化归法在数学解题中的应用.pdf

第4 卷第3 期 2 0 0 2 年9 月 宁波教育学院学报 J O I 玳N A I 0 FN I N G B O 矾趼 胍o F U N V 0 1 4N 0 3 S 印 2 0 0 2 化归法在数学解题中的应用 毛欣辉 浙江广播电视大学工商学院 浙江宁波3 1 5 0 1 6 摘要 善于运用化归 合理使用化归 能简捷地解决数学问题 并使解题成为富有特色的益智活动 关键词 数学 问题 化归法 中图分类号 0 1 2 4 2文献标识码 A文章编号 1 0 0 9 2 5 6 0 2 0 0 2 0 3 0 0 3 5 一0 3 化归法是数学解题的一种重要方法 所谓 化归 就是在解决问题时 将原问题进行变形 由未知 变已知 由难变易 由复杂变简单 最终归结为我们熟悉的 或易于解决的 或已经解决的问题 它的一 般模式为 显然 化归原则的关键在于问题的转化 厂丽 面 一厂百可 数学中实现化归的方法是很多的 譬如一般问题向特 了丁一 了 一 殊问题的化归 代数问题向几何问题的化归 代数问题向三厂丽 i 卜厂丽习 角函数问题的化归 实际问题向数学模型的化归等 以下就一一 阐述上述四种化归的思想方法和作用 一 一般问题向特殊问题的化归 从一般问题向特殊问题的化归 体现了以退求进的思想 从一般退到特殊 从复杂退到简单 从抽象 退到具体 从整体退到部分 从较强的结论退到较弱的结论 从高维退到低维 先解决特殊性 再归纳 联 想 发现一般性 例1已知z i O i 1 2 以 n 且菇1 戈2 以 菇 1 求证 1 i i 以 石s 厶 引 分析先从特殊情形人手 探求证明方法 若石1 o z 2 兰o 且菇1 菇2 1 能否得出l 石1 z 2 2 7 由2 i 瓦s 茗1 戈2 1 号 曼2 乏瓦s1 1 2 乏瓦 菇1 菇2 曼2 专1 2 2j 1 冬 s 垣 证明 因为o 2 佤 兢 巧 i 1 2 A 凡 1 2 以 凡 所以 os 2 磊s n 一1 n 一1 1 f 曼 蔓n I 1 收稿日期 2 0 0 1 1 2 一l l 作者简介 毛欣辉 1 9 6 1 一 男 浙江宁波人 浙江电大工商学院讲师 3 5 万方数据 宁波教育学院学报 2 0 吃年第3 期 总第1 3 期 故 即 1s 厄 2s 拓 l 即得 l 冬 s 二 代数问题向几何问题的化归 它是根据已知条件来构造几何图形的一种数学方法 使得问题在几何形式下简捷解决 例2 已知戈 z 为正数 且彬 菇 石 1 求表达式 茗 y y 的最小值 解构作右图 A B C 其中三边长分别为 口 石 6 z c z 菇 则其面积为 s 以面 面万 砑同 以i 巧了万芴 1 其中p 坠警 从而得到 茗 口6 盎 刍 X y C 其最小值为2 当且仅当么C 9 0 P 时取到 亦即 菇 y 2 y z 2 三 戈 2 专y 戈 z 泓 时 戈 z 取得最小值2 三 代数问题向三角函数问题的化归 它是根据代数式的形状 结构 对照已知的三角函数公式或关系 将问题转化 使得问题在三角函数 形式下简捷解决 例3 求证 任何十三个数钆 五 1 2 以 1 3 其中必有两个数茗 巧 使得o 子 去 2 一拈 分析注意到不等式中的筏 取值范围与正切函数的取值范围一致 且结构又与两角差的正切 公式相吻合 故可对 作三角代换 证明 设吼 一号 号 且令五 细氓 露 1 2 以 1 3 现把区间 一号 号 分成十二等 分 那么每个小区间的长度均为磊 由抽屉原理可知 至少有两个数B 和仇落在同一个小区间内 设口 岛 则 o 岛一仇 南 于是o t 帆 g 一仇 锚 c 口n 磊 2 一以 因此o 譬 2 一以 L i t 四 实际问题向数学模型的化归 数学模型是从现实世界中抽象出来的 是对实际问题的深刻 全面和真实反映 通过构造数学模型 把实际问题转化为数学问题 使问题得以解决 欧拉的七桥问题就是很好的例证 他把七桥问题转化为 3 6 一厩 雌 一 万方数据 毛欣辉 化归法在数学解题中的应用 一笔画问题 不仅解决了实际问题 当时的难题 更是开创了数学中的新兴学科 图论和拓扑学 这 样的例子还有很多 不再一一例举 综上可见 化归的实质就是对所要解决的问题进行有目的地转化 切忌盲目选择化归方向与方法 同时 在解题过程中应保持一定的灵活性 不要仅仅局限于某一途径 应在各种可能的途径中进行合理 的选择 最后需指出的是 化归并非是数学解题中的万能之法 只有充分 合理 准确地使用数学解题方 法 才能更好地解决数学问题 参考文献 1 罗增儒 数学竞赛导论 M 西安 陕西师范大学出版社 2 0 0 0 2 6 2 2 殷堰工 数学解题策略精编 M 上海 上海科技教育出版社 1 9 9 4 6 o nt l 地A p p H c a t i o no fM e t h o do fI n d u c t i o n i nM a t h e m a t i c sP r o b l e mS 0 l n g M A 0X i l l h u i 风砌恤旷 埘矗嘲吨以硼d 伤删n 毗fd 由d 以s 删幻即 历撇w 毋 甚q 咖3 1 5 0 1 6 酗 A b s 柏c t T ba p p l y 甜l da d 叩tt h eI n e t I l o do fh l d u c t i o nu n d e rp m p e rc i r c 啪s t a I l c e s 埘Ue n a b ku st os o l v e 瑚t l l e 删一 c a lp m b l 黜n sn l o r ee m c i e n t l ya n dt 0m a k et l ep r o c e d u r em o r ec h 踟c t e r i s t i ca n d 删i c i a l 协i I l t e U i g e l l c ei I l l p r o V e n l e n t s K 呵w 叫 d s m a t h e m a t i c s p I o b l e m I n e 出o do f 协d l l c 妇l 责任编辑周信德 上接第2 7 页 参考文献 1 郁达夫游记 M 上海 上海杂志公司 1 9 4 8 2 郁达夫独语 M 长沙 岳麓书社 1 9 9 9 7 4 7 5 3 歌德 王元化译 文学风格论 M 上海 上海译文出版社 1 9 8 2 4 俞元桂 中国现代散文理论 M 南宁 广西人民出版社 1 9 8 4 4 4 铲 4 4 6 P r o b i n gP e r s o n a lW o r d sa b o u tT r a V e lN o t e sb yY uD a f h L 删Y l n g 历巧施n g 积加zc 姆矿z 硫如 肋咖3 1 5 0 1 0 饥打 A b s 咖c t T I 甜e lN o t e sb yY hD a f uf u l l ys h o wh o s t sf r e e d b mi nal a l 咎d e g r e eb ym e a I l so fs e n t i I n e n t a l s u b j e c t i V e 锄d 蝴t i r 培p e r s o n a lw o I d s K e yw o r d s p e r s o n a lw o r d s s e n t i n l e n t 咖e ln o t e s 责任编辑常勤毅 3 7 万方数据 化归法在数学解题中的应用化归法在数学解题中的应用 作者