全国名校高中数学题库--概率与统计.pdf

1 概率与统计概率与统计 专题训练专题训练 一一 随机抽样 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 随机抽样 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 1 从学号为 0 50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试 采 用系统抽样的方法 则所选 5 名学生的学号可能是 B A 1 2 3 4 5B 5 15 25 35 45 C 2 4 6 8 10D 4 13 22 31 40 2 一个单位有职工 800 人 其中具有高级职称的 160 人 具有中级职称的 320 人 具有初级职称的 200 人 其余人员 120 人 为了解职工收入情况 决定采 用分层抽样的方法 从中抽取容量为 40 的样本 则从上述各层中依次抽取的 人数分别是 D A 12 24 15 9B 9 12 12 7C 8 15 12 5D 8 16 10 6 3 从总数为N的一批零件中抽取一个容量为 30 的样本 若每个零件被抽取的可 能性为 25 则N为 120 4 一个社会调查机构要了解某地区 8000 名教师的月收入情况 从中随机抽取 400 名进行调查 调查结果如下表所示 则该地区月收入在 2000 4000 的教师估计有 6400 名 5 某学校有学生 4022 人 为调查学生对 2010 年上海世博会的了解情况 现用 系统抽样的方法抽取一个容量为 30 的样本 则分段间隔是 134 6 某校高一年级有x名学生 高二年级有y名学生 高三年级有z名学生 采 用分层抽样抽取一个容量为 45 的样本 高一年级被抽取 20 人 高二年级被抽 取 10 人 高三年级共有学生 300 人 则此学校共有学生 900 人 7 经问卷调查 某班学生对摄影分别执 喜欢 不喜欢 和 一般 三种态度 其中执 一般 态度的比 不喜欢 态度的多 12 人 按分层抽样方法从全班选 出部分学生参加摄影座谈会 如果选出的是 5 位 喜欢 摄影的同学 1 位 不 喜欢 摄影的同学和 3 位执 一般 态度的同学 那么全班学生中 喜欢 摄 影的比全班人数的一半还多 3 人 8 一工厂生产了某种产品 16800 件 它们来自甲 乙 丙 3 条生产线 为检查这 批产品的质量 决定采取分层抽样的方法进行抽样 已知甲 乙 丙 3 条生产 线抽取的个体数组成一个等差数列 则乙生产线生产了 5600 件产品 二二 用样本估计总体用样本估计总体 频率分布直方图频率分布直方图 茎叶图茎叶图 众数众数 中位数中位数 平均数平均数 标准标准 差 方差 差 方差 1 频率分布直方图 小长方形的面积 频率 各个小矩形的面积之和为 1 2 众数 出现次数最多的数 3 中位数 将一组数据按大小依次排列 处在最中间的一个数据 或最中间两个 数据的平均数 2 4 标准差 222 12 1 n sxxxxxx n 5 方差 222 2 12 1 n sxxxxxx n 方差方差 或标准差或标准差 越小越小 数据越数据越 稳定稳定 1 某人从一鱼池中捕得 120 条鱼 做了记号之后 再放回池中 经过适当的时间 后 再从池中捕得 100 条鱼 结果发现有记号的鱼为 10 条 假定鱼池中不死 鱼 也不增加 则鱼池中大约有鱼 B A 120 条B 1200 条 C 130 条D 1000 条 2 某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出 60 名学生 将其成绩 是不小于 40 不大于 100 的整 数 分成六段 50 40 60 50 100 90后画出如 下部分观察频率分布直方图图形的信息 估计这 次考试的平均分为 D A 70B 72C 73D 71 3 甲 乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示 则甲 乙两人 这几场比赛得分的中位数之和是 A A 63B 64C 65D 66 4 在某次考试中 共有 100 个学生参加考试 如果某题的得 分情况如下 那么这些得分的众数是 C A 37 0 B 20 2 C 0 分D 4 分 5 甲 乙 丙 丁四人参加奥运会射击项目选拔赛 四人的平均成绩和方差如下 表所示 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛 最佳人选是 C A 甲B 乙C 丙D 丁 甲乙丙丁 平均环数x 8 68 98 98 2 方差 2 s 3 53 52 15 6 3 49 5 59 569 5 79 5 89 599 5 组距 频率 分数 6 随机调查某校 50 个学生在 六一 儿童节的午餐费 结果如下表 这 50 个学生 六一 节午餐费的平均值和方差分别是 A A 4 2 0 56B 4 2 56 0 C 4 0 6D 4 6 0 7 一组数据共有 7 个数 记得其中有 10 2 5 2 4 2 还有一个数没记清 但知道这 组数的平均数 中位数 众数依次成等差数列 这个数的所有可能值的和为 A A 9B 3C 17D 11 8 对某校 400 名学生的体重 单位 kg 进行统计 得到如图所示的频率分布 直方图 则学生体重在 60kg以上的人数为 B A 300B 100C 60D 20 第第 9 9 9 9 题图题图 9 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况 将所得的数据整理后 画出了频率分布直方图 如图 已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为 1 2 3 第 2 小组的频数为 12 则报考飞行员的学生人数是 48 10 在光明中学举行的电脑知识竞赛中 将九年级的两个班 的学生成绩 得分均为整数 进行整理后分成五组 绘制出 如下的频率分布直方图 已知图中从左到右的第一 第三 第四 第五的频率分别为 0 30 0 15 0 10 0 05 第二小 组的频数是 40 则这两个班参赛的学生人数为100 11 一 个 样 本 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 10 12 13 x 17 19 21 24 其中位数为 16 则x 15 12 某教师出了一份共 3 道题的测试卷 每道题 1 分 全班 得 3 分 2 分 1 分 0 分的学生所占比例分别为 30 40 20 10 若全班共有 30 人 则全班同学的平均得 分是 1 9 分 0 060 0 056 0 040 0 034 0 组距 频率 体重体重 kg 455055 60 65 70 0 010 第 第 8 8 8 8 题图 题图 4 13 某高校有甲 乙两个数学建模兴趣班 其中甲班有 40 人 乙班 50 人 现分析两 个班的一次考试成绩 算得甲班的平均分为 90 分 乙班的平均成绩是 81 分 则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 85 分 14 样本 101 98 102 100 99 的标准差为 2 15 已知一组数a 0 1 2 3 的平均值为 1 则样本方差为2 16 为从甲 乙两名运动员中选拔一人参加 2010 年广州亚运会跳水项目 对甲 乙两名运动员进行培训 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机 抽取 6 次 得出茎叶图如图所示 从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑 你认为 选派哪名运动员合适 提示 85x甲 85x乙 2 133 3 s甲 2 139 3 s乙应选派甲 三三 统计案例统计案例 2 2 n adbc K ab cdac bd 临界值表如下 P K 2 k0 0 500 400 250 150 10 0 050 02 5 0 0100 00 5 0 001 k00 4550 708 1 32 3 2 0722 706 3 8415 02 4 6 6357 87 9 10 82 8 1 下列各关系中是相关关系的是 C 路程与时间 速度一定 的关系 加速度与力的关系 产品成本与产量 的关系 圆周长与圆面积的关系 广告费支出与销售额的关系 A B C D 2 工人月工资 y 元 依劳动生产率 x 千元 变化的回归方程为y 50 80 x 下列 判断正确的是 B A 劳动生产率为 1000 元时 工资为 130 元 B 劳动生产率提高 1000 元时 工资提高 80 元 C 劳动生产率提高 1000 元时 工资提高 130 元 D 当月工资 250 元时 劳动生产率为 2000 元 3 2011 年高考山东卷 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 5 根据上表可得回归方程y b x a 中的b 为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时 销售额为 B A 63 6 万元B 65 5 万元C 67 7 万元D 72 0 万元 4 已知x y之间的一组数据如下 则线性回归方程bxay 所表示 的直线必经过点 3 5 2 5 为研究某新药的疗效 给 50 名患者服用此药 跟踪调查后得下表中的数据 无效有效总计 男性患者153550 女性患者64450 总计2179100 设H0 服用此药的效果与患者的性别无关 则K 2的观测值 k 4 882 从而得出结论 服用此药的效果与患者的性别有关 这种判断出错的可能性为 0 05 6 一台机器由于使用时间较长 生产的零件有一些会缺损 按不同转速生产出 来的零件有缺损的统计数据如下表 转速x 转 秒 1614128 每小时生产缺损零件数y 件 11985 1 作出散点图 2 如果y与x线性相关 求出回归直线方程 3 若实际生产中 允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个 那么 机器的运转速度应控制在什么范围 提示 2 x 12 5 y 8 25 44 2 11 438 660 iii ii x yx 4 1 4 2 2 1 4 5 ii i i i x yxy b xbx 54 25aybx 线性回归方程为 554 25yx 3 1012 85yx 由得 所以运转速度应控制在 12 转 秒内 广告费用x 万元 4235 销售额y 万元 49263954 x0123 y8264 6 7 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关 对本班50 人进行了问卷调查得到了 如下的列联表 喜爱打篮球不喜爱打篮球合 计 男生20525 女生1015 合计302050 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 3 5 1 请将上面的列联表补充完整 2 是否有 99 5 的把握认为喜爱打篮球与性别有关 说明你的理由 提示 8 337 879 99 5 k 有的把握 四四 概率概率 1 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球 则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 D A 1 10 B 3 10 C 3 5 D 9 10 2 某商场在春节举行抽奖促销活动 规则是 从装有编为0 1 2 3四个小 球的抽奖箱中同时抽出两个小球 两个小球号码相加之和等于5中一等奖 等 于4中二等奖 等于3中三等奖 则中奖的概率是 B A 1 3 B 2 3 C 1 4 D 3 4 3 记集合 22 16Ax yxy 和集合 40 0 0Bx yxyxy 表 示的平面区域分别为 12 若在区域 1 内任取一点 M x y 则点 M 落在区域 2 内的概率为 A A 1 2 B 1 C 1 4 D 2 4 4 甲 乙两队进行足球比赛 若两队战平的概率是1 4 乙队胜的概率是 1 3 则甲 不输的概率是 2 3 5 从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中每次任取 1 件 每次取出后再放回 连续取两次 则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是 4 9 7 6 在区间 0 1 内任取两个实数 则这两个实数之和小于0 8的概率是 8 25 7 在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机选一点 M 则点 M 到点 D 的距离小于正方形 的边长的概率是 4 8 已知集合 2 0 1 3 A 在平面直角坐标系中 点 M 的坐标 x y满足 xA yA 1 请列出点 M 的所有坐标 2 求点 M 不在y轴上的概率 3 求点 M 正好落在区域 50 0 0 xy x y 上的概率 提示 1 基本事件有 16 个 2 2 2 0 2 1 2 3 0 2 0 0 0 1 0 3 1 2 1 0 1 1 1 3 3 2 3 0 3 1 3 3 2 3 4 P 3 3 16 P 9 已知集合 2 230Ax xx 2 3 0Bx xx 1 在区间 3 3 上任取一个实数x 求 xAB 的概率 2 设 a b为有序实数对 其中a是从集合A中任取的一个整数 b是从集 合B中任取的一个整数 求 abAB 的概率 1 由已知 31Axx 23Bxx 2 分 设事件 xAB 的概率为 1 P 这是一个几何概型 则 1 31 62 P 5 分 2 因为 a bZ 且 aA bB 所以 2 1 0a 1 0 1 2b 基本事件由下表列出 共 12 个 ab 共有 12 个结果 即 12 个基本事件 1 2 3 4 0 1 2 3 1 0 1 2 9 分 又因为 3 3AB 设事件E为 abAB 则事件E中包含 9 个基本事件 11 分 8 事件E的概率 93 124 P E 12 分 10 袋子中放有大小和形状相同的小球若干个 其中标号为 0 的小球 1 个 标号 为 1 的小球 1 个 标号为 2 的小球n个 已知从袋子中随机抽取 1 个小球 取到 标号是 2 的小球的概率是1 2 1 求n的值 2 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球 记第一次取出的小球标号为a 第 二次取出的小球标号为b 记事件A表示 a b 2 求事件A的概率 1 由题意可知 n 1 1 n 1 2 解得 n 2 2 不放回地随机抽取 2 个小球的所有等可能基本事件为 0 1 0 21 0 22 1 0 1 21 1 22 21 0 21 1 21 22 22 0 22 1 22 21 共 12 个 事件A包含的基本事件为 0 21 0 22 21 0 22 0 共 4 个 P A 4 12 1 3 11 箱子中装有 6 张卡片 分别写有 1 到 6 这 6 个整数 从箱子中任意取出一张 卡片 记下它的读数x 然后放回箱子 第二次再从箱子中取出一张卡片 记下 它的读数y 试求 1 xy 是 5 的倍数的概率 2 x y 是 3 的倍数的概率 3 x y中至少有一个 5 或 6 的概率 提示 共有 36 个基本事件 1 7 36 P 2 205 369 P 3 205 369 P 12 某校一个甲类班 x 名学生在 2012 年某次数学测试中 成绩全部介于 90 分与 140 分之间 将测试结果按如下方式分成五组 第一组 90 100 第二组 100 110 第五组 130 140 下表是按上述分组方法得到的频率分布表 9 O O O O 19191919 18181818 17171717 16161616 15151515 14141414 13131313 0 0 0 0 06060606 0 0 0 0 08080808 0 0 0 0 16161616 0 0 0 0 32323232 0 0 0 0 38383838 1 求 x 及分布表中 m n t 的值 2 设 a b 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩 求事件 1010ab 的概率 提示 1 m 2 n 14 t 0 2 2 基本事件有 10 个 列举略 42 105 P 13 某班 50 名学生在一次百米测试中 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间 将测试 结果按如下方式分成五组 每一组 14141414 13131313 第二组 15151515 14141414 第五组 18181818 17171717 右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 1 若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为 良好 求该班在这次百米测试中成绩良好的人数 2 设m m m m n n n n表示该班某两位同学的百米 测试成绩 且已知 18181818 17171717 14141414 13131313 n n n nm m m m 求事件 1mn 的概率 由直方图知 成绩在 16161616 14141414内的人数为 2727272738383838 0 0 0 05050505016161616 0 0 0 050505050 人 所以该班成绩良好的人数为 27 人 3 分 由直方图知 成绩在 14141414 13131313的人数为3 3 3 306060606 0 0 0 050505050 人 设为x x x x y y y y z z z z 成绩在 18181818 17171717的人数为4 4 4 408080808 0 0 0 050505050 人 设为A A A A B B B B C C C C D D D D 若n n n nm m m m 同时在 14141414 13131313或 18181818 17171717内时 若 14141414 13131313 n n n nm m m m时 有yzyzyzyzxzxzxzxzxyxyxyxy 3 种情况 若 18181818 17171717 n n n nm m m m时 有CDCDCDCDBDBDBDBDBCBCBCBCADADADADACACACACABABABAB 6 种情况 共有 9 种情况 9 分 所以基本事件总数为 21 种 记事件 1mn 为事件 E 则 事件 E 所包含的基本事件个数有 12 种 P E 93 217 即事件 1mn 所以 两组技工的总体水平相同 甲组技工的技术水平差异 比乙组大 6 分 记该车间 质量合格 为事件 A 则从甲 乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个 数的基本事件为 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 25 种 8 分 事件 A 包含的基本事件为 4 9 5 8 5 9 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 17 种 10 分 所以 25 17 AP 11 分 答 即该车间 质量合格 的概率为 25 17 12 分 15 设平面向量a a a am m 1 b b b bn 2 n 其中m n 1 2 3 4 1 请列出有序数组 m n 的所有可能结果 2 记 使得a a a am a a a am b b b bn 成立的 m n 为事件A 求事件A发生的概率 1 有序数组 m n 的所有可能结果为 11 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共 16 个 2 由a a a am a a a am b b b bn 得 a a a am a a a am b b b bn m m 2 1 1 n m2 2m 1 n 0 即n m 1 2 由于m n 1 2 3 4 故事件A包含的基本事件为 2 1 3 4 共 2 个 又基本事件 的总数为 16 故所求的概率为P A 2 16 1 8 16 已知向量a a a a 2 1 b b b b x y 若x 1 0 1 2 y 1 0 1 求向量a a a a b b b b 的概率 设 a a a a b b b b 为事件A 由a a a a b b b b 得x 2y 基本事件空间为 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 2 1 共包含 12 个基本事件 其中A 0 0 2 1 包含 2 个基本事件 则P A 2 12 1 6 即向量 a a a a b b b b的概率为1 6