第二册(下) 第九章直线、平面、简单几何体A版 单元测评：夹角与距离.doc

或单元检测（三） 夹角与距离（时间90分钟，赋分100分）第卷（选择题 共36分）一、选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分）1.能够证明直线a与平面M垂直的条件是(、是平面,b是直线)( )A.ab,bM B.ab,bMC.=a,M D.M,M=b,a,且ab答案:D解析:若ab,bM,则aM或aM或a与M斜交或bM.A错.若ab,bM,则aM或aM,B错.若=a,M,则aM或aM或aM.C错.D正确.此命题为面面垂直的性质定理,即如果两个平面垂直,在其中一个面内作它们交线的垂线,则此直线必与另一个平面垂直.2.已知点A、B到平面的距离分别是40和70,P为AB上一点,且APPB=37,则P到平面的距离是( )A.49 B.9 C.49或7 D.7答案:C解析:当A、B在平面的同一侧时，设A、B在平面上的射影为A、B，则有AA、BB均垂直于，则AABB，A、A、B、B共面过点P作PHAB，PHAA.PH平面.又A1A=40，BB=70，APPB=37，PH=49.当A、B在平面的异侧时，同理,可求P到平面的距离为73.若AB是平面的斜线,CB是AB在上的射影,l是内任意一条直线,设ABC=1,AB与l所成的角为2,(0290),那么( )A.12 B.12 C.1=2 D.12答案:D解析:由斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角可知选D.4.用一个平面截正方体一角,所得截面一定是( )A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.都有可能答案:A解析:如图,A1G=a,A1E=b,A1F=c,则EFG三边长分别为EF2=b2+c2,EG2=b2+a2,FG2=c2+a2,cosEGF=0.EGF为锐角.同理,EFG、FEG为锐角,EFG为锐角三角形.5.(2006高考天津卷,文7)若l为一条直线，、为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：,;,;l,l.其中正确的命题有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案:C解析:的反例如图,此时.6.在空间四边形ABCD中,已知二面角A-BC-D,A-CD-B,A-BD-C都相等,则A点在平面BCD上的射影是BCD的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心答案:A解析:由二面角A-BC-D、A-CD-B、A-BD-C都相等，得A在平面BCD上的射影到BCD上的三边距离相等.因此,A在平面BCD上的射影为BCD的内心7.设二面角-AB-面上一点D,DP在内与AB成45,与平面成30角,则二面角-AB-的度数是( )A.15 B.30 C.45 D.60答案:C解析:设DP与AB的交点为P,过D作DO于O,则DPB=45,DPO=30.作DQAB于Q,连结OQ,则DQO为二面角的平面角.DO=DP,DQ=DP,sinDQO=,DQO=45.8.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为和,则+( )A.90 B.90 C.90 D.无法确定答案:A解析:如图,过A、B分别作交线EF的垂线,垂足分别为E、F,连结BE、AF.,BAF、ABE分别为AB与、所成的角.BEBF,cos=sin,即cossin=cos(90-).90-,即+90.9.在长方体ABCDA1B1C1D1中,若AB=BC=a,AA1=2a,那么A点到直线A1C的距离等于( )A.a B.a C. a D.a答案:C解析:如图,AC=,AA1=2a,A1C=,在RtA1AC中,过点A作AMA1C,M为垂足,由AMA1C=AA1AC,得AM=.10.(2006四川成都二模,7)已知m、n为两条不同的直线,、为两个不同的平面,且m,n,则下列命题中的假命题是( )A.若mn,则 B.若,则mnC.若、相交,则m、n相交 D.若m、n相交,则、相交答案:C解析:A中,mn,m,n,m.A选项正确.B中,mn.B选项正确,C中,m,n,与相交,则m与n可能平行,也可能异面,不正确.D中,m与n相交,则与必相交,D选项正确.11.直线a平面,a到的距离为1,则到a的距离与平面的距离都等于的点的集合是( )A.一条直线 B.一个平面 C.两条平行直线 D.两个平面答案:C解析:这两条直线在距a为的平面上,分布在a在该平面上的射影的两侧.12.一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法:单向倾斜;双向倾斜;四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3,若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则( )A.P3P2P1 B.P3P2=P1 C.P3=P2P1 D.P3=P2=P1答案:D解析:由S底=S侧cos,可得P1=P2,而P3=2()=.又2(S1+S2)=S底,P1=P2=P3.第卷（非选择题 共64分）二、填空题（本大题共4小题,每小题4分,共16分）13.矩形ABCD与矩形ADEF互相垂直,P为AE上一点,AP=2,AB=2,EAD=30,一只蚂蚁欲从P点爬到B点,则蚂蚁可走的最短距离是_.答案:解析:设AG=x，蚂蚁走的路程为y.显然y=PG+BG,且在APG中，PG2=AG2+AP2-2APAGcos30.在RtABG中，BG2=AG2+AB2.故y=.将等式右边看作点(x,0)分别到点(，1)和(0，-2)的距离之和，则当三点M、P、G共线时，ymin=MN=2.故最短距离为2.14.已知异面直线a、b的公垂线段AB的长为10 cm,点Aa,且AM=5 cm,如果a、b所成的角为60,则点M到直线b的距离为_.答案: 19解析:如图,设过b且与a平行的平面为,AB为a、b的公垂线段,在内过B作BNa,则BN与b成60角,作MNBN于N,则MN,在内过N作CNb于C,连结MC,由三垂线定理知MCb.MC即为点M到b的距离.在RtBCN中,NC=BN.sin60=,MC=.15.在空间四边形ABCD中,M、N分别是BC、AD的中点,则2MN与AB+CD的大小关系是_.答案:2MNAB+CD解析:如图,取AC中点为P,连结PM、PN,在ABC中,PMAB,在ACD中,PNCD,PM、PN不共线(否则ABCD与AB、CD异面矛盾),在PMN中,MNPM+PN,即2MNAB+CD.16.(2006江苏南通一模,17)在空间,关于角和距离,有下列命题:平面的斜线与平面所成的角是斜线与平面内所有直线所成角的最小角;二面角的平面角是过棱上任意一点在两个面内分别引射线所成的角;两条异面直线间的距离是指分别位于这两条直线上的两点间距离的最小值;分别位于两个平行平面内的两条直线间的距离等于这两个平面间的距离.其中正确命题的序号为_.(把你认为所有正确的命题的序号都填上)答案:解析:正确;应是与棱垂直的射线,不正确;正确;两平行平面间的距离与两平行直线间的距离概念不同,所以不正确.正确的命题序号为.三、解答题（本大题共4小题,共48分）17.(本小题满分10分)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为,求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解析:如图,取A1B1的中点E,连结C1E、AE.由正三棱柱性质得面A1B1C1面A1B1BA,交线是A1B1.又C1EA1B1,C1E面A1B1BA.C1AE为所求.AB=a,C1C=,RtC1EA中,C1E=,AE=a.tanC1AE=.C1AE=30.AC1与面ABB1A1所成的角为30.18.(本小题满分10分)长为2a的线段AB的两端点在直二面角-l-的两个面内,且与这两个面都成30角,求异面直线AB与l所成的角.解析:过A作ACl于C，过B作BDl于D，在内作BECD，连结BC.，AC.ABC为AB与所成的角，ABC=30.AB=2a，AC=a.同理,BD=a.BECD，EC=BD=a.在RtAEC中，AE=，lAC，lEC，l平面AEC.EB平面AEC.EBEA.sinABE=.EBl，ABE为AB与l所成的角.AB与l所成的角为45.19.(本小题满分14分)(2006高考江西卷,文20)如图,已知三棱锥OABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求O点到面ABC的距离;(2)求异面直线BE与AC所成的角;(3)求二面角E-AB-C的大小.解法一:(1)取BC的中点D,连结AD、OD.OB=OC,则ODBC、ADBC,BC面OAD.过O点作OHAD于H,则OH面ABC,OH的长就是所要求的距离.BC=,OD= .OAOB, OAOC,OA面OBC,则OAOD.AD=,在RtOAD中,有OH=.(另解:由V=SABCOH=OAOBOC=,知OH=)(2)取OA的中点M,连结EM、BM,则EMAC,BEM是异面直线BE与AC所成的角.求得EM=AC=,BE=,BM=.cosBEM=,BEM=arccos.(3)连结CH并延长交AB于F,连结OF、EF.OC面OAB,OCAB.又OH面ABC,CFAB,EFAB.则EFC就是所求二面角的平面角.作EGCF于G,则EG=OH=.在RtOAB中,OF=,在RtOEF中,EF=,sinEFG=EFG=arcsin (或表示为arccos).解法二:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1知n1=2x-z=0;由n1知n1=2y-z=0.取n1=(1,1,2),则点O到面ABC的距离为d=.(2) =(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),=(0,2,-1).cos,=,所以异面直线BE与AC所成的角为arccos.(3)设平面EAB的法向量为n=(x,y,z),则由n知n=2x-z=0;由n知n=2x-y=0.取n=(1,2,2).由(1)知平面ABC的法向量为n1=(1,1,2).cosn,n1=,结合图形可知,二面角EABC的大小为arccos.20.(本小题满分14分) (2006高考福建卷,理18文19)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=.(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的大小;(3)求点E到平面ACD的距离.解法一:(1)证明:连结OC.BO=DO,AB=AD,AOBD.BO=DO,BC=CD,COBD.在AOC中,由已知可得AO=1,CO=,而AC=2,AO2+CO2=AC2.AOC=90,即AOOC.BDOC=O,AO平面BCD. (2)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知MEAB,OEDC.直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在OME中,EM=AB=,OE=DC=1,OM是RtAOC斜边AC上的中线,OM=AC=1.cosOEM=.异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.(3)解:设点E到平面ACD的距离为h.VEACD=VACDE,hSACD=AOSCDE.在ACD中,CA=CD=2,AD=,SACD=.而AO=1