2016年考研数学一真题答案.pdf

更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 若反常积分 0 1 1 b a dx xx 收敛 则 11111111A abB abC aabD aab 且且且且 答案 C 解析 0 1 1 abdx xx 1 01 11 1 1 abab dxdx xxxx 1 0 1 pdx x 在 1p 时收敛 可知1a 而此时 1 bx 不影响 同理 11 11 1 1 1 bab a b dxdx xx x x 1 1 pdx x 1p 时收敛 而此时 1 1 b x 不影响 2 已知函数 21 1 ln 1 xx f x x x 则 f x的一个原函数是 22 22 1 11 1 ln1 1ln11 1 1 11 1 ln11 1ln11 1 xxxx A F xB F x xxxxxx xxxx C F xD F x xxxxxx 答案 D 解析 由已知可得 ln xCx F x xxCx 2 1 1 11 111 取C 1 0 故选 D 3 若 22 2222 11 11yxxyxx 是微分方程 yp x yq x 的两个解 则 q x 2 2 22 22 3131 11 xx AxxBxxCD xx 答案 A 解 析 yyx 2 12 2 1是 一 阶 齐 次 微 分 方 程 yp x y 0的 解 代 入 得 x p xx x 2 2 22 10 1 所 以 x p x x 2 1 根 据 解 的 性 质 得 yy 12 2 是 yp x yf x 的解 所以有 q xxx 2 31 4 已知函数 0 111 1 2 1 x x f x xn n nn 则 A 0 x 是 f x的第一类间断点 B 0 x 是 f x的第二类间断点 C f x在0 x 处连续但不可导 D f x在0 x 处可导 答案 D 解析 由于 lim x x f x 0 0 01 lim n n f n 1 0 01 1 故选 D 5 设 A B 是可逆矩阵 且 A 与 B 相似 则下列结论错误的是 A T A与 T B相似 B 1 A 与 1 B 相似 C T AA 与 T BB 相似 D 1 AA 与 1 BB 相似 答案 C 解析 此题是找错误的选项 由A与B相似可知 存在可逆矩阵 P使得 1 P APB 则 11 11111111 11111111 1 A 2 3 TTTTTTTT P APBP APBAB P APBP A PBABB PAAPP APP A PBBAABBD 故 不选 故 不选 故 不选 此外 在 C 中 对于 111 TT PAAPP APP A P 若 1 P AP B 则 1 TTTT P APB 而 1T P A P 未必等于 T B 故 C 符合题意 综上可知 C 为正确选项 6 设二次型 222 123123121323 444f x x xxxxx xx xx x 则 123 2f x x x 在空间直角坐标 下表示的二次曲面为 A 单叶双曲面 B 双叶双曲面 C 椭球面 D 柱面 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 3 答案 B 解析 对于二次型 222 123123121323 444f x x xxxxx xx xx x 其矩阵为 122 212 221 A 接下来由0EA 可得其特征值为 123 5 1 一正两负 因此其正惯性指数和负惯性 指数分别为 1 2 故二次型 123 f x x x的规范形为 222 123 fzzz 即 222 222 312 123 222 21 2 2 2 zzz zzz 对应的曲面为双叶双曲面 7 设随机变量 0 2 NX 记 2 XPp 则 A p随着 的增加而增加 B p随着 的增加而增加 C p随着 的增加而减少 D p随着 的增加而减少 答案 B 解析 2 X P XP 所以概率随着 的增大而增大 8 随机试验E有三种两两不相容的结果 321 AAA 且三种结果发生的概率均为 3 1 将试验E独立重复 做 2 次 X表示 2 次试验中结果 1 A发生的次数 Y表示 2 次试验中结果 2 A发生的次数 则X与Y的相 关系数为 解析 11 2 2 33 XBYB 24 39 EXEYDXDY 2 1 1 1 1 9 EXYP XY 所以 1 2 XY EXYEXEY DXDY 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 9 cos1 sin1ln lim 2 0 0 x dtttt x x 答案 2 1 解析 ln sin lim x xxx x 3 0 11 22 10 向量场 zkxyjizyxzyxA 的旋度 rotA 4 4 答案 1 1 0 y 解析 由旋度公式得 A RQPRQP roty yzzxxy 0 11 11 设函数 f u v可微 zz x y 有方程 xzyx f xz y 22 1确定 则 dz 0 1 答案 dydx2 解析 xxyx f xz y 22 1两边分别关于 x y求导得 xx yy zxzxf xz yx fxz yz xzyxfxz yzfxz y 2 1 2 12 121 12 将 xyz 011代入得 dzdxdy 0 1 2 12 设函数 2 1 arctan ax x xxf 且 10 f 则 a 答案 2 1 13 行列式 100 010 001 4321 答案 432 234 解析 4 1432 100 10100 010 01 4110 2 3 4 001 32 101 432 1 14 设 12 n x xx为来自总体 2 N 的简单随机样本 样本均值9 5x 参数 的置信度为 0 95 的双侧置信区间的置信上限为 10 8 则 的置信度为 0 95 的双侧置信区间为 答案 8 10 2 8 解析 0 0250 0250 0250 025 0 95 xu PuuP xuuxu nn n 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 5 因为 0 025 10 8xu n 所以 0 025 1 3 u n 所以置信下限 0 025 8 2xu n 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 10 分 已知平面区域 22 1 cos 22 Drr 计算二重积分 D xdxdy 答案 3 32 5 解析 2 2 3 cos12 2 2 2 2 2 cos12 3 coscos d r drrddxdyx D 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 432 cos 3 8 cos8cos8 coscos3cos3 3 8 ddd d 2 2 22 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 cossin3 3 8 3 sin sin8 2 2sin 4 sincos 3 8 sinsin18 2 12cos 8 d ddd 3 32 5 2sin2 3 32 4 2 2 2 d 16 本题满分 10 分 设函数 y x满足方程 20 yyky 其中01k 证明 反常积分 0 y x dx 收敛 若 0 1 0 1 yy 求 0 y x dx 的值 答案 k 3 解析 1 特 征 方 程 为 2 20rrk 由01k 可 知 特 征 方 程 有 两 个 不 相 同 的 特 征 根 1 2 244 11 2 k rk 且 1 2 0r 6 6 由二阶常系数齐次线性方程的求解可知 12 12 r xr x y xC eC e 12 12 00 r xr x y x dxC eC edx 12 12 00 r xr x C e dxC edx 12 12 12 lim1lim1 r xr x xx CC ee rr 由于 1 2 0r 12 0 12 CC y x dx rr 极限存在 故收敛 2 由 12 12 r xr x y xC eC e 0 1 0 1yy 可知 12 1 12 2 1 2 1 1 11 CC C rC r rk 解得 12 1 2 CC 代入 12 0 12 CC y x dx rr 可知 0 y x dx 1 k k 17 本题满分 10 分 设函数 f x y满足 2 21 x y f x y xe x 且 0 1 t fyyL 是从点 0 0 到 点 1 t的光滑曲线 计算曲线积分 t L f x yf x y I tdxdy xy 并求 I t的最小值 答案 3 解析 1 由 2 21 xy fxy xe x 可知 2 21 xy fxyxed x 22 2 yxx exed xed x 2 yx exey 2 xy xey 又 0 1fyy 可知 1yy 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 7 因此 2 1 x y f x yxey 2 1 x y f x y xe y 22 21 1 x yx y Lt I txedxxedy 2 21 x y Pxe 2 1 x y Qxe 2 21 x y P xe y 22 2 x yx y Q exe x PQ yx 因此 积分与路径无关 22 21 1 x yx y Lt I txedxxedy 1 22 00 21 1 t xy xe dxedy 222t etee 2 t te 2 2 t I tte 2 1 t I te 0I t 可知2t 有唯一驻点 2 t I te 2 10 I 因此2t 时 I t有最小值 2 2 2 22 13Ie 18 设有界区域 由平面222 zyx与三个坐标平面围成 为 整个表面的外侧 计算曲面积 分 zdxdyydzdxdydzxI321 2 8 8 答案 2 1 解析 2 1 23Ixdydzydzdxzdxdy 2 1 2 3PxQy Rz 由高斯公式可知 223Ixdxdydz 21xdxdydz 1 2 0 21 xy y x D dxdyxdz 2 2 2 xy D y xxxydxdy 11 2 2 00 2 2 x y dxxxxydy 1 2 19 本题满分 10 分 已知函数 f x可导 且 0 1f 1 0 2 fx 设数列 n x满足 1 1 2 nn xf xn 证明 I 级数 1 1 nn n xx 绝对收敛 II lim n n x 存在 且0lim2 n n x 证明 1 nn xf x 11 nnnn xxf xf x 1 nn fxx 1 1 2 nn xx 12 1 2 nn f xf x 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 9 显然 收敛 因此 绝对收敛 2 的前项和记为 易知 由第一问可知极限存在 因此存在 i 由已知 易知 不等式两边取极限 可知 即 ii 若 则 矛盾 iii 若 则由 可知 而 显然矛盾 综上 20 本题满分 11 分 设矩阵 当为何值时 方程无解 有唯一解 有无穷多解 答案 时 无解 时 有无穷多解 且时 有唯 一解 10 10 解析 20 本题满分 11 分 设矩阵 当为何值时 方程无解 有唯一解 有无穷多解 答案 时 无解 时 有无穷多解 且时 有唯 一解 解析 对的增广阵做初等变换 21 本题满分 11 分 已知矩阵 I 求 II 设 3 阶矩阵满足 记将分别表示为的 线性组合 答案 1 2 解析 利用相似对角化 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 11 由 可得的特征值为 故 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 设 由可得 对于 利用初等变换 可求出 故 由 于 故 因此 22 本题满分 11 分 设二维随机变量在区域上服从均匀分 布 令 12 12 I 写出的概率密度 II 问与是否相