y a p u n o v 博士论文编译成 中文讲义 在数学研究所举办讲 习班 系统地讲解研讨这篇博士论文 L y a p u n o v 稳定性理论由此传人 中国 开始在 中国开花结果 该讲义后 以纪念 L y a p u n o v诞生 1 0 0周年 的名义 于 1 9 5 8年 由科学出版社 北京 出版 2 1 9 5 2年 前苏联著名的数学家马尔金 Ma K F I 的专著 运动稳定性 有 中译本 及 1 9 5 5年苏联 著名控制论专家列托夫 J I e T o B 的专著 非线性 调 节系统的稳定性 有 中译 本 都在序言 中提 到 现代 自动调节理论 不论它以何种体系出现 总是 发轫于 1 个唯一牢 固的基础 L y a p u n o v运动稳定 性学说 这 样 L y a p u n o v博 士论 文 的影 响力 越来 越大 1 9 5 9年 当时美 国数学界的领军人物 前微 分方程杂志 J D i ff E q u s 主编 J L a S a l l e 教授和另 1位著名教授 S L e f s s c h t z l 组织 了 1 个讨论班 系统 地学习研讨 L y a p u n o v稳定性理论 后来 J L a S a l l e发 现了 L y a p u n o v函数与 B i r k h o ff极 限集之 间的关 系 给出了 L y a p u n o v理论一个新 的统一的认识 推广 了 L y a p u n o v 直接法 他认 为研究 1个动力系统 的渐近 行为 当适 当选定了 L y a p u n o v函数便能给出极限集 位置的信息 他特别利用极 限集的不变性 以不变原 理为纲 用简洁的篇幅和高度概括的手段 完成 了他 的著名专著 动力 系统 的稳定性 有 中译本 1 7 他在序言中写道 在某 种程度上说 L y a p u n o v直接 法在西方被重新发现是 2 O世纪 5 O年代中期的事 那时至少在非线性控制系统的设计中已广泛地承认 了它的重要性 我对 L y a p u n o v理论 的理解和赏识始 于 1 9 5 9年 J L a S a l l e在 2 0世纪 6 0年代还说 过 稳定性理论在吸引全世界数学家的注意 L y a p u n o v直接法得到了工程师的广泛赞赏 稳定性 正迅速变成训练控制论方面的工程师的一个标准部 分 由于他在美 国学术界 的地 位及对 L y a p u n o v理 论的高度赞赏 L y a p u n o v稳定性在美 国开始广泛 而 迅速地传播开来 1 9 9 2年 在美 国佛罗里达州召开首届非线性世 界大会 与会代表有数千人 大会 主席是 印度籍美国 著名数学家 V L a k s h m i k a n t h a n 他担任多家国际学术 刊物的主编 但他的主要 成就仍然是在于稳定性 方 面所做 出的突 出贡献 大会设有 1个纪念 L y a p u n o v 博士论文发表 1 0 0周年 的分会场 分会有众多人参 加 会场上悬挂着 L y a p u n o v的巨幅 肖像 还有很 多 前苏联学 者在前 排 就座 有 1个 特邀 的年迈 的嘉 宾 1位莫斯科大学教授 大会破例允许他 1 个人 用俄文宣读稳定性方面 的论文 虽然 临时找的英语 翻译表述得不够流畅 但论文宣读结束时 与会者因 为对 L y a p u n o v 和他的几代学生们的成就的敬仰 依 然报 以热烈的掌声 以示 由衷感谢 L y a p u n o v对稳定 廖晓昕 漫谈 L y a p u n o v 稳定性的理论 方法和应用 L I AO X i a o x i n T a l k i n g o n t h e t h e o r y me t h o d s a n d a p p l i c a t io n o f L y a p u n o v s t a b il i t y 性理论的所做 出杰 出贡献 笔者有幸参 加了这次会 议u 目睹这感人的场面 尤其是第 1 次见到 1个学 者的巨幅肖像被悬挂并 为众人所 由衷敬仰时 非 常 惊奇 1 1 9 9 2年 英 国 的国 际权威 刊 物控 制 论 I n t J C o n t r o 1 专辟 1期全部发表纪念 L y a p u n o v博士论文 发表 1 0 0周年的论文 这些论文来 自世界各地 本文 仅引用 3篇 以兹佐证 中国的 自动化学报 1 9 9 3年发表 了黄琳 院士 的文 章 L y a p u n o v的发展 和历 史性 成 就 纪念 L y a p u n o v的博士论文 运动稳定 性的一般理论 发 表 1 0 0周年 J 还有文献 8 1 1 都是 闪耀 着 L y a p u n o v稳定性 思想光辉的文章 以上事实 以上 文献 说 明了 L y a p u n o v博士论 文所产生的巨大影响和不可磨灭 的历史性贡献 它 是属于全人类共同拥有的知识和财富 2 L y a p u n o v博 士论 文开创 的研究方 向 Re s e a r c h d i r e c t i o n i n a u g ur a t e d b y L y a pu n o v S d o c t o r a l t h e s i s L y a p u n o v的博士论文之所以有如此长久而深刻 的影响 有如此 引人人胜 的巨大魅 力 简单通俗地 说 因为稳定性是研究 1个静态或运动系统在各种 偶然或持续的干扰下能否保持预定的状态或理想的 运动规律和方式 不致于摇摆 不定 动乱不宁 的问 题 1个不稳定 的系统 小则无 法正常工作 大 则为人类带来 灾难甚至毁灭性 的恶果 例如社会动 荡 金融危机 电网崩溃 飞机失事等 因此 为确保 系统的稳定性 避免不稳定事件的发生 稳定性研究 当然成为非常重要 的研究课题 成 了关系到国计 民 生的一门至关重要的现实学问 H 著名科学家拉普拉斯 L a p l a c e 拉格朗 日 L a g r a n g e 马克思威尔 M a x w e l 1 汤姆逊 T h o ms o n 德特 T a i l 庞加莱 P o n i c a r e 等早就关注且在很 多 场合下先后使用过稳定性概念 但却一直没有关于 稳定性的严格 精确的数学定义 而没有严格的数学 定义和科学概念 一般 的理论框架是难 以建立和巩 固的 必然是各人按各人 的理解 难 以达成共识 难 以进行深入系统的研究 L y a p u n o v在他的博士论文 中首次给出运动稳定 性的严格的数学定义 他根据分析数学 中的极限 论和微分方程解对初值和参 数的连续依赖思想 用 曲未 馐 垂 学学 报 自 然 科学 版 2 0 0 9 1 1 1 1 5 J o u rna l o f N a n j i n g U n i v e r s i t y o f I n f o r m a t io n S c ie n c e a n d T e c h n o lo g y N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n 2 0 0 9 1 1 1 1 5 1 I l g 3 足 义 彤 象 亘 j l 地 说 是 由肼 t Y t 走 近 腺 点 O 0 不远离原点 0 0 远离原点 0 0 来决定 的 而此信息等价于 V Y t 是 t 的 下降 不增 上升 函数 而后者又等价于 0 d 讲 而 2 2 2 一 一 O x d t O y d t iT 0 当 0 詈 2 0 当 0 0 也是满足该定理合适 的 L y a p u n o v函数 任何函数 0 也是 故 有无穷多个 如果写成定理形式 系统的平衡位置有 某种稳定性 的充分必要条件是存在 1个合适 的 L y a J 1 p u n o v 函数 V 它的导数 满足定理条件 值得注意 1 1 的是证充分性 时所用 的 L y a p u n o v函数 与证 明必要 性时所找到的 L y a p u n o v函数不一定也不必要是 同 1 个 L y a p u n o v函数 3 4构造 L y a p u n o v函数的基本方法 L y a p u n o v直 接法 的核 心技 巧是构 造 L y a p u n o v 函数 虽然人们针对不 同实际问题 已经运用多种方 法 能量函数法 类 比法 梯度法 变梯度法 微 分矩 方法等 具体构造 出满足需要 的 L y a p u n o v函数 并 获得了广泛的承认 但 构造 L y a p u n o v函数的方法仍 无一般规律可循 纯粹是研究工作者本人 的经验和 技巧 这些方法都是试探性的 没有构造性 的必然成 5 功程序可言 这当然是一个遗憾 但也 正因为如此原则性 与 灵活性高度统一 反而 留给了人们更加广阔的施展 才华的机会 鼓励那些 勤于思考 锲而不舍 锐利进 取 精益求精 的人去砂里淘金 例如 笔者通过漫长 岁月的苦苦思索 利用巧妙 的 L y a p u n o v函数法终于 得到 L o r e n z 系统平衡位 置 L y a p u n o v稳定 性 的充分 必要条件 而且应用到多个混沌系统的混沌控制 较 大地改进了近期的一些权威论文的结果 所 以有人说过 谁能构造 出 1个 巧妙 的 L y a p u n o v函数 谁就能得 出 1批好结果 谁就 能发表 1 批好 的文章 这是 1位权威学者的肺腑之言 如何构造 L y a p u n o v函数 文献 1 9 有 1个简略 的概述 介绍了 3种试探凑合 的原则性方法 3 4 1凑合 函数 法 先试探构造 出正定 的函数 或变号 V 然后 沿系统之 解对 求 导数 d V 看 条件能 否保证 负 定 半负定 如能 便可断定系统 的平衡位置是渐近 稳定 不稳定 稳定 的 否则任何结论也不能得 到 只得再找其它的 L y a p u n o v函数 目前 大部分 函数的构造 都是用这种试探凑 合 法 3 4 2倒推 函数 法 先设计 负定 或半定 然后积分求 出 来看 是否正定 若正定 便能断定系统平衡位置渐近稳 定 稳 定 否则 也 只好 重 新再 找其 它 合 适 的 函数 3 4 3微 分矩 方法 同时构造 V和 看能否满足所需条件 即所谓 微分矩方法 这种方法实际问题 中应用较少 L y a p u n o v泛函 的构造方法也一样 但更复杂 3 5 L y a p u n o v函数 构造实例 这里 仅就 3 4 1与 3 4 2介绍的 2种方法 针 对具体系统来谈谈构造 L y a p u n o v函数 的过程 3 5 1 非 线性 系统 形如 d x A x 厂 5 0 0 当 0 的非线性系统 如果不知道 A是否稳定 可尝试构造 6 V X B x B正定 并沿式 1 计算 dV 8x B X v B A A B x 最 厂 广 x B x 6 若 B A A 负定 立 即可断言平系统 6 的平衡位 置 O指数稳定 拇 还可 以根据 A B A A B 来估计 0的吸引域 这是根据 3 4 1所述方法的 思想 如果已知 A为 Hu r w i t z 矩阵 只是希望知道非线 性系统在多大的区域 内仍然指数稳定 则 可以任意 给定负定矩阵 一C 作 V x T B x 其中 曰为线性矩 阵 不等式 B A A 曰 一c的解 这是根据 3 4 2所述 方法的思想 3 5 2分 离变量的非 线性 系统 考虑 d x i 耋 7 许多 自动控制系统 生物数学 系统 神经网络系统 基因调控网络系统 复杂网络系统等都可以通过适 当的变形化为这种系统 故它的 L y a p u n o v函数 的构 造具有普适性 1 加权和 1次型绝对值 L y a p u n o v函数 c 1 对 n f 0 加一定条件 使得 D l f7 1 c fi n I f 7 c s g n 0 0 适当选取 c 0 1 2 n 作形如 i c t d 1 U 的L y a p u n o v 函数 若 J d x 则 还是 径向无界的 看是否保证所选 的 c i 1 2 n 存 在 使 得 I 负 定 则 式 7 的 平 衡 位 置 0 局 部 全局 渐近稳定 3 5 3分 离变量 的时滞 系统 那 对如下分离变量的时滞系统 廖晓昕 漫谈 L y a p u n o v稳定性的理论 方法和应用 L I A O Xi a o x in T a l k in g o n t h e t h e o r y me t h o d s a n d a p p l ic a t i o n o f L y a p u n o v s t a b i l i ty 警 砉 n n 6 f 8 其 中 0 0 g o 0 0 且 0 0 广 X i d 1 作 耋 c 9Ci n 2 X ii 1 0 i l t rii d 丁 I 找 到 使 I 负 定 的 条 件 便 可 断 言 式 8 的 平 衡 位 置 X 0局部 全局 渐近稳定 对于数字系数系统 线性矩阵不等式往往可以帮助解决 C 的存在与否的 问题 掌握这些构造 L y a p u n o v函数 和 L y a p u n o v泛 函 的基本技巧 就可以阅读当前的大量文献 及从事适 当的研究工作 了 诚然 与各人所下功夫的深浅是有 关的 功夫不负有心人 书道助勤 这些古训总 是有 益 的 4 永恒的主题 不老的学科 A n e t e r n a l t h e m e a n d i m m o r t a l s u b j e c t 也许有人 特别是想从事稳定性学习和研究 的 年轻学子 会 问 L y a p u n o v稳定性 已领风骚 1 0 0多 年 余晖还几何 随着科学技术 的日新月异 新型学 科 如 雨 后 春 笋 这 古 老 的 学科 会 不会 退 出历 史 舞 台 笔者认为 它不仅不会退出历史舞台 还会大放 光芒 理由有以下几条 1 L y a p u n o v在常微分方程 中开创 的稳定性 的 直接法 在不同时期 不同地 区 已经或正在或将来 会推广到差分方程 微分差分方程 蹦 泛 函微分方 程 积分微分 方程 偏 微分 方程 偏泛 函微分 方 程 随机微分方程 随机泛 函方程 随机偏微分 方程 脉 冲微 分方 程 酆 偏差 分方程 其 中 还有许多未开垦的处 女地 还有许 多工作可做 凡是用这些方程 中的任何 1个描述 的动力系统 要 研究它的动力学渐近行为 由现在 过去推知未来 的 动态 第 1个要研究 的性能就是稳定性 虽然 把 L y a p u n o v 在常微分方程中首创的直接法推广到非常 微分方程 需要克 服许多实质性 的 困难 因为这些 曲未 禽 垂 学学 报 自 然 科 学 版 2 0 0 9 1 1 1 1 5 J o u r n a l o f N a n j in g Un i v e r s i ty o f I n f o r ma t i o n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y N a t u r a l S c ie n c e E d i t io n 2 0 0 9 1 1 1 1 5 非常微分 方程 有其 自身 的特 点 如 随机微 分方 程 中的 I t 6微分 积 分 又 如偏微 分方 程 中 的平 均 L y a p u n o v函数等 但最基本 的核心思想仍 然是 常微分方程 中的 L y a p u n o v直接法 至今 这些 系统 中的稳 定 性 理论 远 没有 常 微 分 方程 稳 定 性 那样 完善 2 那些根据 L y a p u n o v常微分方程 中的稳定性 而拓广的如 有限时间的稳定性 实用稳 定性 L i p s c h i t z 稳定性 部分变元 的稳定性 集合稳 定性 双测度稳定性 等 有很多还远未完全拓广 到上述其它非常微分方程 显然 欲找到要研究的课 题 实在可以说俯拾即是 但也困难重重 3 L y a p u n o v 稳定性本质上虽然属 应 用数学 范畴 但它已辐射渗透到许多学科 如前所述 在 L y a p u n o v博士论文发表前 四五 十 年内 主要是数学力学范围内 从 2 0世纪 4 0年代 以 后 在非线性控制科学与工程方面得 到支撑 实际问 题的需要对学科的发展的巨大推动力 远远胜过数 学家的召唤 是控制理论和 自动化应用掀起 了研究 稳定性的高潮 1 6 6 1 9 5 生物数学出现在 2 0世纪 7 0年代 由于它 的非 线性本质 特别是高 于 3维的 几维系统要研究 的平 衡位置 的稳 定 生 物体 的共存 性 持 久性 使 L y a p u n o v直 接 法 又 成 了 研 究 生 物 数 学 最 锐 利 的 武器 2 O世纪 8 0年代 以后 神经网络的产生 不仅刺 激 了神经计算的产生 m 也推动 了 L y a p u n o v 稳定性理论的发展 纵观神经网络方面的多种刊物 关于神经 网络研究 的 L y a p u n o v稳定性 的文章不计 其数 我 国也涌现了一大批神经 网络 L y a p u n o v稳定 性方面的专家学者 2 0世纪 9 0年代 以后 混沌控制 混沌镇定 混 沌同步应运而生 改变 了人们长期 以来 认为混沌由 于对初值的过度敏感 混沌是不可控 混沌不可能同 步的陈腐观念 尤其混沌 同步在保密通信 中的潜在 的应用价值 使混沌 同步成为新的研究热点 但混沌镇定 混沌同步 归根结底是在反馈控制 作用下的稳定性 问题 混沌控制和混沌 同步 的研究 再次掀起了研究稳定性高潮 最近 1个新的基 因调控 网络 的分支产生 从 已 有的文献 上看到 稳定性又在大显身手 稳定性还可以和许多其它学科交叉 与许多分 支有缘 例如 早在 1 8 6 8年开始 人们就对流体及大 7 气运动的稳定性进行研究 弘 J 至今 已取得许多丰硕 成果 总之 无论是抽象的动力系统 还是实际的具体 系统 稳定性总有它的用场 无论现代科学技术如何 先进 稳定性思想总会伴随而行 例如 文献 1 3 8 高 度评价 了现代控制在许多尖端领域 的应用 其 中 反 馈控制使之稳定 的理论和方法起了核心作用 所以 古老 的稳定性 理论 决不 会退 出历史舞 台 它必将与时俱进 永葆科学 的青春 永 放时代 的 光芒 有志从事这方面研究的学者 可以毫不犹豫选 它做为研究方 向 不必有被淘汰之虞 5 给人 以启迪 洞察 力 智慧 思 想 Gi v i ng p e o p l e e n l i g h t e n me n t i n s i g h t wi s d o m a n d i d e a s 世界著名数 学大师 H i r s c h和 S ma l e 1 3 9 j 在他们 的专著 常微分方程 动力系统 线性代数 3者合 1 的序言中谈到 有人说常微分方程这一学科是求 解技巧和提示的汇集 并说它所 以重要 是因为它能 解决物理学 工程学等方面的问题 我们认为这一门 学科可以相当统一 而连贯地进行 阐述 常微分方程 对于其它学科领域的重要性 在于它能启发 统一并 推进这些学科领域 了解 常微分方程与其它学科之 问是如何联系的 对于学生及数学工作者来说 是获 得洞察力和启示的一种主要源泉 如果将这段 深刻而具有独特见解 的话 应 用到 常微分方程 中的 L y a p u n o v稳定性 可以豪不夸张地 说 L y a p u n o v 在常微分方程 中首创的稳定性理论 和 方法 不仅给人启迪 给人以洞察力 而且给人 以智 慧 给人 以思想 锻炼人分析问题 解决问题的能力 稳定性也可谓惠及笔者一生 从 1 9 7 8年科学 的 春天来了之 后 由于工作 的需 要 也是 因个人 的兴 趣 基本上就在稳定性这个领域 内耕耘播种 收获几 十年 完成 了多项 国际国内科研任务 乃至终身无恨 无悔 这里 笔者想 结合 自己的体 会谈 谈 L y a p u n o v 稳定性从发现能力 思维方法 解决问题给予的启迪 和洞察力的几个实例 例 1 1 9 7 8年 前苏联学者 K h a r t i o n v l 1 4 0 证 明了 1 个区间多项式 无穷多个 口 1 一 一 l n 其 中 n 区间端点0 石 已知 与由端点 系数组成 的4个多项式的 H u r w i t z的稳定性等价 被 人们誉为惊人 的结果 立即在全球掀起 区间动力 系 8 统 R o b u s t 稳定性 的高潮 但后人不断用反 例否 定了关于区问矩 阵 H u r w i t z 稳定性 S c h u r 稳定性 类似的猜想 区间多项式 的 S c h u r 稳定也无此 漂亮 结果 于是 1 个尖锐 的问题必然被提出 具有无穷多 个的动力系统 区间系统 能否与其中有 限个 的稳 定性等价 这正是 R o b u s t 稳定性研究的核心价值所 在 为了了解 问题症结所在 笔者认真研读 了文献 1 4 2 1 4 3 方知他们是把 区间分成若 干小 区间 然 后证明大区间的稳定性 可控性 可观性与每个小 区 间同类性质等价 便立即发现 2个问题 1 小区间虽小 仍有无穷 多个 点 从实变函数 可知 大小 区间的 势 相等 故仍 未 回答 无限多个 与有限多个该性质等价的问题 2 如何分解 没有明确定义 易举每个小 区间 多项式稳定而大区间多项式不然的反例 是 L y a p u n o v 1次近似理论和临界点的稳定性理 论以及泛 函分析中的有限覆盖原理给了笔者启迪 该理论的大意是将 1 个 自治非线性系统在平衡 点处线性化 若线性化 系统 的系数矩阵的特征值具 有双曲结构 即不具 0实部特征值 则线性 系统 的 稳定性完全决定 了非线性系统 的同样 的稳定性 反 之 临界情况 有 0实部特征值 则不然 用拓扑语言 说 具有双曲结构的系统是粗系统 它有一定 的 R o b u s t 度 只要非线性 项的扰动在它 的允许扰动范 围 内 保持稳定性不变 受这些思想的启迪 笔者等立即写了 1篇注记 性的文章 川 明确给 出了完全分解 或概率分解 的定义 同时利用矩阵的 H u r w i t z 稳定性 S c h u r 稳定 性 可观性 可控性的粗性质和泛函分析 中的有限覆 盖定理 肯定地 回答 了 1个闭区间矩 阵 无穷多个 矩阵 的稳定性 可控性 可观性等价于该 闭区间矩 阵中的有限个矩阵的相应性质 并给出了如何寻找 这有限个矩阵的具体计算方法 文章被 中国 自动化 学报 以极快速度用中英文同时发表 可见 L y a p u n o v方法授人 以 渔 的作用 当然 其他基础知识也很重要 例 2 判定多项式 线性 控制 系统稳定 的几何 方法 或称为频率方法 很受实际工作者欢迎 也有 明显 的物理意义 但 因为要做 自变量取值 为 一 或 0 的频率 特性 曲线 实际上是 困难 的 这又是 1 个无限与有限的矛盾 廖晓昕 漫谈 L y a p u n o v 稳定性的理论 方法和应用 L I AO Xi a o x i n Ta l ki ng o n t h e t h e o r y me t h o d s an d a p p l i c a t i o n o f Ly a p un o v s t a b i l i t y 众所周知 1 个实系数多项式的根是共轭的 即 关于实轴对称 同时是有界 的 界可以通过系数表 示 传统的频率判据都没有很好地利用这些优美的 性质 笔者等通过对前苏联学者米 哈伊诺夫 的几 何判据的讲授发现 他的取值区间仍然是 0 证明虽然复杂 但严谨 给人启发 于是 利用实系数 多项式的根的 2个极好性质 创立 了 1个新 的几何 方法 孓 只要在 1 个有限的 1 4的圆周上计算该 多项式的幅角 的变化 就立 即可断言该 多项式根的 分布信息 方法初等 计算量小 论证严谨 首先化无 限区间 一 为有限 0 P l 0 等1 文章由 L 二J 中科院院士钱伟长先生推荐在他任主编的 应用数 学和力学 上发表 之后 受 到美 国 数学评 论 好 评 特别有趣的是美 国 数学评论 编辑来特函要求 作者核实原创作者姓名 使之收藏在他 们的原创作 者的档案内 以备查证 后来 笔者的一位硕士研究生 又利用这种 思想改进 了 P o p o v频率判 据 中要 验证某不 等式在 一o 成立 为只须验证它在 0 P 成立 P为 具体常数 例 3 当 H o p fi e l d神经网络 和细胞神经网 络刚问世时 人们对神经 网络 即将开辟神经计算 的 新纪元 有着广泛的应用前景都深信无疑 但对他们 的稳定性 由于没有 明确定义 各人按各人的理解 难 以达成共识 对他们所构造 的计算能量函数 既不 明确他 的物理意义和数学上 如同 L y a p u n o v函数那 样有正定 负定 的严格定义 又不知这种所谓的计算 能量函数是如何构造出来的 其实 这些神经网络创 始人的初衷 不是要研究 已知平衡位置的稳定性 而 是重在如何能寻找到这些平衡位置 通过用 电子电 路可以实现的微分方程的流来 自动地求解非线性代 数或超越方程 这才是神 经网络引人 人胜之处 因 此 必须给出神经网络稳定性的严格数学定义 以及 严格的数学论证方法 加 现在神经 网络稳定 性方面的文献 m 大部分都 是 L y a p u n o v意 义下的稳定性 最初 的神经网络的稳定性 文献 已经 不多了 可见 L y a p u n o v稳定性仍然给人以洞察力 仍然 以扎实的理论基础而稳步前进 最近几年 受到国际学术界一些朋友的邀请 使 笔者有机会接触神经网络的研究 感到 L a n g r a n g e意 义下的稳定性的重要意义几乎是神经网络的普适性 质 以及赖以进行神经计算的前提 也是产生混沌奇 曲未 馐瘟 学学 报 自 然 科 学 版 2 0 0 9 1 1 1 1 5 J o u r n al o f N a n j i n g Un i v e r s i ty o f I n f o r ma t i o n S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y N a t u r a l S c i e n c e E d i ti o n 2 0 0 9 1 1 1 1 5 异吸引子的先决条件 和计算 L y a p u n o v指数 以及用 线性反馈来实现系统 的镇定和跟踪 的前提 但至今 没有查到有关 L a n g r a n g e指数稳定性方面的文献 于 是仍然借助于构造 L y a p u n o v函数的经验和技巧 研 究了一般时滞神经网络下的稳定性 H 它们受到 国际同行朋友的关照和引用 且沿着笔者等的提法 已有这方面的论文先后发表 l 例 4 经典 控制 只研究 定 常线性 系统 的稳定 性 它可以化为特征值 问题 在计算机高速发展 的今 天 可以轻而易举地彻底解决 而现代 的非线性控制 则不然 A i z e r m a n猜想的被否定 说明类 比于线性 系 统的代数方法失效 因此 只有借助 于 L y a p u n o v方 法 正是这种实际的需要把 L y a p u n o v稳定性从 曲高 和寡的境地推 向广阔应用前景 的高潮 L y a p u n o v稳 定性渗透到其它学科 也 同时沟通 了许多知识之间 的内在联系 如力学 自动控制 数学 特别是数学知 识之内在联系如复变 函数 矩 阵论 数 学分析 正实 函数论等 1 9 4 4年 前苏联著名 的控制 论专家 L u r i e在 离 心调速器工作原理基础上 从 飞机 自动驾驶仪 中的 研 制 过 程 中 提 出 了 如 下 不 确 定 非 线 性 微 分 方 程 族 无穷多个微分方程 A H b f or f 9 1 cTx 一 的平衡位置 0的同时全局稳定性 问题 其 中 反 馈函数 一 c f 0 0 是不确定 的未 知函数 仅 已知它属于 F类 函数 这 里 b C R A R 著名 的 L u r i e问题 为 问 对 于 任 意给 定 的 f 式 9 的平衡位置 0全局稳定 的充要条件 是什么 即无穷多个控制系统 的平衡位置同时全局 稳定的 也称为绝对稳定的 充要条件是什么 对此 问题 前苏联 学者 L u r i e 阳 Ma l i k i n L e t o v 等曾经得到了结论 若存在正定的 L y a p u n o v 函数 V P x f f d o 使得 0 则是 0绝对稳定的的充分条件 该结 论是正确 的 但对于如何验证 0 他们曾想当然 9 地认为该条件等价于线性矩阵不等式 f 一 曰 c A 2 b P 1 f z l l c A 2 b P c T b J 一B A P P 当A稳定 关于 P有正定解 通过 相当长的时间 美 国 前苏联及我国的一些学者 韶 发现此线性矩阵不等式永远无解 从而条件是空的 究竟什么条件 能保证 0 1 1 0 才有解 它是 0的充分条件而非必 要条件 我国学者 彤 得到了 K e H H g M Ha y H a 1 9 6 5 C h e t a e v N G S t a b i l i t y o f mo t io n M MO S C O W 1 9 6 5 3 1 B a r a b a s h i n E A L y a p u n o v s f u n c t i o n s M M o s c o w N a u k a 1 9 7 0 i n R u s s i a n 3 2 K r a s o v s k i i N N C e r t a i n p r o b l e m o f s t a b i l i t y t h e o ry o f m o t i o n M Mo s c o w F i z ma t g i z 1 9 5 9 i n R u s s i a n 3 3 赖定文 关于稳定性定理的一点补充 J 科学通报 1 9 8 4 1 9 2 1 1 6 1 1 1 6 3 L A I D i n g w e n S u p p l e m e n t t o t h e s t a b i l i t y t h e o r e m J C h i n e s e S c i e n c e Bu l l e t i n 1 9 8 4 1 9 2 1 1 6 1 1 1 6 3 3 4 刘 自成 两个稳 定性定理 的改进 J 华 中师范大学 学报 微 分 方程专辑 1 9 8 6 1 2 5 1 3 7 L I U Z i c h e n g I mp r o v e m e n t t o t w o s t a b i l i t y t h e o r e m s J J o u r n al o f Ce n t r al Ch i n a No r mal Un i v e rsi t y S p e c i al I s s u e o f Or d i n a r y Di ff e r e n t ia l Eq u a t i o n 1 9 8 6 1 2 5 1 3 7 3 5 冯滨鲁 L y a p u n o v稳定性定理 的推广 J 系统科学 与数学 1 9 9 8 1 2 2 2 1 1 2 1 4 F E N G B i n l u G e n e r a l i z a t i o n o f L y a p u n o v s s t a b i l i t y t h e o r e m J J o u rna l o f S y s t e ms S c i e n c e a n d Ma t h e ma t i c a l S c i e n c e s 1 9 9 8 1 2 2 2 1 1 2 1 4 3 6 王学蕾 黄焕河 关于部 分变元 稳定性理 论基本定 理的推广 J 洛阳大学学报 2 0 0 2 1 5 4 4 7 W ANG Xu e l e i HUANG Hu a n g h e On t h e p o p u l a r i z a t i o n o f t h e b a s i c p ri n c i p l e o f c e r t a i n v a ri a b l e s t a b i l i z a t i o n J 1 J o u r n a l o f L u o y a n g U n i v e r s it y 2 0 0 2 1 5 4 4 7 3 7 孟新 柱 孙秋霞 微分系 统持续摄 动下部分 变元的强 稳定性 J 烟台师范学院学报 2 0 0 1 1 7 4 2 4 9 2 5 1 ME N G X i n z h u S U N Q i u x i a S t r o n g s t a b i l it y o f d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s u n d e r c o n t i n u o u s p e r t u r b a t i o n o n p a rt i a l v a ri a b l e s I J I Y a n t a i T e a c h e r s U n i v e r s i t y J o u rnal 2 0 0 1 1 7 4 2 4 9 2 5 1 3 8 徐道 义 稳定性 理论 中的几 个基本 定理 的推广 J 应用 数 学 1 9 9 2 5 2 1 3 5 1 3 7 XU Da o y i Ge n e r a l i z a t i o n o f s e v e r a l f u n d a me n t a l t h e o r e ms i n t h e t h e o r y o f s t a b i l i t y J Ma t h e ma t i c a A p p l i c a t a 1 9 9 2 5 2 1 3 5 1 3 7 3 9 斯力更 关于 L i p s c h i t z 稳 定性理论注记 I I I J 内蒙古师 大 学学 报 1 9 9 4 4 1 5 1 9 9 5 2 1 5 1 9 9 6 3 1 6 S I L i g e n g L i p s c h i t z s t a b i l i t y a n d L i a p u n o v s t abi l i t y I II m J J o u r n al o f I n n e r Mo n g o l i a N o r mal U n i v e rsi t y 1 9 9 4 4 1 5 1 9 9 5 2 1 5 1 9 9 6 3 6 4 O G UO Y X A n e w s p e c t r al i n e q u a l i t y a n d i t s a p p l i c a t i o n s t o p a r t i al s t abi l it y o f l i n e a r t i me v a ryi n g s y s t e ms J Ac t a Ma t h e ma t i c a e A p p l i c a t a e S i n i c a 2 0 0 7 2 0 4 8 1 4 8 1 9 4 1 王天成 时变动力系统的不稳定性 J 烟台师范学院学报 1 9 9 7 1 3 2 8 7 8 9 W ANG Tia n c h e n g I n s t a b i l i t y o f g e n e r a l t i me v a r y i n g d y n a mi c s y s t e m s J Y a n t a i T e a c h e r s U n i v e r s i t y J o u r n a l 1 9 9 7 1 3 2 8 7 8 9 4 2 王林 山 关于稳定 性的 L y a p u n o v定理 的推 广 J 数 学的实 践与认识 1 9 8 7 1 7 2 7 2 7 4 1 2 W ANG L i n s h a n T h e p o p u l a riz a t i o n o f Ly a p u n o v t h e o r e ms a b o u t s t a b i l i t y J Ma t h e m a t i c s i n P r a c t i c e a n d T h e o r y 1 9 8 7 1 7 2 7 2 7 4 4 3 兀e p c H 且 c K H K F K T e o p H H y C T O I H B O C T H p e i u e n H u q b q b e p e H u r f a n b n b L X Yp a B n e H H fi Y MH 1 9 4 6 1 5 6 2 5 0 2 5 5 P e r s i d s k i i K G On t h e s t a b i l i t y t h e o r y o f s o l u t i o n t o d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s J U S P Ma t N a u k 1 9 4 6 1 5 6 2 5 0 2 5 5 4 4 钱吉林 廖晓昕 矩阵方程 的新 解法及应用 J 华 中师范大 学学报 1 9 8 7 2 1 2 1 5 9 1 6 5 Q I A N J i l i n L I A O X i a o x i n N e w s o l u t i o n m e t h o d o f m a t r i x e q u a t i o n a n d i t s a p p l i c a t i o n s J J o u r n a l o f C e n t r a l C h i n a N o r m a l U n i v e m i t y 1 9 8 7 2 1 2 1 5 9 1 6 5 4 5 R e i s s i n g R S a n s o n e G C o n t R N o n l i n e a r d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s o f h i g h e r o r d e r M N o o r d h o ff L n t e r n a t i o n al P u b l i s h i n g L e