文科导数讲义.doc

体系构建导数导数专题一、导数的基本概念1.平均变化率和瞬时变化率（1）平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=（2）瞬时变化率：当时，此时的就叫做瞬时变化率2.导数的定义如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f(x)或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤： 求函数的增量=f（x+）f（x） 求平均变化率= 取极限，得导数f(x)=例1 在处可导，则 2 -1 例2已知f(x)在x=a处可导，且f(a)=b，求下列极限：（1）； （2）例3设f(x)= x|x|, 则f( 0)= 习题精炼：1. 在内的平均变化率为（ ）A3 B2 C1 D02. 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A BC D3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）A BC D4. 在附近的平均变化率是_5. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）从时间到时，物体的平均速度； 在时刻时该物体的瞬时速度； 当时间为时物体的速度； 从时间到时物体的平均速度6. 在 =1处的导数为（ ）A2 B2 C D17. 函数的图像是折线段ABC,其中A.B.C的坐标分别为,则 ， .8. 在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为,则运动员在1秒时的瞬时速度为 ,此时运动状态是 3.导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。例1：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0例2：求函数过点（1,1）的切线例3：已知直线与相切，求K的值例4：求在点和处的切线方程。4.导数的运算1 基本函数的导数公式: （C为常数） ; ; ; ; 例1：下列求导运算正确的是 ( B )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2：设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则f2005(x)( C )A B C D 2 导数的运算法则 若的导数都存在，则 ： 为常数）； 例1：求下列函数的导数（1） (2） 例2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：当x0时,0 ，即 当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)0故选D 习题精炼：1.已知曲线求 (1).曲线在P(1,1)处的切线方程. (2).曲线过点Q(1,0)的切线方程. (3).满足斜率为-的切线的方程.2.求在点和处的切线方程。3.【2012高考真题陕西理7】设函数，则（ ）A. 为的极大值点 B.为的极小值点C. 为的极大值点 D. 为的极小值点学4.【2012高考真题辽宁理12】若，则下列不等式恒成立的是(A) (B) (C) (D)5.【2012高考真题全国卷理10】已知函数yx-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或16.（福建理10）已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断： ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是ABCD7.（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为A B C D8.（全国文4）曲线在点（1,0）处的切线方程为 （A） （B） （C） （D）二、导数的应用（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有，则为常数。1.函数单调性（1） 简单函数单调性例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( ) 解析：由函数的图象可知：当时， 0，此时增当时，0，0，此时减当时，0，0，0，此时增故选C例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾若， ，也只有一个单调区间，矛盾若 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和，单调增区间为例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.（2） 含有参数的函数单调性例1：已知函数，其中 ()讨论的单调性；()求证：对，都有。（3） 定区间上函数单调性例1：已知，若函数在（-1,1）内是减函数，求的范围。例2：已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例3：已知函数设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的范围。例4已知函数，x其中a0.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。【答案】2.极值与最值在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。（1） 简单的求极值最值例1：函数在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 .解析：由=0，得，当时，0，当时，0，故的极小值、极大值分别为， 而故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17。例2：设，集合，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.【答案】【解析】（1）令，。 当时，方程的两个根分别为，所以的解集为。因为，所以。 当时，则恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。（2）， 令，得或。 当时，由（1）知，因为，所以，所以随的变化情况如下表：0极大值所以的极大值点为，没有极小值点。 当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00极大值极小值所以的极大值点为，极小值点为。综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。例3：已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)当时，求函数的单调区间与极值。解：（I）（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 恒成立与能成立问题例1：已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.#中国教育出版&网（1）若对一切xR，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；z（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.【答案】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.例2：设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围例3：已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.例4：设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数在内没有极值点，求的取值范围；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。（3） 交点个数的问题例1：已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。例2：已知函数（1） 求的单调区间（2） 在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。习题精炼：1.【2012高考真题广东理21】（本小题满分14分）设a1，集合，。（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点2.【2012高考真题安徽理19】（本小题满分13分）设。（I）求在上的最小值；（II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（I）设；则，当时，在上是增函数，得：当时，的最小值为。当时，当且仅当时，的最小值为。（II），由题意得：。3.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值 【解析】（）因 故 由于 在点 处取得极值故有即 ，化简得解得（）由（）知 ，令 ，得当时，故在上为增函数；当 时， 故在 上为减函数当 时 ，故在 上为增函数。由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值由题设条件知 得此时，因此 上的最小值为4.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分）设函数，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线方程为x+y=1.（1）求a,b的值；（2）求函数f(x)的最大值（3）证明：f(x) .【答案】5.（江西理19）设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.6.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I）（方法一），当且仅当时，的最小值为。（II）由题意得：， ， 由得：。7.（全国文21）设函数（）若a=，求的单调区间；（）若当0时0，求a的取值范围8.（天津文20）已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上，恒成立，求的取值范围9.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)设，证明： ()当x1时， （ ） ()当时，【答案】10.【2012高考真题重庆理16】（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分.）设其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（） 求的值；（）求函数的极值. 【答案】11.已知函数（I）讨论函数的单