从素数码到级联素数码.doc

第4期刘青格等：从素数码到级联素数码127从素数码到级联素数码刘青格，邵定蓉，李署坚（北京航空航天大学 电子信息工程学院，北京 100083）摘 要：研究级联素数码与素数码的关系，得出级联素数码是由素数码序列时移、频移后级联得到的构造思想，并得出具体时移规律和频移规律。这一结论对于研究素数码在其他有限扩域GF(Pn)，n2上的扩展具有启发意义。此外，根据素数码时移与频移等价的性质，得出得到具有理想汉明相关特性的跳频序列组的分组规律，即同一分组中，所有序列对应的时移步长对相同，为选择具有理想汉明相关特性的跳频序列组提供了理论依据。最后列出基于上述结论的仿真模型。关键词：跳频序列；素数码；级联素数码；频移步长对；时移步长对中图分类号：TN918.1 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2007)04-0123-05From prime codes to concatenated prime codesLIU Qing-ge, SHAO Ding-rong, LI Shu-jian（School of Electronics and Information Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100083, China）Abstract: The relationship between prime codes and concatenated prime codes was analyzed. A new construct idea was concluded that concatenated prime codes were constructed by concatenation of the time-shift and frequency-shift versions of prime code sequences, and the concrete rules were presented. This thought will lead to further extension versions of prime codes over GF(Pn) with n2. Furthermore, according to the time-shift and frequency-shift equivalence property of prime codes, a rule was found for concatenated prime codes, classification to get FH(frequency hopping) sequences groups with ideal Hamming correlation property, i.e. all the sequences in the same group have same time-shift step pair . This result was helpful to select FH sequences with ideal Hamming correlation characteristics. Finally, a simulation module was presented based on above conclusions.Key words: frequency hopping sequence; prime code; concatenated prime code; frequency-shift step pair; time-shift step pair1 引言收稿日期：2005-12-09；修回日期：2006-12-20跳频通信系统中，跳频序列的性能对跳频系统的性能有重大影响，寻求和设计具有理想特性的跳频序列已成为跳频通信的重要课题之一15。素数码6（为区别于其他素数码，这里称为原始素数码）是一类具有自相关旁瓣为0、最大互相关值为1的理想汉明相关性能的跳频序列族4,7，在雷达、声纳系统以及多址移动无线电中都有重要应用价值810。为满足不同的跳频系统要求，基于原始素数码，国内外学者进行了大量研究，构造出了各类改进的素数码11，如扩展素数码（extended prime code）、同步素数码（synchronized prime code）等。然而，素数码的发展一直停留在有限域GF(P)上，为素数，直到1999年，Chi-Fu Hong 和Guu-Chang Yang 提出级联素数码12，才对素数码在有限扩域GF(P2)上的扩展进行了尝试。与原始素数码相比，级联素数码序列周期增大到，序列数目增大到，具有理想的汉明自相关特性和最大互相关值为2的几乎理想的汉明互相关特性，分组后，每组中不同序列满足最大值为1的理想汉明互相关特性。本文深入研究级联素数码与原始素数码的关系，得出原始素数码序列时移、频移后级联的构造思想，并得出具体分组规律。文章内容作如下安排：首先简介原始素数码和级联素数码的构造；接着分析由原始素数码的时移和频移后级联构造级联素数码；并分析级联素数码分组的时移规律；最后给出根据上述规律由素数码时移、频移后级联构造级联素数码的仿真模型和实例。2 原始素数码的构造6原始素数码是基于线性同余式的跳频码6，称为LCC码，构造方法是利用模乘法表（为素数）。对于素数，其构造式为(1)其中，表示频隙，表示码字序号，表示时隙。例1 由上式构造的P=5的原始素数码见图1。图1 P=5的原始素数码其中，图中元素即表示对应于码字序号中时隙的频隙。注：文献6中的原始素数码表示图中有错，这里已纠正。引理1 原始素数码中，某一序列水平移动（时移）与垂直移动（频移）（）是等价的。证明：由式（1）可得：有一点需要说明，在原始素数码的构造中，码字序号的码序列为全零序列，是一个连续波（CW, continuous wave）脉冲，从而从原始素数码中剔除。由于级联素数码构造时，要选择原始素数码的两个序列，所以对应的全零码序列在考虑范围之内，因此保留该序列。3 级联素数码的构造12在级联素数码跳频序列族中，对应一素数，可形成一个有个频隙的集合 ，每一跳频序列长度为，构造过程如下：对一素数，伽罗瓦域，级联素数码序列按下式构造(2)其中，“”表示模加，。是由组成的集合(3)其中，。这样可得到个汉明自相关旁瓣为0、最大汉明互相关值为2的长度为的跳频序列族。优化分组：将个序列，根据分组，将的所有序列归为分组，将的所有序列归为分组，这样分组集合共有个分组，其中，每分组有个序列，在同一分组中任意两个不同序列的最大汉明互相关值为1。具体的各个分组如下表示4 从原始素数码到级联素数码下面详细分析级联素数码与原始素数码的关系。为叙述方便，设表示时隙向量，表示码字序号向量，表示时隙对应的频隙向量。 4.1 原始素数码频移构造级联素数码根据级联素数码构造式（2），由知，对应，j取遍GF(P)，即为对应的原始素数码序列，i每增加1，该序列每个元素模加；由知，对应，取遍GF(P)，即为对应的原始素数码序列，i每增加1，该序列每个元素模P加a。由上分析，级联素数码的频移构造过程可描述为：级联素数码实际是由对应的原始素数码序列以步长频移后级联，得到所有时隙对应的频隙向量的；由对应的原始素数码序列以步长频移后级联，得到所有时隙对应频隙向量的，即频移步长对为。例2 以，为例，级联素数码的构造过程的频移后级联的描述如下：以和分别表示和对应的原始素数码序列，则和，便为对应于，的频隙，每增加1，频移，频移，即频移步长对为，得到所有值对应的的所有时隙对应的频隙。上述频移后级联过程的具体描述如下(4)从而得到 (5)4.2 原始素数码时移构造级联素数码根据原始素数码的时移与频移等价的性质，级联素数码的构造过程还可以以原始素数码序列时移后级联来理解。根据级联素数码构造式（2），对于，有(6)由式（6），分析第一个式子，对应，取遍GF(P)，即为对应的原始素数码序列，每增加1，该序列则循环左移位；分析第二个式子，对应，取遍GF(P)，即为对应的原始素数码序列，每增加1，该序列便循环左移位。由上分析，级联素数码的时移构造过程可描述为：级联素数码实际是由对应的原始素数码序列以步长时移后级联，得到所有时隙对应频隙向量的；由对应的原始素数码序列以步长时移后级联，得到所有时隙对应频隙向量的，时移步长对为。由于原始素数码中不包含码字序号的全零码序列，而且引理1的成立不包含，因此，在级联素数码中，或作为特殊情况来分析。上述时移规律不包括这两种情况，仍需用频移来描述。例3 例2的时移后级联描述为：和对应于，的频隙，每增加1，循环左移位，循环左移位，即时移步长对为，得到所有值对应的的所有时隙对应的频隙，见式（7），与频移过程得到同样的结果，见式（5）。(7)5 级联素数码分组的时移规律通过对级联素数码分组，可以得到具有理想汉明相关特性的跳频序列组。由上述可知，从原始素数码时移来理解和实现级联素数码的构造更容易些，且通过分析，可得到分组的时移规律。在级联素数码的构造中，通过分组，得到组，每组个序列，分组依据为(8)设，将式（8）变形得(9)即级联素数码的分组是通过将级联素数码序列中，所有满足式（8）的码字序号向量对应的序列分到组，将的所有序列和的所有序列分别分到组和组，得到个分组，且每一组中任意两个不同序列的最大汉明互相关值为1，实现了理想的分组。由前面分析的时移、频移规律，据式（8）可知，在分组中，频移步长对为，与有关；由式（9），设和，可知在分组中，时移步长对为，与和无关，只与分组参数有关，这个结果对于理解和选择级联素数码中具有理想汉明互相关特性的跳频序列组提供了规律，即同一组中的级联素数码序列满足所对应的原始素数码序列对的时移步长对相等，也即同一组中的级联素数码序列是由不同的原始素数码序列对经过相同的时移步长对得到的。例4 以，的级联素数码的分组中组为例(具体见表1)，码序列和的构造过程的时移描述分别见式（10）和式（11），显然两者时移步长对均为。图2 由素数码序列时移、频移构造级联素数码的简化仿真模型(10)(11)上述级联素数码的分组规律的时移分析结果，对于级联素数码构造中选择具有理想相关特性的码序列组很有意义，即首先选择具有相同时移步长对的码序列分配给不同用户。若从频移的角度来看级联素数码的分组，则从素数码序列本身找不到什么规律可循。综上分析，级联素数码是由对应的原始素数码序列对经过次频移步长对后级联得到的；级联素数码，（，），是由对应的原始素数码序列对经过次时移步长对后级联得到的；级联素数码分组中，同一分组(，)中所有序列对应的原始素数码序列对的时移步长对相同，均为，对于特殊情况，对应的级联素数码序列全部在分组中；对应的序列全部在g=P分组GP中。频移过程需要原始素数码序列的各元素模P加上频移步长，时移过程则由原始素数码序列直接循环左移，所以比用频移过程描述级联素数码的构造更容易理解和实现，只是对于a=0或b=0的特殊情况仍需要按照频移来理解。6 仿真模型及实例根据如上分析得到的时移、频移规律和分组规律，将其相结合，构造直接由素数码时移、频移构造级联素数码的仿真模型，如图2所示。例5 对于，通过仿真得到的级联素数码及其分组见表1，共有8个序列，分为4个分组，可以验证在同一分组中任意两个不同序列的最大汉明互相关值为1，与由构造式（2）运算得到的结果完全一致，证明本文中得到的有关由素数码构造级联素数码的时移、频移和分组规律是正确的。表1P=3，y=2的级联素数码的分组G0S0,1=(f0,0,f0,1,f0,2,f2,0,f2,1,f2,2,f1,0,f1,1,f1,2)S0,2=(f0,0,f0,2,f0,1,f1,0,f1,2,f1,1,f2,0,f2, 2,f2,1)G1S1,1=(f0,0,f1,1,f2,2,f2,1,f0,2,f1,0,f1,2,f2,0,f0,1)S2,2=(f0,0,f2,2,f1,1,f1,2,f0,1,f2,0,f2,1,f1,0,f0,2)G2S2,1=(f0,0,f2,1,f1,2,f2,2,f1,0,f0,1,f1,1,f0,2,f2,0)S1,2=(f0,0,f1,2,f2,1,f1,1,f2,0,f0,2,f2,2,f0,1,f1,0)G3S1,0=(f0,0,f1,0,f2,0,f0,1,f1,1,f2,1,f0,2,f1,2,f2,2)S2,0=(f0,0,f2,0,f1,0,f0,2,f2,2,f1,2,f0,2,f2,1,f1,1)仿真模型直接实现分组，简单直观，基本脱离了抽象的数学公式，更重要的是由素数码时移、频移构造级联素数码规律的得出对于研究通过多次级联以及改变步长以构造数目更多、周期更长的跳频序列具有启发作用。7 结束语本文从素数码的角度出发，研究得出了由原始素数码时移、频移后级联构造级联素数码的规律和方法，并得出了得到具有理想汉明互相关性能的跳频序列组而分组的时移规律。基于上述研究结果，构造了由素数码时移、频移构造级联素数码的仿真模型，并实现分组。本文研究结论为进一步研究级联素数码和构造及选择具有理想汉明相关特性的跳频序列组提供了理论依据。原始素数码序列时移、频移后级联的构造思想，对于素数码在其它有限扩域，上的扩展实现，具有启发意义。参考文献：1SIMON M K, OMURA J K, SCHOLTZ R A, et al. 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