谈无理数的教学难点及突破.doc

内容摘要:决定数学教学效果的首要因素,基础因素和贯穿始终的因素就是:概念要明确.我们在无理数的概念教学,与有理数概念之间的关系及概念的定义方式作一些探讨,这为数学概念的教学奠定了理论上的基础.在概念教学中,不注意揭示概念的形成过程,只注重概念的应用.对于无理数概念的定义,并没有按照问题情境-建立模型-求解,应用和拓展的教材编排体系去指导学生进行积极地探索,而是按照定义+例题的成果教学模式进行,这样只能强塞给学生定义与方法,而删去了从问题到结论和方法之间的精彩过程.关键词:无理数概念,定义教学,能力培养.谈无理数的教学难点及突破南京市江宁区东善桥初级中学 陈以宏 无理数的发现引发了第一次数学危机，从而也推动了数学的发展，这在数学发展史上起到了里程碑的作用。无理数被人们接受尚且经历了一个长时间的过程，若让初中学生接受，必将成为教师教学中的难点。现就无理数难在何处？教学中如何突破这一难点？谈一谈自己的看法。 一、无理数的两种定义之间的相互转化难使学生对无理数的判断缺乏理论支持 从数学知识的发展过程看无理数的定义：形式在无理数未被发现之前，人们认为所有的数都可以写成q/p（p、q为互质正整数）形式的数，即有理数。几何解释是长为p、 q的两条线段总是可以公度的（即用长为p、q的两条线段中的较短线段去量较长线段，量得整数倍后如有余线段，则用余线段去量p、q中较短线段，如此反复最终总会量尽的）。 后来人们从几何的角度发现等腰直角三角形的直角边和斜边是不可公度的：即在ABC中，ACB=90，BC=AC，在AB上截取BD=BC，过D作DEAB交AC于E，可知DE=CE=AD，所以BC与AB 的公度问题转化为CE与AC 的公度问题，即DE与AE的公度问题，如此反复无穷无尽。也就是AB/AC不能表示为q/p（p、q为互质正整数）形式。所以就把不能表示为q/p（p、q为互质正整数）形式的数叫无理数，本文称之为第一定义。特殊情况当AC=1时可知AB=，即AB/AC=不能表示为q/p（p、q为互质正整数）的数，所以是无理数。 从数学教学的角度看无理数的定义：人们知道有理数可以转化为有限小数或无限循环小数（反之亦然）。那么，无限不循环小数肯定不是有理数了，就叫做无理数吧，本文称之为第二定义。 两种定义之间的相互转化：是运用推理的方式实现的，前提是实数都可以转化为小数。q/p（p、q为互质正整数）形式的数可以转化为有限小数和无限循环小数。所以非q/p（p、q为互质正整数）形式的数就与无限不循环小数等价。 而新课标人教版教材在未学勾股定理的前提下，用加逼思想来说是无限不循环小数（其实这很难说服学生），从而得到是无理数，学生接受起来很困难。 为此，不妨补充无理数的第一定义，并对是非q/p（p、q为互质正整数）形式的数进行验证，可使学生容易接受。 二、教材中有许多知识是学生现阶段无法验证的，只能简单说理让其承认 如有理数与 有限小数和无限循环小数 等价，任一有理数都可以在数轴上找到一个点表示它等。有理数与 有限小数和无限循环小数 等价这一事实可分为如下几步进行推理（1）把3、-3/ 5、47/8、9/11、11/9、5/9化成小数的形式。（2）你发现了什么？能否把你的发现进行推广？（3）再举几个例子验证一下你的推广？ 三、学生知道的无理数的例子太少，故很难建立起无理数有无限多个的认识 为此，可以向学生讲授形如、（a为有理数）等形式的数是无理数（可让学生下课后证明），这样就可以知道无理数有无限多个了. 总之，教学中教师感觉到难教的地方，肯定也会成为学生学习中困惑的地方。教师在备课时一定要在学生原有基础上，帮助学生建立知识系统，学生才能实现嵌入学习，从而提高学习效率。 四.数学概念教学的宏观策略为了克服目前在数学概念教学中存在的上述问题,我们可以从以下两个方面来加强数学概念的教学. 1.把概念教学贯穿于数学教学的全过程对课程内容的学习,强调学生的数学活动,发展学生的数感与分析能力.相应的数学课程标准解读认为数学概念是学生学习的主要知识,从课程论的研究观点看,数学概念是构成数学知识的基本结构单位,正是因为这些数学概念的存在,才形成了数学教材的知识结构,这个结构是数学应用与学生进一步学习的基础.学生只有建立起了正确明晰的概念,才能牢固的掌握基础知识.这就决定了在新课的讲授过程中一刻也不能离开数学概念,一个个的数学知识点就是靠概念串联在一起的,所以从数学教学的形式和内容上看, 数学概念教学始终与课堂教学并存.同时,从学生思维能力的发展来看,概念也起到重要的作用,因为概念是思维的单位元,是学生在学习数学中赖以进行思维的基础,数学思维的主要形式和活动过程是数学概念,判断和推理,而概念是思维活动的核心与基础, 概念教学是培养学生思维能力的起始阶段和基本出发点,学生在深入理解数学概念的过程中能使自己的抽象思维得到发展,可见, 概念教学的质量,直接影响到学生思维能力的发展,所以,我们要把数学概念的教学融入到教学的全过程中去.2.注重数学概念的过程教学我们一直强调,数学教学应重视过程教学,只有揭示知识的形成过程才能从源头上强化知识与智力的内在联系,引发学生探索发现的意识和创新思想的形成,从而促进学生思维的发展和数学能力的提高,一个数学概念的教学就是一个完整的教学过程,即从学生实际经验的肯定例证中,从大量具体例子出发,以归纳的方法概括出一类事物的本质属性,这种获得概念的方式称为概念形成,向学生展示定义,利用原有认知结构中的有关知识理解新概念,这种方式称为概念同化,可以说概念形成主要依赖的是对具体事物的抽象概括,而概念同化主要依赖的是学生对经验的概括和新旧知识的联系,所以对于一些抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方式.总而言之,在无理数的概念课堂教学中,如果能注意到对概念形成过程的教学,突破教学上的难点,让学生理解起来不感到有困难,也就目的达成.参考文献1 陆建中. 初中新课程课堂教学策略M. 北京:科学出版社,2003.2 瑜文琪. 要注重概念和知识的发展过程的教学J. 中学数学教学参考,20009(12):27.3 凃荣豹. 数学学习与数学迁移J. 数学教育学报.2006,15(4)4 J L Martin.教