素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0311.doc

2003年第 11期数学通报 数学问题解答 f(x) sin (a1 +x) + sin (a3 +4HXA又因 GCA = HAC所以 HXA = HAC即得 HA HX1 = f(b) = 0 ,求 b. HD所以 HX 2003年 10月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1456如图 ,在 O中 ,两弦 AC、BD垂直于 P.过 A、B、C、D分别作 O的切线 ,相交于 E、F、G、 H,求证 :AE= PB = CF,或 BE =AP = DH AH PD CGBF PCDG (浙江三门中学闵飞 317100)证明分三步证 : )过 H引 FG的平行线与 AC交于 X,则GCA = 则有 HD 又因 HA =HYHP1 HX 设 AC与 HF交于 P1 ,则有 P1 F= FC又设 BD与 HF交于 P2 ,则有 HP2 = P2 F HY FB又因在 FB = FCHP1 HP2结合 、得 P1 F= P2 F于是 P1与 P2重合 ,因此 AC、HF、BD三线交于一点 ,同理 AC、EG、BD也相交于同一点 ,即有 AC、BD、EG、FH四线相交于点 P. )由 EAB = EBA = 12 AB 1GCD = GDC = CD2 及三角形内角和 AEB + EAB + EBA = 180 CGD + GCD + GDC = 180知 AEB + CGD+AB +CD = 360又 AC BD可知 AB +CD = 180便知 AEB + CGD = 180从而 E、F、G、H四点共圆 . )由、中结论 ,可知 AHP = EHF = EGF = CGP ,又 HAP = GCP所以 HA P GCPAH PA 所以 CG = PC且因 AH = DH,CG = DG即有 DH = PA DG PCBE PA 同理 ,BF =PCBE PA DH 从而 BF =PC =DGAE PB CF 同理可得 ,AH =PD =CG . 1457设 a1 ,a2 , , an是实常数 ,x是实变数 ,且 11 (湖南省常德英语实验中学李晓渊415000)解首先证明 f ( x)不恒为 0.事实上 ,f ( -a1) 1 -1 -1 -2 n 1 -12 24 = 21 n 0 ,即 f ( x)不恒为 0.然后求 a-b.因为 f(x) = 2 k-11 ( sin akcos x+ cos ak sin x) k = n1 n 1 n 1 =( 2 k-1sin ak) cos x+( 2 k-1cos ak) sin x= k= 1 k= 1 Acos x+B sin x. (其中 A= 2 k-1 1sin ak,B = k = n1 12 k-1cos ak)k = n1 由 f ( x)不恒为 0即知 ,A、B不全为 0 ,再由 f(a) = f(b) = Acos a+B sin a= 0 Acos b+B sin b= 0有非零解 ,从而行列式 所以 sin a cos b-cos a sin b= 0 ,即 sin(a-b) = 0 ,故 a-b=m(m Z) 1458实数 x,y满足 x+y = 4 ,x 6 +y6 = 2702 ,证明对一切正整数 n,x n + yn为不能被 3整除的正整数. (湖北省洪湖市第三中学廖明村 433218) 0得 : cos asin a 必为 0 ,cos bsin b2003年第 11期数学通报48 n n(a-2) 与 xy 8有矛盾 ,a-2 -1 所以 xy = 1.-mn证 )显然 xn+ yn两式相加 ,得 a -a 1 m + aa-12 m 0所以xy 82 (1)当 n (2)设 n 1 (k N)时 ,x n + yn为正整数 ,则 kn =kk时 k-1 k-1) k-2 x +y=(x+y)( x +y-xy (x + k-2)y = 3 ( xk-1 + yk-1) + (xk-1 + yk-1)k-2)( )( xk-2 +y由归纳假设知 xk -1 + yk-1 , x k-2 + yk-2为正整数.所以 xk + yk为正整数 .综上所述 ,由 (1)、(2)知对于一切正整数 n, xn + yn为正整数 . )由 x+y = 4 ,x 2 +y2 = 14 ,x 3 +y3 = 52 , 66 442 222)x+y= 702 ,x +y=(x+y-2 xy = 194 , 554 34) 3)x +y=(x+y)( x +y-xy (x +y= 724.可知这六个式子均不能被 3整除 .设 k为使 xn + yn能被 3整除的最小正整数 ,则 k 6.于是 ,在 ( )式中可知 ( xk-1 + yk-1)( xk-2 + yk-2)也能被 3整除 .若在 ( )式中以 k-1代 k得 k-1 k-1 k-2 k-2) k-2 k-2)x+y= 3 (x+y+(x+yk-3 k-3)-(x +yk-3 k-3 k-2 k-2) k-2 k-2) 所以 xk -1 + yk-1)= 3 (x+y+(x+ y -(x +y这说明 xk-3 + yk-3也能被 3整除 ,这与 k为使 xn + yn能被 3整除最小正整数的假设相矛盾 ,故不存在自然数 n使 xn + yn能被 3整除 .由 ) )命题得证 . 1459已知 a 3 ,且 mn 1 ,m、n N+,nn n 求证 :a m-(a-1)m n 1 ,且 m,n N,不妨设 m = n+k, (k N,且 k 1)n a所以 m= 1 1 1 a-1 k个 na 11 1 k+ amam am a-1 a-1 a-1 a-1 mn个 2 k+ 2 n = 2m nn n 所以 am +(a-2)m 2 (a -1)m (1)nn 类似地有 :(a -1)m +(a-3)m 2 (a n 2)m (2) nn n (1) +(2),即 am-(a-1)m (a-2)m-(a -3) . 证毕 1460设 m N+,x、y、z R+,且 xyz = 1 ,mm y求证 :(1 + y(1 +z) +(1 + z)(1 +x) + m 3 4 .(1 + x(1 + y) 证明 (1)当 m= 1时 ,令 t = x+y+z,则 2 221 12 x +y+z 3 (x + y +z) 2 = 3 t1 12xy + yz +zx 3 (x + y +z) 2 = 3 t所以等式左边 =(1 + y) (x 1 +z) + yz (1 + z)(1 +x) +(1 + x)(1 + y) 2)(x+y+z) +(x 2 +y2 +z= 1 +(x+y+z) +(xy+yz+zx) +xyz 12t+ t31 = 12 62 +t+ t1 +3 t2 + 3 t设 f(t) = 1/(1 +t2 + 63 t) ,易知 f (t)在3 , + )上是增函数 ,由 xyz = 1 ,得 t = x+y+z 33 xyz = 3 ,所以等式左边 f (t) f(3)= 43 . (2)当 m= 2时 ,设 u=(1 + y)(1 +z) +(1 + z) (1 +x) +(1 + x) (1 + y)则u= 3 + 2 (x+y+z) +(xy+yz+zx)由 (1)得u 3 + 2 t+ 13 t2(t 3)2 所以等式左边 = 1 u u (1 + y(1 +z) + 22 y +(1 + z)(1 +x) (1 +x(1 + y) 2 (1 + x) (1 + y) 8 -4所以等式左边 ( m -1) ( x + y + z) 4 -3 ( m -2) 4 ( m -1) 3 4 3 xyz -3 ( m -2) 4 = 3 4 2003年 11月号问题解答 (来稿请注明出处 编者) 1461如图 ,四面体 D -AB C中 , AB C是边长为 1的正三角形 ,面 DAB面 AB C ,面 ADC面 BDC.求四面体体积的 1 (x + y +z) 2 =tuu 1 96 (泰州市第四中学 t2/(3 + 2 t+ 3 t2)= 3/+ 1高中部陈稳胜225300) ,易知 g( t)在3 , 1462已知 :等腰 AB C中 , BAC = 90,在 CA上是增函数.由 t 3 ,得设 g( t) + 等式左边 g( t) g(3)= 43 . (3)当 m 3时 ,由均值不等式得 m x 1 +y 1 +z 1 + + +(m-3) (1 + y)(1 + z) 88 4 mm m-31 +y 1 +z 1m (1 + y(1 + z) 8 84 m = 4 xm 所以 (1 + y(1 + z) 2 mx -8 (y+z) m-2 4m y 2 my -(z+x)同理有 :(1 + z)(1 + x) 8 m-2 4m z 2 mz -(x+y) m-2 延长线上有 D1 ,在 AC延长线上有 D2 , AD1 = CD2 .过点 A分别作 BD1 , BD2的垂线 AE1 ,AE2 ,垂足分别为 E1 ,E2 .直线 AE1交 BC的延长线于 F1 , CF2 CF1AE2交 BC于 F2 .求证 :BF2 -BF1 = 1 (北京朝阳区教育研究中心郭璋100028) 1463在 AB C与ABC中 ,求证 : sinA sin B sin C cot A+ cot B+ cot c +3 sinA sin B sin C (南昌大学附中宋庆330029) 1464已知 a,b,c R,a+b+c = 1.求证 : 7 119 a+b + 2 b+c + 3 c+ a 5 10 (四川省邻水二中张启凡甘立斌638500) 1465试求出所有适合条件 aa-bb=aa-1 bb-1 +a+b的正整数对 ( a, b) . (广州大学理学院数学系吴伟朝510405) (上接第 37页)后分别通过求和、消项、放缩