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文档简介

2011年高水平大学自主选拔学业能力测试(华约)数学注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设复数z满足且,则(A)(B)(C)(D)【答案】D解:由得,已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2(舍去),。2在正四棱锥P-ABCD中,M,N分别为PA,PB的中点,且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余弦值为(A)(B)(C)(D)【答案】B分析本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。解法一:如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐标系zONMDCBAPyx,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),则,。设所成的角为,则。解法二:如图,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与AN在一起。即M移到N,D移到CD的中点Q。于是QN = DM = AN。而PA = PB = AB = 2,所以QN = AN = ,而AQ = ,容易算出等腰AQN的顶角。解法三:也可以平移AN与DM在一起。即A移到M,N移到PN的中点Q。以下略。3过点的直线与曲线相切,且不是切点,则直线的斜率是(A)2(B)1(C)(D)【答案】C4若,则的最小值和最大值分别为(A)(B)(C)(D)【答案】B分析首先尽可能化简结论中的表达式,沿着两个方向:降次:把三角函数的平方去掉;去角:原来含两个角,去掉一个。解:,可见答案是BB A O1 O O2 C 5如图,O1和O2外切于点C,O1,O2又都和O内切,切点分别为A,B。,则 (A)(B)(C)(D)【答案】B分析题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱。我们来转化一下,就可以去掉三个圆,已知条件变为:O O1 O2边O1 O2上一点C,O O1、O O2延长线上分别一点A、B,使得O1A = O1C,O2B = O2C。解法一:连接,C在上,则,故,。解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设两个小圆的半径相等,则,。6已知异面直线所成60角,A为空间中一点,则过A与都成45角的平面(A)有且只有一个(B)有且只有两个(C)有且只有三个(D)有且只有四个【答案】D分析已知平面过A,再知道它的方向,就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向,我们考虑它的法线,并且假设a,b为相交直线也没关系。于是原题简化为:已知两条相交直线a,b成60角,求空间中过交点与a,b都成45角的直线。答案是4个。7已知向量,。则 的最小值为(A)1 (B)(C) (D)2【答案】B解:由得由于,可以用换元法的思想,看成关于x,y + z,y - z三个变量,变形,代入,答案B8AB过抛物线焦点F的弦,O为坐标原点,且,C为抛物线准线与x轴的交点,则的正切值为(A)(B)(C)(D)【答案】A解法一:焦点F(1,0),C(-1,0),AB方程y = x 1,与抛物线方程y2 = 4x联立,解得,于是,答案A解法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形ABCD中,BAD = 45,EFDA,EF = 2,AF = AD,BF = BC,求AEB。BGCEDAF。类似的,有,答案ABACDEF9如图,已知ABC的面积为2,D,E分别为边AB,边AC上的点,F为线段DE上一点,设,且,则BDF面积的最大值为(A)(B)(C)(D)【答案】D解:,于是。将,暂时将x看成常数,欲使yz取得最大值必须,于是,解这个一元函数的极值问题,时取极大值。10将一个正11边形用对角线划分为9个三角形,这些对角线在正11边形内两两不相交,则(A)存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 (B)存在某种分法,所分出的三角形恰有2个是锐角三角形(C)存在某种分法,所分出的三角形至少有3个锐角三角形 (D)任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形【答案】D解:我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图,假设ABC是锐角三角形,我们证明另一个三角形DEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的D一定是钝角。事实上,D ADC,而四边形ABCD是圆内接四边形,所以ADC = 180-B,所以D为钝角。这样就排除了B,C。FEDBCA下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。DBCA假设ABC中B是钝角,在AC的另一侧一定还有其他顶点,我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ACD,则D = 180-B是锐角,这时如果或是钝角,我们用同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。11(本小题满分14分)已知ABC不是直角三角形。(I)证明:;(II)若,且的倒数成等差数列,求的值。解:(I),整理得(II)由已知,与(I)比较知。又,而,代入得, ,12(本小题满分14分)已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放置)。质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。()若,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;()水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?解:不妨设水杯高为1。(I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3。水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的距离)为,水的重心位置为,所以装入半杯水的水杯的重心位置为(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上。设装x克水。这时,水杯质量 :水的质量 = a :x。水杯的重心位置为,水的重心位置为,水面位置为,于是,解得13(本小题满分14分)已知函数,令,。()求数列的通项公式;()证明:。解:由(I)先求出,猜想。用数学归纳法证明。当n = 1显然成立;假设n = k显然成立,即,则,得证。(II) 我们证明。事实上,。我们注意到,于是14(本小题满分14分)已知双曲线(),分别为C的左、右焦点,P为C右支上一点,且使,又F1PF2的面积为。()求C的离心率e;()设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数,使得恒成立。若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。解:如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:在P F1 F2中,E为PF1上一点,PE = PF2,E F1 =2a,F1 F2 = 2c,求。设PE = PF2 = EF2 = x,F F2 = , ,。E F1 F2为等腰三角形,于是,。15(本小题满分14分)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续3次正面的概率。()求和;()探究数列的递推公式,并给出证明;()讨论数列的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。解答:(1),。()如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是;如果第n次出现正面,第次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是;如果第n次出现正面,第次出现正面,第次出现反面,那么前n次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是等价的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是。如果第n次出现正面,第次出现正面,第次出现正面,那么已经出现连续3次正面,所以不需要考虑。综上,有()。其中,。我们先定义几个函数:f(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,至少有连续3次相同,总共有f(n)种情况。g(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,至多连续2次相同(可以有不同的连续2次相同),且最后2次连续相同,总共有g(n)种情况。h(n):将一枚均匀的硬币连续抛掷n次

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