数学建模综合实验缉私艇走私艇.doc

一.实验目的 本综合实验旨在考察及训练学生对微分方程建模及Matlb编程的灵活运用。通过本实验了解数学建模的基本思想，并熟练掌握用数学软件解决数学问题的方法。提高学生的综合能力。二.实验内容1、已知微分方程组 满足初始条件（1） 求上述微分方程组初值问题的特解(解析解)，并画出解函数的图形（2） 分别用ode23、ode45求上述微分方程组初值问题数值解(近似解)，求解区间为利用画图比较两种求解器之间的差异2、分别用 Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法求解微分方程初值问题的数值解(步长h取0.1)，求解范围为区间0,3 3、海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向15海里处有一艘走私船正以20海里/小时的速度向正北方向行驶，缉私艇立即以40 海里/小时的速度前往拦截。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上走私船的位置，求出追上的时间，画出航线图形，并通过改变速度等参数进行讨论。三. 实验方案（程序设计说明）第1题：使用 dsolve 函数、ode23、ode45求解器编程求解；第2题：利用 Euler 折线法和四阶 Runge-Kutta 法的递推公式编程求解；第3题：实验方案如下：(一)建立模型以时刻缉私艇位置为原点，正东方向为正轴方向，正北方向为正y轴方向建立直角坐标系，则缉私艇与走私船的初始距离，设缉私艇行驶的路程为，缉私艇航线任一点切线与轴正向夹角为，则有缉私艇：速度，初始位置， 时刻位置走私艇：速度，初始位置， 时刻位置。由题意有方程： (1)方程(1)即为缉私艇任意时刻位置的数学模型。，两边对求导并化简得： (2)而，故 (3)令，由(2)(3)得： (4)方程(4)即为缉私艇航线的数学模型。(二)模型求解令，代入(4)，积分并化简得：，取两边倒数有：，两式相加并化简：，积分并化简得：，其中。上式即为缉私艇的航线方程。由题意，缉私艇追上走私艇时，有：，按本题条件：，得：，即缉私艇在半小时后于点恰好追上走私艇。若取，得：，若取，得：，程序及运行结果见后文。四.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）第1题：M函数文件fun.mfunction xx=fun(t,x)xx=-x(1)-x(2); x(2)-x(1);程序文件prog1.mclear;syms x y tfprintf(特解为:n)x,y=dsolve(Dx+x+y=0,Dy+x-y=0,x(0)=1,y(0)=0,t)figure(1);ezplot(x,y,0,2);clear;figure(2);y0=1;0;t,xx=ode45(fun,0,2,y0); subplot(1,2,1);plot(xx(:,1),xx(:,2),r-,LineWidth,2);title(ode45)hold onclear;y0=1;0;t,xx=ode23(fun,0,2,y0); subplot(1,2,2);plot(xx(:,1),xx(:,2),b-,LineWidth,3);title(ode23)第2题：Euler折线法：prog2_1.mclearf=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+1; x=0; y=1;szj=x,y;for i=1:n-1 y=y+h*subs(f,x,y,x,y); x=x+h; szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),or-)Runge-Kutta 法：prog2_2.mclear;f=sym(y-exp(x)*cos(x);a=0; b=3; h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0; y=1; szj=x,y;for i=1:n-1 l1=subs(f,x,y,x,y); l2=subs(f,x,y,x+h/2,y+l1*h/2); l3=subs(f,x,y,x+h/2,y+l2*h/2); l4=subs(f,x,y,x+h,y+l3*h); y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6; x=x+h; szj=szj;x,y;endszjplot(szj(:,1),szj(:,2), dg-)第3题：解析法：prog3_1.mvz=20;a=15;x=0:0.05:15;hold on;vj=40;k=vz/vj;yj=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj,r-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:40,在(15,num2str(yj(length(yj),),追上走私艇,用时,num2str(yj(length(yj)/vz*60),分钟)vj1=30;k=vz/vj1;yj1=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj1,g-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:30,在(15,num2str(yj1(length(yj1),),追上走私艇,用时,num2str(yj1(length(yj1)/vz*60),分钟)vj2=50;k=vz/vj2;yj2=a/2*(a-x)./a).(1+k)/(1+k)-(a-x)./a).(1-k)/(1-k)+a*k/(1-k2);plot(x,yj2,b-,LineWidth,2)disp(缉私艇速度:50,在(15,num2str(yj2(length(yj2),),追上走私艇,用时,num2str(yj2(length(yj2)/vz*60),分钟)maxl=max(yj(length(yj),yj1(length(yj1),yj2(length(yj2);xz=15,15;yz=0,maxl;plot(15,yj(length(yj),yj1(length(yj1),yj2(length(yj2),rs,xz,yz,k-,LineWidth,2)legend(缉私艇速度:40,缉私艇速度:30,缉私艇速度:50,2)axis(0,16,0,maxl+1)数值法：jst.mfunction dx=jst(t,x,vz,vj,a)s=sqrt(a-x(1)2+(vz*t-x(2)2);dx=vj*(a-x(1)/s;vj*(vz*t-x(2)/s;prog3_2.mvz=20;vj=40;a=15;tf=a*vj/(vj2-vz2);ts=0:0.05:tf;x0=0,0;opt=odeset(reltol,1e-6,abstol,1e-9);t,x=ode45(jst,ts,x0,opt,vz,vj,a);tt=t(length(t);xt=x(length(x),1);yt=x(length(x),2);fprintf(缉私艇在%s小时后追上走私艇，坐标(%s,%s),num2str(tt),num2str(xt),num2str(yt)figure(1);plot(t,x,LineWidth,2);title(x(t),y(t)图);grid;gtext(x(t); gtext(y(t);figure(2);plot(x(:,1),x(:,2),LineWidth,2);title(y(x)图);grid;gtext(x);gtext(y);五程序运行结果第1题：特解为: x = 1/2*exp(-2(1/2)*t)+1/2*exp(2(1/2)*t)-1/4*2(1/2)*exp(2(1/2)*t)+1/4*2(1/2)*exp(-2(1/2)*t)y =-1/4*2(1/2)*exp(2(1/2)*t)+1/4*2(1/2)*exp(-2(1/2)*t)第2题：Euler折线法：7wilyes11收集 博客(与学习无关)：/u/1810231802szj = 0 1.0000 0.1000 1.0000 0.2000 0.9900 0.3000 0.9693 0.4000 0.9373 0.5000 0.8936 0.6000 0.8383 0.7000 0.7718 0.8000 0.6949 0.9000 0.6093 1.0000 0.5174 1.1000 0.4223 1.2000 0.3282 1.3000 0.2407 1.4000 0.1666 1.5000 0.1144 1.6000 0.0941 1.7000 0.1180 1.8000 0.2003 1.9000 0.3578 2.0000 0.6097 2.1000 0.9782 2.2000 1.4883 2.3000 2.1682 2.4000 3.0496 2.5000 4.1674 2.6000 5.5602 2.7000 7.2699 2.8000 9.3421 2.9000 11.8258 3.0000 14.7730Runge-Kutta 法：10wilyes11收集 博客(与学习无关)：/u/1810231802szj = 0 1.0000 0.1000 0.9948 0.2000 0.9787 0.3000 0.9509 0.4000 0.9109 0.5000 0.8583 0.6000 0.7933 0.7000 0.7165 0.8000 0.6290 0.9000 0.5329 1.0000 0.4309 1.1000 0.3268 1.2000 0.2256 1.3000 0.1337 1.4000 0.0590 1.5000 0.0112 1.6000 0.0021 1.7000 0.0456 1.8000 0.1582 1.9000 0.3590 2.0000 0.6702 2.1000 1.1171 2.2000 1.7283 2.3000 2.5364 2.4000 3.5774 2.5000 4.8916 2.6000 6.5231 2.7000 8.5204 2.8000 10.9359 2.9000 13.8260 3.0000 17.2510第3题：prog3_1.m（解析法）缉私艇速度:40,在(15,10)追上走私艇,用时30分钟缉私艇速度:30,在(15,18)追上走私艇,用时54分钟缉私艇速度:50,在(15,7.1429)追上走私艇,用时21.4286分钟prog3_2.m（数值法）六实验总结本综合