固体物理期末复习真题.pdf

1 固体物理期末复习题 固体物理期末复习题 2013 06 一 1 证明三维自由电子气体基态下的动能为 F NV 5 3 0 N为电子数 F 为费米能 2 证明基态下电子气体的压强与体积的关系为 V V P 0 3 2 3 证明基态下自由电子的体弹性模量为 F n V UP B 3 2 9 10 3 5 0 其中 V N n 二 1 证明点阵平面上的阵点密度 单位面积上的阵点数 C V d C V 初基晶胞的体积 d 该点阵平面所属平面族中相邻两点阵平面的距离 2 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是 111 面 体心立方点阵阵点密度最 大的平面是 110 面 三 设一维电子能带可以写成 2cos 8 1 cos 8 7 2 2 kaka ma k 其中a是点阵常数 试求 1 能带的宽度 2 电子在波矢k状态下的速度 3 能带底部和顶部的电子有效质量 2 四 NaCl是立方晶体 把NaCl结构立方惯用晶胞中的原子选为基元 NaCl结构也可 用sc点阵来处理 试计算NaCl结构的基元的几何结构因子 五 已知三维晶体在0 k附近的一个光学支的色散关系为 KAKAKA K zxyyxx 222 0 试求模式密度的表达式 六 分别用近自由电子模型和紧束缚近似的观点说明晶体中能带的起因 七 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面 hkl 证明 a 倒易点阵矢量 321 b lbkbh hkl G 垂直这组平面 b 两个相邻的点阵平面间的距离 hkl d为 hkl G hkl d 2 c 对初基矢量 3 2 1 aaa 互相正交的晶体点阵 有 2 3 2 2 2 1 1 a l a k a h hkl d 八 在量子固体中 起主导作用的排斥能是原子的零点能 考虑晶态 4He 一个非常粗 略的一维模型 即每个氦原子局限在长为L的线段上 把线段L取为基态波函数 的半波长 a 试求每个粒子的零点动能 b 推导维持该线度不发生膨胀所需要的力的表达式 c 在平衡时 动能所导致的膨胀倾向被范德瓦尔斯作用所平衡 如果非常粗 略地给出最近邻间的范德瓦尔斯能为ergLLu 606 106 1 其中L以cm表示 求L的平均值 九 a 证明对于波矢为K 频率为 的格波 tsKai s ueu 一维单原子点阵的总动量 为 N s isKati eMueiKP 1 b 证明在周期性边界条件下 当0 K时 0 KP 因而声子 0 K 是不携 带物理动量的 c 证明 如果0 0 uiml 当0 K时 有 0 KP 试问这表示一维单原 3 子点阵的什么运动 十 对于三维单原子点阵 导出德拜热容的表达式 并讨论高温和低温极限下的性质 十一 十一 说明产生晶体衍射极大的条件及影响衍射强度的因素 十二 十二 由两种一价离子交替排列组成的一维晶体 离子总数为N2 离子间的最短距 离为R 1 证明 晶格的马德隆常数为2ln2 2 求平衡时的离子间距和互作用能 十三 十三 晶体中点缺陷有哪几种类型 试举一例 说明它在半导体器件制造过程中的应 用 十四 十四 线性链化合物 CHCH CHCH 设CH基的质量为M 单键及双键处 的恢复力常数分别为 1 及 2 晶格常数为a 1 确定晶格振动的色散关系 2 讨论0 q及布里渊区边界处的振动情况 十五 十五 二维矩形晶格ia A2 jb A4 1 写出倒格子基矢 画出倒格子图及第一布里渊区 2 若每一原胞内含一个单价原子 计算自由电子费米圆的半径 十六 十六 说明固体能带模型基于哪几点简化近似 并给出 1 能带理论的基本结论 2 能带理论的重要成就与局限性 十七 十七 1 用紧束缚方法处理面心立方晶体的s态电子 只计及最近邻的相互作用 导出 其能带为 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos4 0 akakak akak ak EkE xzz yy x 2 求能带底部电子的有效质量 十八 十八 已知立方ZnS具有闪锌矿结构 Zn S两原子的最近距离 A34 2 d 求 4 1 晶格常数 2 原胞基矢及倒格子基矢 十九 十九 由原子A B组成的一维双原子链 原子A B的散射因子分别为 A f和 B f 相 邻A与B原子间距离为2a X射线垂直于原子链入射 试证 1 干涉条件是 cosan 为衍射束和原子链间夹角 n为整数 2 当n为奇数时 衍射强度 2 BA ffI 当n为偶数时 衍射强度 2 BA ffI 二十 二十 设有一离子晶体 只计及最近邻间的排斥作用时 其两个离子间的势能具有 如下形式 式中 为参数 R是最近邻离子距离 试求平衡时晶体总的互作用势能的表达式 晶体共包含N对正负离子 二十一 二十一 说明位错的类型及位错在金属塑性形变中的作用 二十二 二十二 设一维双原子链 质量为m和M的两种原子交错排列 mM 晶格常数 为a2 最近邻原子间的恢复力常数为 只考虑最近邻作用 1 确定晶格振动的色射关系 大略画出色散关系曲线 2 讨论长波极限下 0 q 相邻两种原子振幅之比及物理意义 二十三 二十三 比较关于晶格比热的爱因斯坦模型和德拜模型与实验结果的符合情况并说明 原因 二十四 二十四 在固体的能带理论中 近自由电子近似和紧束缚模型的基本假设和主要结果 是什么 二十五 二十五 设有同种原子组成的二维正三角晶体 原子间距为a 1 利用紧束缚方法 在只考虑最近邻互作用的近似下 求出由s态电子形成的能 带色散关系 2 求出0 k 处电子的平均速度 3 求出0 k 处电子的有效质量 最近邻间 最近邻以外 5 二十六 用紧束缚近似写出二维正方点阵最近邻近似下的s电子能带 并计算带底电 子和带顶空穴的有效质量 二十七 试证明电子气体在绝对零度下动能对其体弹性模量的贡献为 2 3 1 F nmB 式 中n是电子浓度 m是电子质量 F 是费米速度 用以上结果可求出金属中的声速 在可压缩流体中声速为 2 1 B 其中 是流体的密度 由此证明单价金属的声 速为 F M m 2 1 3 其中M是金属离子的质量 二十八 试用一个简单的物理模型解释低温下点阵热容所遵循的 3 T定律 按课程网站 例题思路解答 a 计算在足够低的温度 D T 下 近似有多少简正模式被激发 b 证明在经典近似下每个模式对热容的贡献大约为TkB c 由以上结果证明低温下点阵热容的数量级为 3 D B T Nk 与 3 T 成正比 这里N 是晶体中包含的原子数 D 是德拜温度 二十九二十九 金属Na属于体心立方结构 试计算其晶胞的结构因子并讨论衍射相消条件 三十三十 石墨为层状结构晶体 整个晶体由相互平行的原子层排列而成 相邻原子层之 间的相互作用很弱 试利用德拜模型预计石墨在极低的温度下趋于何种形式 三十一 二维晶格振动 有一单原子二维正方格子 点阵 原子质量为m 晶格 点 阵 常数为a 最近邻原子间的恢复力常数为 若只考虑最近邻作用 写出 1 原子垂直于晶格平面的运动方程 2 晶格振动的色散关系 三十二 写出量子谐振子系统的自由能 证明在经典极限下 自由能为 q B q B Tk lnTkUF 0 其中 0 U 为系统平衡时的结合能 三十三 一维晶格基矢为i a 假设其晶体势是由围绕原子的一系列矩形势阱所组成 每个阱的深度都是 0 V 宽度5a 用近自由电子模型计算前三个能隙 并比较这些 能隙的数值 6 三十四 在金属自由电子的模型中 假定传导电子可以近似看作是自由电子气 电子 数密度为n 驰豫时间为 试导出金属电导率的表达式 2 m ne m为电子有效质量 三十五三十五 对三维晶体 利用德拜模型 求 1 高温时 D 0范围内的声子总数 并证明晶格热振动能与声子总数成正比 2 极低温时 D 0范围内的声子总数 并证明晶格热容与声子总数成正比 三十六 从模型的基本假定 主要成就及局限性等方面评价金属自由电子气