原子物理学答案杨福家高教第四版.doc

1 目 录 第一章 原子的位形 . 2 第二章 原子的量子态：波尔模型 . 8 第三章 量子力学导论.12 第四章 原子的精细结构：电子的自旋 . 错误!未定义书签。 第五章 多电子原理：泡利原理 23 第六章 X射线 .28 第七章 原子核物理概论 . 错误!未定义书签。 2 第一章 原子的位形 1-1)解： 粒子与电子碰撞，能量守恒，动量守恒，故有： +=+=eevmvMvMvMmvMvrrr222212121 =-=-222eevMmvvvMmvvrrr evmprr=D eep=mvp=mvDD，其大小： (1) 222()()()emvvvvvvvM-+-= 近似认为：();pMvvvvD- 22emvvvMD=有 212eppMmvD=亦即： (2) (1)2/(2)得 22422210eemvmpMmvM-D=p 亦即：()ptgradpqqD=-410 1-2) 解： 22abctgEqpe=228e；库仑散射因子：a=4 )2)(4(420202EZeEZeapepe=22279()()1.44()45.545eZafmMevfmEMevpe= 当901qq=时，ctg2 122.752bafm= 亦即：1522.7510bm-= 解：金的原子量为197A=；密度：731.8910/gmr= 依公式，射a粒子被散射到方向，dW立体角的内的几率： 3 ntdadP2sin16)(42qqW= (1) 式中，n为原子核数密度，()AAmnnNr= 即：AVnAr= (2) 由（1）式得：在90180 范围内找到a粒子得几率为： )(qP18022490ant2sin()164sin2dantpqqprqq= 将所有数据代入得 )(qP5()9.410rq-= 这就是a粒子被散射到大于90范围的粒子数占全部粒子数得百分比。 1-3)解： 74.5;79;,3;EMevZLiZ=对于全核对于金74.5;79;,3;EMevZLiZ=对于全核对于 )2)(4(420202EZeEZearmpepe= 当Z79时 2791.4450.564.5mrfmMevfmMev= 当Z3时，1.92;mrfm= 但此时M并不远大于m，clmEE 21,(1)2ccMmEuvEaaMmM=+ 4(1)3.027mcraafm=+= 1-4)解： fmEZeEZerm7)2)(4(420202=pepe 将Z79代入解得：E=16.25Mev 4 对于铝，Z13，代入上公式解得： 2e134fm=()4Epe E=4.68Mev 以上结果是假定原子核不动时得到的，因此可视为理论系的结果，转换到实验室中有：(1)lcmEEM=+ 对于 1(1)16.33197lcEEMev=+= 1(1)4.927lcEEMev=+= 可见，当Mm时，lcEE，否则，lcEE 1-5)解： 在方向d立方角内找到电子的几率为： 221241()44sin2ZZedNdntNEqpeW= 注意到： ;AANAnttnttNArr=24()4sin2ANdNadtnNArqW= 21279()1.44113.7641.0ZZeafmMevfmEMevpe= 2221.51.51010sdr-DW= 24()4sin2ANdNadtnNArqW=2313232646.0210114101.5101.510()8.9101974sin30oh-=215241011410-2313232646.0210114101.5101.510()8.9101974sin30oh-= 1-6)解： 223cos2()()444sin4sin22adadNNntNntdqpqqqW= 散射角大于得粒子数为：180NdNoq= 5 依题意得：1803606018090390sin2sin321sin2sin2dNNdooooooqqqqqq=，即为所求 1-7)解 21016104242sin2cos42sin2cos42sin2cos241)180(02323022180321803218032221201800000000000qprqprqqqprqqqprqqqpepqqqqqqctgNAactgaANdaANdaAtNdEeZZntNdNPAmAmAmA-= 依题：srbsrmtgaddc/24/102430sin101002.610241041812sin14)(2280402232342=W=-pqsqs 1-8)解： 在实验室系中，截面与偏角的关系为（见课本29页） 111max2221211221sin()9011sin0(1sin)1sin0LLLLmmmmmmmmmmmmooqqqq=-+ 由上面的表达式可见：为了使()LLsq存在，必须： 6 2121(sin)0Lmmq- 即：11221sin(1sin)0LLmmmmqq+（） 亦即：12121sin01sin0LLmmmmqq+ 或12121sin01sin0LLmmmmqq+ 考虑到：180Loq sin0Lq 第二组方程无解 第一组方程的解为：121sin1Lmmq- 可是，12sinLmmq的最大值为1，即：12sinLmmq= 1m为粒子，2m为静止的He核，则121mm=， max()90Lq= 1-9）解：根据1-7）的计算，靶核将入射粒子散射到大于q的散射几率是 24)(22qpqctgantP= 当靶中含有两种不同的原子时，则散射几率为 120.70.3hhh=+ 将数据代入得： 1323223122223113.142(11.4410)1.5106.02210154(1.0)7949(0.700.30)5.810197108MevcmgcmmolctgMevgmolgmolh-=+= 1-10)解： 金核的质量远大于质子质量，所以，忽略金核的反冲，入射粒子被靶核散时则：qqq-D之间得几率可用的几率可用下式求出： 7 22442sin2sin()()44sinsin22atantApqqrpqqhqqDD= 2121791.4494.841.2RZZeMevfmafmEMevpe= 由于12qq，可近似地将散射角视为： 1259616022qqq+=；61590.0349180radqp-D= 将各量代入得： 2413234419.321.51094.8102sin600.03496.02101.51101974sin30ph-= 单位时间内入射的粒子数为：910195.01013.125101.6010QItNee-=（个） T时间内入射质子被散时到5961-之间得数目为： 10493.125101.51106051.410NNTh-D=(个) 入射粒子被散时大于的几率为： 222231.88104242AatantctgNctgApqrpqh-= 103103.125101.88106051.810NNTh-D= （个） 大于10的几率为： 222108.171042antctgqpqh=-= 大于10的原子数为：102113.125108.17106057.6610N-D=（个） 小于10的原子数为：10123.1251016058.610NND=-D=（个） 注意：大于0o的几率：1h= 大于0o的原子数为：103.12510605NT= 8 第二章 原子的量子态：波尔模型 2-1)解： khvEW=+ 00,1.9kEhve=有Wh=0n HzseVeVhW14150106.4101357.49.1=-n nmeVeVnmWhcc6.6529.11024.1300=nl nmhceVeVnmWEhcck7.364)9.15.1(1024.13=+=+=nl 2-2)解： 22111;()nnnVncZravZZEEZnnna= 对于H： 2111210.53;42.12ranaAraA=2111210.53;42.12ranaAraA= 616112112.1910();1.110()2vcmsvvmsa-= 对于He+：Z=2 112161611110.265;21.06224.3810();2.1910()raAraAvcmsvcmsaa-= 对于Li+：Z3 1121616111140.177;0.70733336.5710();3.2910()2raAraAvcmsvcmsaa-= 结合能21()nAZEEEn=- 13.6;413.654.4;122.4HHeLiEevEevEev+= 由基态到第一激发态所需的激发能： 22221111113()()(1)2144ZZEEEZEEZD=-=-=- 9 对于H：31312.410()(13.6)10.2;1216410.2HHhcevEevAAEevlD=-=DeVeVEhcHe2.10104.123=D=+l13()13.6440.8;303.94HHehcEevAEl+D=D31312.410()(13.6)10.2;1216410.2HHhcevEevAAEevlD=-=D 对于He+：13()13.6440.8;303.94HHehcEevAEl+D=D9.303=D=+EhcHel13()13.6440.8;303.94HHehcEevAEl+D=D 对于Li+：13()13.6991.8;135.14HLihcEevAEl+D=D1.135=D=+EhcHel13()13.6440.8;303.94HHehcEevAEl+D=D 2-3)解： 所谓非弹性碰撞，即把Li+打到某一激发态， 而Li+最小得激发能为()eVEEEELi8.91)323(22211212=-=-=D+ 这就是碰撞电子应具有的最小动能。 2-4)解：方法一： 欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子以基态激发到第一激发态 122110.2EEEevD=-=V 根据第一章的推导，入射粒子m与靶M组成系统的实验室系能量EL与EC之间的关系为：cLMEEMm=+ 所求质子的动能为： 212121(1)220.42kcMmmEmvEEEevMM+=+D=D=V 所求质子的速度为： )(1026.610673.1106.14.2022142719-=smmEvk 方法二： 质子与基态氢原子碰撞过程动量守恒，则 ()vmmvmHPP+=10 10vmmmvHPP+= 1021022102121)(2121EmmmvmvmmvmEHPHPHPP=+=+-=D eVEEEvmEP4.20)(22211221010=-=D= )/(1026.62421010smccmEvP= MeVcmP9382=其中 10 2-7)解： n22211()vRZmn=-，巴而末系和赖曼系分别是： -=-=22222221113121RZRZLBnn 220222222111113614();();133.7231253LvRZvRZnmRZRZ=-=-= 288(133.7),215RZnmZHE=解得：即：原子的离子He288(133.7),215RZnmZHE=解得：即：原子的离子。 2-8)解： 213(1)4340.844hcEhvhcvhcRZRhcRhcevlD=-=V 此能量电离H原子之后的剩余能量为：40.813.627.2EevD=-=V 即：2861261254.43103.110()20.5110EmvEvcmsmc-D=D= 2-9)解： （1）基态时两电子之间的距离： （2）216.8012AREhcRhcevD=电离能： 1212335.1048AEhcvRhcRhcevD=第一激发能： （3）由第一激发态退到基态所放光子的波长： hnmvrrvmrvmrmvrekvvvrrrrrrmmm=+=+=22211122221212121:2:,2,:角动量量子化条件运动学方程质心系中2/42220menrhpe=rekrekmvrekvmvmEEEpk2222222222211-=-=-+=+=()()222204226.1324)2/(2neVHEhnemEnn-=-=pepnmar106.021=()eVEEEeVHEE10.580.6212121=-=D=-=DLLnmEEhc3.243)12(12=-=l 11 2-10)解： m- 子和质子均绕它们构成体系的质心圆周运动，运动半径为 r1和r2，r1+r2 =r 折合质量 M = m1 m2 /(m1 +m2) = 186 me r1= r m2/(m1+m2) = r M/m1 r2 = r m1/(m1+m2) = r M/m2 运动学方程：Ke2/r2 = m1 v12/r1 = m12 v12 /(M r) -（1） Ke2/r2 = m2 v22/r2 = m22 v22 /(M r) -（2） 角动量量子化条件：m1 v1 r1 + m2 v2 r2 = n n = 1, 2, 3, . 即 M (v1 +v2) r = n -（3） 共有三个方程、三个未知数。可以求解。 (1) 式 与 (2)式 做比值运算： v1 / v2 = m2/m1 代入 (3) 式中 M v2 (m2/m1 +1) r = n 即 m2 v2 r = n - (4) (2)式 和 (4)式 联立解得： anehnrMn122220218644=pep - （5） 式中 a1 = 0.529 oA，为氢原子第一玻尔轨道半径。 根据（5）式，可求得，m子原子的第一玻尔轨道半径为 r1 = a1/186 = 0.00284 oA 。 再从运动学角度求取体系能量对r的依赖关系。 E = EK + EP = 1/2 m1 v12 + 1/2 m2 v22 K e2/r = (1/2 M/m1 + 1/2 M/m2 1) K e2/r = - 1/2 K e2/r 把（5）式代入上式中 En = )(186)4(2222042HEhnMen=-pep 因此，m子原子的最低能量为 E(n=1) = 186 (-13.6 eV) = -2530 eV 赖曼系中最短波长跃迁对应 从 n = 1 的跃迁。该跃迁能量即为 2530 eV。 由 hc/l = 2530 eV 计算得到 lmin = 4.91 oA 2-11)解： 12 重氢是氢的同位素 11;11HDeeHDRRMMMM=+ 110.9997280.999728110.5002HDRxRx+=+ 解得：30.544510x-=；质子与电子质量之比11836.50x= 2-12)解： 光子动量：hpl=，而：hcEl=D 8112610.23103.26938.310ppEEevpmvvcmsmscmc-DD=8112610.23103.26938.310ppEEevpmvvcmsmscmc-DD= 氢原子反冲能量：2221()22kppEEmvmcD= 92610.25.41022938.310kvpEEevEmcev-D= 2-13)解： 由钠的能级图（64页图10-3）知：不考虑能能级的精细结构时，在4P下有4个能级：4S，3D，3P，3S，根据辐射跃迁原则。1=Dl，可产生6条谱线：43;44;33;43;43;33PDPSDPSPPSPS 2-14)解： 依题：主线系：)()3(1nPTST-=ln； 辅线系：)()3(1)()3(1nDTPTnSTPT-=-=lnln或 即： nmPTnmPTST6.40810)3(;3.5891)3()3(=-=- )3(ST61134.14410()(3);589.3408.6SmTSnmnm-=+=1 )3(PT6132.44710()(3)408.6PmTPnm-=1 相应的能量： eVmeVnmShcTSE14.510144.41024.1)3()3(163-=-=-=- 13 eVmeVnmPhcTPE03.310447.21024.1)3()3(163-=-=-=- 电离能 eVSE14.5)3(= 第一激发电势：eVSEPEE11.2)3()3(12=-=D 第三章 量子力学导论 3-1)解：以1000eV为例：非相对论下估算电子的速度： eVcvkeVcvcmvmee10002151121212222= 所以 v 6.25% c 故 采用相对论公式计算加速后电子的动量更为妥当。 加速前电子总能量 E0 = mec2 = 511 keV 加速后电子总能量 E = mec2 + 1000 eV =512000 eV 用相对论公式求加速后电子动量 ceVeVccmEcpe3198400261121000000262144000011422=-=-= 电子德布罗意波长 meVmeVeVhcph106103880.03198410241.131984-=l= 0.3880 采用非相对论公式计算也不失为正确： =-56621031969.010241.11000511210241.122meVkeVmeVEcmhcEmhphkekel0.3882 可见电子的能量为100eV、10eV时，速度会更小 ，所以可直接采用非相对论公式计算。 =-466210011.110241.1100511210241.122meVkeVmeVEcmhcEmhphkekel1.2287 =-46621031969.010241.110511210241.122meVkeVmeVEcmhcEmhphkekel3.8819 3-2)解： 不论对电子（electron）还是光子(photon)，都有： l = h/p 所以 pph/pe = le/lph = 1:1 14 电子动能 Ee = 1/2 me ve2 = pe2 / 2me = h2 / (2mele2) 光子动能 Eph = hn = hc/lph 所以 Eph / Ee = hc/lph (2mele2) / h2 = hc / (2mec2le) 其中 组合常数 hc = 1.988 1025 Jm mec2 = 511 keV = 0.819 1013 J 代入得 Eph / Ee = 3.03 103 3-3)解： (1) 相对论情况下 总能 E = Ek + m0c2 = mc2 = 220)(1cvcm- 其中 Ek 为动能，m0c2 为静止能量。对于电子，其静止能量为 511 keV。 由题意：)1)(11(2202020-=-=cvcmcmEEcmk 容易解得 ccv866.02/3= (2) 电子动量 cmcvvmmvp=-=0203)(1 其德布罗意波长 AJmJcmchph0162520014.010602.1511732.110988.13/=-l 3-5)解： 证明： 非相对论下：0025.12phV=l p0 为不考虑相对论而求出的电子动量，l0 为这时求出的波长。 考虑相对论效应后：ph=l 这里 p 为考虑相对论修正后求出的电子动量，l 为这时求出的波长。则 l/l0=p0/p= 12122)(2122224222422+=+=-+=-cmEEcmEEmccmcmEEmccmEcEmekkekkeeekkeeke Ek = 加速电势差电子电量，如果以电子伏特为单位，那么在数值上即为 V。 15 l/l0 = 1212+cmVe 这里 mec2 也以电子伏特为单位，以保证该式两端的无量纲性和等式的成立。 mec2 也以电子伏特为单位时，2mec2 的数值为 1022000。如果设想电子加速电压远小于1022000伏特，那么 V/2mec2 远小于 1。（注意，这个设想实际上与电子速度很大存在一点矛盾。实际上电子速度很大，但是又同时不可以过大。否则，V/2 mec2 远小于 1 的假设可能不成立）。 设 y = 1 + V/2 mec2 = 1+Dx，f(y) = y1 由于 Dx 1， f(y) 函数可在 y = 1 点做泰勒展开，并忽略高次项。结果如下： f(y) = 1 + xyfyD=1|= 1 + xyyD-=12/3|1)2/1(= 1Dx/2 = 1 24cmVe 将mec2 以电子伏特为单位时的数值 511000 代入上式，得 f(y) = V-610489.01 因此 l = l0 f(y) = nmVnmV)10978.01(25.12)10489.01(25.1266-+=- 3-7)解： Hzccc779821051010600103,:=D=DD-=D=-lllnllnln即得由 nnD=D=hEhE:得由 shhEtEt91059.14142,2-=D=D=D=D=DDnpnphh所以又 3-8)解： 由P88例1可得 ()()eVJrmEek51121431223422108678.2105885.4100.110109.914.3321063.6383=-h 3-9)解：（1） 16 18)2()2()2(22222=+-+-+-+-+-+-abcNcbaNdzedyedxeNdxdydzeNdxdydzczbyaxczbyaxj 归一化常数 abcN81= （2）粒子x坐标在0到a之间的几率为 ()()-=-=+-+-+-+-ecbeaabcdzedyedxeNdxdydzczbyaaxa11212211810220j （3）粒子的y坐标和z坐标分别在ccbb+-+-和之间的几率 22211112112)2(81-=-=+-+-+-+-+-+-eecebaabcdzedyedxeNdxdydzccczbbbyaxbbccj 3-12)解： 22sin2122sin2122cos12222cos12sin200000022adxaxnnaaxnxdnaaadxaxnxadxxadxaxnxadxaxnxadxxdxxxaaaaaannn=-=-=-=-=+-*+-pppppppjjj ()()-=-=-=-=-+-*+-22202222226112sin222ppjjjnadxaxnaxadxaxdxxxxxannn平均 当n时()12,222axxax=-=平均3-15）解 17 3-15)（1）0x， =V， 0)(=xj ax0，0=V，jj222kdxd-=，222hmEk= ， kxBkxAxcossin)(+=j ax， 0VV=，jj222kdxd=， 202)(2hEVmk-=，xkxkeBeAx-+=)(j 由函数连续、有限和归一化条件求BABA, 由函数有限可得：0=A 由函数连续可知：0=x 0)0(=Bj ax= akeBkaAa-=sin)(j 错误!未找到引用源。 akeBkkakAa-=cos)(j 错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。得 kkctyka-= 由函数归一化条件得：1)()sin(202=+-dxeBdxkxAaxka 错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。可求得BA, 第四章 原子的精细结构：电子的自旋 4-1)解：BUBmBSmeBUBsBesmmm22=D=-=rrrr BUBmBSmeBUBsBesmmm22=D=-=rrrr4141212()220.5788101.21.39102BSBVVVghBBevTTevhmm-D=-=V 4-2）3/21342,2,225DSejg=状态，54;23,2,21=gjls 334(1)(1)225BBjjgmmmm=-+=+其大小：Bm55.1= BBzmmgmmm54= 3113,2222m=- 18 Bzmm)5652,52,56(-= 4-3) 解：6G3/2 态：;23,4,25612=+jlss 该原子态的Lande g 因子：0)123(23)14(4)125(252123=+-+=g 原子处于该态时的磁矩： 0)1(=+=Bjjjgmm (J/T) bbbbmmSbaqPJPLPSmL 利用矢量模型对这一事实进行解释： 各类角动量和磁矩的矢量图如上。其中 PS = S(S+1)1/2 = (35/4)1/2 PL = L(L+1)1/2 = (20)1/2 PJ = J(J+1)1/2 = (15/4)1/2 mS = gSS(S+1)1/2mB = (35)1/2 mB mL = glL(L+1)1/2mB 利用PS、PL、PJ之间三角形关系可求出 a = 30 cosb = 725 由已知的cosb 、mS 、mL 可求出 m = Bm5 以及 q = 120 所以 q a = 90。即 矢量 m 与 PJ 垂直、m 在 PJ 方向的投影为0。 或：根据原子矢量模型：总磁矩slmmmrr,等于分量相加，即： )2()2(),cos(),cos(222222JLSJgJSLJgJSJLBSBlsl-+-+-+-=+=mmmmmrrrr 可以证明： ),cos(),cos(JSJLslrrrrmm-= Jslrrr在与mmsejmmm与在上投影等值而反向，所以合成后，0 4-4)解：22mvdDzBzzB=m，222mvdDzBzzB=Dm 2zD3222.010;1010;2510mdmDmx-D= 19 1323230107.87400;10;0.93106.0210BAvmsMNm-=12332301093.0;101002.687.107-=JTkgNAmBm 将所有数据代入解得：zBz21.2310/BJmxx=T/m 4-5)解：234F3/234,2142Fjg=+=态，分裂为：412=+j（束） kzBzBEdDzBmgmvdDzBmgz222-=-=Dmm ,d-=31132m=2222552=g 对于边缘两束，kzBEdDzBjgz222=Dm 42230.10.320.5788105101.01025010md-D=3225 4-6)解： 23,21,21,23;23,1,21:232-=mjlsP态 3/232,1,;,;2142Pejj=-+=13113态,S=m=22222 即：屏上可以接收到4束氯线 对于H原子：mEdDzBzkzB22106.022-=Dm 对于氯原子：kzBEdDzBgz22=Dm 222gzz=DD )(2122zgzD=D 对于34:232=gP态，代入得：2zD4/30.600.402cmdD= 4-7)解：赖曼系，产生于：21nn= 0,1=ln，对应S能级 1,0;2=ln，对应S、P能级，所以赖曼系产生于：21PS 双线来源于：23/21/22,2PPP2的分裂，2 20 由2112知：13484.5)1(-+=DcmllnZn 将1,2,6.291=D-lncmn代入129.62,1,3VcmneZ-D=代入，解得：= 即：所得的类H离子系：Li+ 4-