习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解天津理科高考试题.doc

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津理科卷）试题精析详解一、选择题（5分10=50分）（1）设集合，则（A） （B）（C） (D) 【思路点拨】本题主要考查集合的概念，集合的运算，分式不等式和绝对值不等式的解法，故直接根据它们的解法，将A、B进行化简，根据集合的运算即求得解.【正确解答】，选D【解后反思】此题采用直接法，这类题型的特点是把描述法语言的集合等价转化为简单的集合表示，再根据数形结合（数轴）的方法，利用集合的运算法则，就不难解决这类题型.（2）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（A）-2 （B）4 （C）6 （D）6【思路点拨】本题考查复数概念及代数运算，只要分子分母同乘以分母的共轭复数并化为代数形式，再根据纯虚数的概念得解.【正确解答】，因而，即.【解后反思】正确理解复数的概念，设复数z=a+bi（a、bR）则z为实数的充要条件为b=0，z为纯虚数的充要条件为 ，同时注意的运算规则.（3）给出三个命题：若，则.若正整数和满足，则.设为圆上任一点，圆以为圆心且半径为1当时，圆和相切其中假命题的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3【思路点拨】本题是考查不等式的概念和两圆位置关系的判定，也涉及到不等式或等式，因此要逐一进行判断：可作差，是平方差，利用圆心与半径的和（或差）进行比较，即可解决.【正确解答】：，真命题.：，由于和是正整数，等号不一定取到，故它是假命题.：由题设条件可知，当时，即在圆上，圆和相交或者相切，假命题.选B.【解后反思】这是一道概念和方法的混合题，必须对相应的性质透彻理解，两个数比较大小的常用方法之一是作差法，本题还需平方后作差，一般遇到根式不等式时都是这样处理.（4）设为平面，为直线，则的一个充分条件是（A） （B）（C） (D) 【思路点拨】本题是判断线线、面面和线面垂直的判断题，可作出示意图逐一判断. 【正确解答】图(1)由此可见判断A不正确；图(2)由此可见判断B正确.证明：，而不一定有.B中是的既不充分也不必要的条件，D是充要条件.【解后反思】对空间图形的线线垂直、线面垂直的判定和性质要实在地理解是解决这类问题的关键.（5）设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（A）2 （B） （C） （D）【思路点拨】本题是考查双曲线和椭圆的特征之间的关系，可采用直接法找出双曲线的长半轴和短半轴，进一步求出渐进线的斜率.【正确解答】由题意可知，对于椭圆：；对于双曲线：，因此，双曲线的斜率为选C.【解后反思】圆锥曲线的标准方程中的几何性质是一个重要的考点，而他们之间的联系不能混淆，如双曲线的一条渐近线的斜率是短轴长和实轴长的比，或由中渐近线方程式为.（6）从集合中任选两个元素为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数为 （A）43 （B）72 （C）86 （D）90【思路点拨】本题利用集合元素的互异性和椭圆上的焦点落在矩形内的可能性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，而可能性的产生必须利用组合的概念，同时必须注意椭圆的条件：才使问题得到圆满解决.【正确解答】不同组合的可能性有种，由题意知，所以满足条件的椭圆个数为，选B【解后反思】本题是一道综合题，涉及到集合排列与组合、椭圆，要正确理解各个知识点并要有严密的逻辑判断能力.这是检测思维训练的综合题.（7）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解.【正确解答】，选B【解后反思】一般地，如果在一次试验中事件发生的概率为p.那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：.（8）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的（A） 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度（B） 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度（C） 横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度（D） 横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【思路点拨】本题考查了的图象变换，可利用诱导公式，对给出的函数名称化为所要变换的函数名称即可. 【正确解答】，横坐标伸长两倍后变为，向左平移个单位长度后变为.选C【解后反思】一般地，要注意的图象变换中周期与平移变换先后的差异.若将再向左平移（）或右（）平移 个单位，得到的图象，若将向左平移（）或向右平移（）个单位后，得到的图象，再周期变换()得到的图象.（9）设是函数的反函数，则使成立的的取值范围为（A） （B）（C） (D) 【思路点拨】本题考查了指数函数和互为反函数的性质，由于.可知.在R上单调递增，因此在R上也是单调递增. 所以，问题就转化为当时，求的范围.【正确解答】可以判断是增函数，则也是增函数，则，选A【解后反思】深刻理解互为反函数的性质是解决这个问题的关键.一般地若为递增函数，则.（10）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题考查了复合函数的性质导数的应用及不等式恒成立问题.令必须在的条件下再根据a的不同情形进行分类讨论.【正确解答】令， 当时，由区间内单调递增的充要条件是对一切恒成立，即对一切恒成立，解得，当时，由区间内单调递增的充要条件是对一切恒成立，即对一切恒成立，无解，故选B.【解后反思】一般地，对上的一切x恒成立的充要条件是；对上的一切x恒成立的充要条件是.二、填空题（4分6=24分）（11）设，则 【思路点拨】本题考查了二项式定理的二项展开式，与展开式的结构进行比较，对a、b恰当地赋值即可解决.【正确解答】令，则，.【解后反思】要深刻理解二项式定理的结构特征，并能灵活运用，对中，令a=1,b=x时，本题中再令x=6便得以解决.要注意展开式中有n+1项以防漏项.（12）如图，则异面直线与 所成的角的正切值等于 【思路点拨】此题可用模型法解，即构造正方体，（如右图）即可解决.【正确解答】如图，可知QBAc，QBP即为异面直线PB与AC所在的角，连续PQ，在RTPQB中，即异面直线PB与AC所成的角的正切值为【解后反思】本题是考查线线、纯平面垂直的判定与性质和异面直线所成的角的求法，可按定义将异面直线中的一条进行平移，将异面直线的问题转化为相交直线，即立体几何平面化处理，考虑到本题的图形特征（正方体的一个角），模型法解决比较方便，这就要求学生基本图形的理解和掌握.（13）在数列中，且 ，则 【思路点拨】本题考查数列的运算能力和判断能力，考虑到和符号因子可对n的奇偶性分析入手，找出规律而解之.【正确解答】为奇数时，；为偶数时，.【解后反思】根据数列的特征，分n为奇偶找出其规律性是解决本题的关键.（14）在直角坐标系中，已知点，若点的平分线上且，则 【思路点拨】本题借助角平分线知识考查二倍角公式及向量的有关概念，可根据角平分线的性质代数化处理.【正确解答】由题意知，得，可设，由，得，所以.【解后反思】解析几何的本质是几何而方法是代数，确定C的位置在于OC的终边，因此设出C点是关键.（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目如果成功，一年可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次 则该公司一年后估计可获益的期望是 元【思路点拨】本题考查概率与数学期望，考查学生识表能力.实施结果概率获利（万元）成功0.960.6失败0.40.25【正确解答】由图知，该公司一年后估计可获益的期望为（万元）元.【解后反思】对图表的识别能力是近年高考突出考查的热点.图表语言与其数学语言的相互转换，应成为数学教学的一个重点，要引起高度的重视.（16）设是定义在上的奇函数，且的图像关于直线对称，则 【思路点拨】本题由抽象函数的奇偶性和对称性，考查学生的思维能力，要根据其给出的条件及由此引起的连锁性质进行解决.【正确解答】由题意知得到，令x=1、2，得，而令x=0得，是R上的奇函数.而令x=5，得，【解后反思】由得是周期为2的周期函数.三、解答题（共6小题，共76分）（17）（本小题满分12分） 在中，所对的边长分别是设满足条件和，求的值.【思路点拨】本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力，把握住这些定理的结构，进行边角互化即可求得.【正确解答】解法一：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180AB=120B.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，由，得所以 由正弦定理.由式知故BA，因此B为锐角，于是，从而【解后反思】解斜三角形问题时，一是要观察差异（或角、或函数、或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法和技巧）分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.二是要尽可能统一，即统一到角（解法1）或统一到边（解法2）便于问题的解决.（18）（本小题满分12分） 已知 （I）当时，求数列的前； （II）求【思路点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式、求数列的前n项和的基本方法、求数列的极限等基础知识，考查运算能力.对第（I）问是属于系数是等差数列的多项式求和，一般是错位相减，但要注意对a进行讨论.对第（II）问是在（I）的基础上，因此首先要考虑a=b和a的两种情形求和，在求数列的极限时要考虑极限的存在性，也需进行必要的讨论.【正确解答】（I）解：当，这时数列的前n项和 式两边同乘以，得 式减去式，得 若， .若，（II）解：由（I），当时，则当时，此时，若，.若【解后反思】（19）（本小题满分12分） 如图，在斜三棱柱中，侧面与底面所成的二面角为，分别是棱的中点（I）求与底面所成的角； （II）证明； （III）求经过四点的球的体积 【思路点拨】本题主要考查棱柱、球、二面角、线面关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，分析图形特征可发现基本图形：正三棱锥ABC和侧面BC为正方形.就可作出相应的辅助线，抓住中点特征，中点与中点连成中位线就可解决（）.而求四面体ABC的外接球的体积，关键是确定球心的位置，难点是求球的半径，也必须抓住正三棱锥的特征.【正确解答】（）解：过A1作A1H平面ABC，垂足为H. 连结AH，并延长交BC于G，连结EG，于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.A1AB=A1AC， AG为BAC的平分线.又AB=AC， AGBC，且G为BC的中点因此，由三垂线定理，A1ABC. A1A/B1B，且EG/B1B， EGBC 于是AGE为二面角ABCE的平面角，即AGE=120由于四边形A1AGE为平行四边形，得A1AG=60，所以，A1A与底面ABC所成的角为60， （）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点，连结PF.在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E/FP.而FP平面B1FC，A1E/平面B1FC，所以A1E/平面B1FC. （）解：连结A1C，在A1AC和A1AB中，由于AC=AB，A1AC=A1AB，A1A=A1A，则A1ACA1AB，故A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.又A1H平面ABC， H为ABC的外心.设所求球的球心为O，则OA1H，且球心O与A1A中点的连线OFA1A.在RtA1FO中， 故所求球的半径，球的体积 .【解后反思】本题可以说是一常规题，是由一正三棱锥和一正四棱锥拼接而成，该题考点多，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理与几何计算交错在一体，融论证于难度适中的计算之中，还考查了基本的作图技能，引入恰当的辅助线，主要体现为深入和全面考查多种数学能力. （20）（本小题满分12分） 某人在山坡点处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高米，塔所在的山高米，米，图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平面的夹角为试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人身高）？【思路点拨】本题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力，从图形分析就有解析几何的背景，实质上是角问题，可利用解析几何的思路来处理较有利，而求的最大值必须转化为函数处理，根据函数的解析式选用恰当的方法求解.【正确解答】如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）， 直线l的方程为即 设点P的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式 当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.【解后反思】在遇到数学应用问题时，建立数学模型是首要任务，而通过运用数学方法解决是一难点，需要较强的运算能力和归纳能力，在研究分式函数求最值时必须重视定义域的作用.（21）（本小题满分14分） 抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足（I）求抛物线的焦点坐标和准线方程；（II）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；（III）当时，若点的坐标为（1，1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围【思路点拨】本题主要考查抛物线的几何性质、直线方程、平面向量、直线与曲线相交、两条直线的夹角等解析几何的基础知识、基本思想方法和综合解题能力，对（I）只要化抛物线为标准方程即可求得，也就是根据条件逐步揭示与的关系式，同时要注意曲线和方程的概念，（III）中时即M为AB的中点时的情形，已知P点坐标意味着抛物线的确定，当为钝角时，转化为向量的数量积小于0来求，同时要注意等价性，必须进行验证.【正确解答】（）解：由抛物C的方程，准线方程为（）证明：设直线PA的方程，直线PB的方程为.的坐标是方程组的解、将式代入式得的解、将式代入式得 则将式和式代入上式得（）解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以由式知式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为于是 因