高三数学基础专题复习——函数的图像及抽象函数.doc

函数的图象及抽象函数一、考点回顾1函数图象：图象作法：描点法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换：)，左“+”右“”； )上“+”下“”；对称变换) )；) ； )；翻转变换：（保正去负，左右翻折（上下翻折）)：右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；)：上不动，下向上翻（|在下面无图象）；伸缩变换)2抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：（1）借鉴模型函数进行类比。（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。3. 函数的对称性。满足条件的函数的图象关于直线对称。因为关于点的对称的点是，所以曲线关于点的对称曲线的方程为。提醒：求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题。4. 函数的周期性。定义：“函数满足，则是周期为的周期函数”。函数满足，则是周期为2的周期函数；若恒成立，则；若恒成立，则.（4）若恒成立，则.一、中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1、(为常数）2、=（0且1）3、 (0且1)4、(为常数）5、=一、以正比例函数为模型。若f(x)为(-，+）上的单调函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)背景函数为正比例函数。例1设f(x)(xR）为奇函数，f(1)=f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=()(A)0（B）1（C）（D）5分析：由于f(x+2)=f(x)+f(2),联想函数f(x)=kx,f(1)= ,k=,f(x)=x.f(5)= ,有了背景函数通过赋值完成，解:令x=-1, 则f(1)=f(-1)+f(2)由于f(x)为奇函数, f(-1)=-f(1),即f(1)=-f(1)+f(2). f(2)=1。令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=1+=，令x=3,得f(5)=f(2)+f(3)= 。练习：1，已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_。2， 已知函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，求函数在区间-2，1上的值域。二、以正比例函数为模型。例2，已知函数满足，若，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4=。猜测：为周期函数且周期为41=4=-(+4)=是以4为周期的周期函数又f(2)=2004=-f(2005)=-练习：已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值。 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是 ， 所以,故是以8为周期的周期函数，从而 三、以指数函数为模型设f(x)为(-,+ )上的单调函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y)，则f(x)的背景函数为指数函数。例3设f(x)定义域为R，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),同时f(1)=2,解不等式f(3x-x2)4.练习1，已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，1（1）当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=（0, 1），=10。当1时为单调增函数，且0时，1，0时，01；01时为单调减函数，且0时，1，0时，01。猜测： 为减函数，且当0时，01。（1）对于一切、R，且(0)0令=0，则(0)=1，现设0，则-0，f(-) 1又(0)=(-)= =1 = 101（2）设，、R，则0，()1且1， f(x)在R上为单调减函数四、以对数函数为模型若f(x)在（0，+）上是单调函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y),则f(x)背景函数为对数函数。例3，f(x)是定义在(0,+ )上的单调函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(2)=1,求f(x)+f(x-3)2的解集。分析：由已知想到对数函数f(x)=logax,由f(2)=1知a=2,则不等式转化为：log2x+log2(x-3) 2=log24,仿此可解。练习1，已知函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，（1）求(1)；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范围；分析与略解：由：想：（、R+）原型：（0，0）猜测：有(1)=0，(16)=2，（1）令=1，=4，则(4)=(14)=(1)+(4)(1)=0（2）(16)=(44)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在（0，+）上单调递增 （3，4（4）【例1】 已知函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=(1)求证：0； （4）若=9，试求的值。分析与简证：由，想：原型：（为常数（=）猜测：0，在（0，+）上为单调减函数，(1)对任意0，=)=0假设存在0，使=0，则对任意0=f(=0，这与已知矛盾故对任意0，均有0（2），0, (1)=1()=()=(1)=1 (3)、(0,+)，且，则1，()1， 即在（0，+）上为单调减函数。（4）(2)=，()=9 (2)()=1(2)=1=f(1)，而在(0，+)是单调减函数2=1 即=综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。三基础训练1函数的图象与直线交点的个数为 个。2. 对数函数和的图象如图所示，则a 、b的取值范围是( )A B C D3. 函数的图象大致为（ ）4. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）5讨论函数的图象与的图象的关系。6. 若，满足，则的奇偶性是_7若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_8. 设是上的奇函数，当时，则等于_9. 设函数对都满足,且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A0 B9 C12 D1810. 如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴；11，已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_。 分析：由知直线是函数图象的对称轴。 又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。12，已知定义在-2，2上的偶函数，f (x)在区间0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数m的取值范围13，设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(2013)的值。w.14，函数在定义域R内可导，若，且当时，设。则( )ABCD15，已知是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，则m的取值范围是（ ）ABCD16设定义域为R的函数都有反函数，且和的图象关于直线 对称，若，则=（ ）A、2008 B、2009 C、2007 D、200616，函数的图象是以原点为圆心，1为半径的两段圆弧，则不等式的解集为 （ ）ABCD17，若函数的定义域为（ ）A0，1BCD1，218定义在R上的函数的反函数为，且对于任