素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0002.doc

2000年第 2期数学通报 数学问题解答 2000年 1月号问题解答 同理可证式 ( 0 (1+ 1) 72000-5 递增 = 14002 7819 解将递推公式 an+1 =-3an +2n改写为 2n+1 2n 1 13 17 (an+ 1 -)=-3(an -(1+ 1) ( 1+ ) 55 3 913 2n 8001 8 1记 bn = = 8001 79157997 3 3 于是 bn = b0,从而得出 : P 2000= 79.2 7n+2Pn an =(a0-51)(-3) n + 25n (n= 0, 1, 2, ) 注由、二式易证 :3 再将变形为 24n+1 其中 Pn 2 5 37n+ 2 ( 3n+ 1)要an = (-3) n(a0-15)+ (-23) n 15远强于 1998年全国高考文科卷压轴题 : Pn 注意到 lim (-2 =0,因此若 a0-1 0,2n+ 1. x , y R ,n 3) n 5 12331试求所有函数 f : R R ,使得对 则上式括号内的数与 (a0-15)同号 (当 n充分大都有 时),但 (-3) n (n = 0, 1, 2, )轮流为正、负数 ,从f (xf (y ) = xyf (y -x ) 而an 不可能严格递增 如an 严格递增 ,当且仅解显然 f (x )= 0( x R )满足题目的所12n 有条件 ,下面来证明不存在别的函数解 当 a0= 5,即 an = 5. 用反证法 ,假设存在一个非恒为零的函数 f : 11 R R也适合条件 12321记 Pn = (1+ 1) (1+ 3) (1+ 5) (1+ 在中取 x =0得 f (0)= 0 1 ),求 P 2000的最大整数部分在中取 y = x得 f (x f (x ) = x 2 f (0) 2n-1=0,即 f (x f (x ) = 0 解首先证以下不等式成立 : 因为 f (x )苦 0且 f (0)= 0,所以一定存在至7n+2 2n 14n+1 少一个 x 0 0使得 f (x 0) 0 7n-5 2n-1=1+ 2n-1 1)f (x f (x + x 0) ) = x (x + x 0) f (x 0) 不等式等价于由得 f (f (1) = 0,再在中取 y = f (1)得 2 7n+2 4n 1) 2 x f (1) f (f (1) -x )= 0 7n-5(2n-若 f (1)= 0,则在中取 x = 1-x 0得 (7n+ 2) (4n 2-4n+ 1) 4n 2 (7n-5) (1-x 0) f (x 0) = f (0)= 0, 28n 3-20n 2-n+228n 3-20n 2 由于 x 00, f (x 0) 0, f (1)= 0,所以 x 0 1, n2从而由得 f (x 0)= 0,这与 f (x 0) 0相矛盾 !因式成立 ,且“= ”号成立当且仅当 n= 2.此一定有 f (1) 0 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学通报编辑委员会名单主编刘绍学副主编张英伯丘维声钱玲编委王申怀刘绍学丘维声田载今关治任子朝乔荣凝余炯沛李建才明知白周沛耕张艹凡张英伯张饴慈陈捷陈培德袁向东钱玲章建跃蔡上鹤蒋佩锦储瑞年编辑部刘庆生程艺华苗秀珍常淑凤岳昌庆 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 由 与 得 : x f (f (1) x ) = 0 在 中令 x 0得: f (f (1) x ) = 0 (x 0) 下面再分两种情况分别讨论 : (1)若 f (1) 1,则在中令 x = f (1)-1( 0)得 f (1)= 0,这与矛盾 ! (2)若 f (1)= 1,则由 f (f (1) = 0得 f (1) = f (f (1) = 0,也产生了矛盾 !综上所述 ,不可能存在一个非恒为零的函数 ,故本题的解为 f (x )= 0( x R ) 12341设三角形三边 a, b, c所对内角的弧度数分面体的个数 2000年 2月号问题 (来稿请注明出处 编者 ) 12361设 f (x )= (x 2+ 2x + 3) x +3 + (x 2+ 2x + 2 3) x , x R 证明 : f (x ) 6 (张维进提供 ) 12371设 ha , hb, hc分别为 ABC的三边 a, b, c的b + h2 c 9高试证 : h2 a 2 2,其中 表示三元循环和 (宿晓阳提供 ) 12381已知 ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为 R和 r,求证 : co sA co sB co sCR sin2A + sin2B + sin2C r .(宋庆提供 ) 12391在凸四边形 A B CD边AB , CD上各有一动点 M、N ,如果