考研数学历年真题(1987-2010)年数学一001.pdf

1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 当x 时 函数2xyx 取得极小值 2 由曲线lnyx 与两直线e 1yx 及0y 所围成的平面图形的面积是 1x 3 与两直线 1yt 及 121 111 xyz 都 平 行 且 过 原 点 的 平 面 方 程 为 2zt 4 设L为取正向的圆周 22 9 xy 则曲线积分 2 22 4 L xyy dxxx dy 5 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为 123 1 1 0 1 0 1 0 1 1 则 向 量 2 0 0 在此基底下的坐标是 二 二 本题满分本题满分 8 分分 求正的常数a与 b使等式 2 200 1 lim1 sin x x t dt bxx at 成立 三 三 本题满分本题满分 7 分分 1 设f g为连续可微函数 uf x xy vg xxy 求 uv xx 2 设矩阵A和B满足关系式2 AB AB其中 301 110 014 A求矩阵 B 四 四 本题满分本题满分 8 分分 求微分方程 2 6 9 1yyay 的通解 其中常数0 a 五 选择题五 选择题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 2 lim1 xa f xf a xa 则在xa 处 A f x的导数存在 且 0f a B f x取得极大值 C f x取得极小值 D f x的导数不存在 2 设 f x为已知连续函数 0 s t Itf tx dx 其中0 0 ts 则I的值 A 依赖于s和t B 依赖于s t和x C 依赖于t x 不依赖于s D 依赖于s 不依赖于t 3 设常数0 k 则级数 2 1 1 n n kn n A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 散敛性与k的取值有关 4 设A为n阶方阵 且A的行列式 0 a A而 A是A的伴随矩阵 则 A等于 A a B 1 a C 1n a D n a 六 本题满分六 本题满分 10 分 分 求幂级数 1 1 1 2 n n n x n 的收敛域 并求其和函数 七 本题满分七 本题满分 10 分 分 求曲面积分 2 81 2 1 4 Ixydydzy dzdxyzdxdy 其中 是由曲线 113 0 zyy f x x 绕y轴旋转一周而成的曲面 其法向量与y 轴正向的夹角恒大于 2 八 本题满分八 本题满分 10 分 分 设函数 f x在闭区间 0 1 上可微 对于 0 1 上的每一个 x函数 f x的值都在开区间 0 1 内 且 fx 1 证明在 0 1 内有且仅有一个 x使得 f xx 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 问 a b为何值时 现线性方程组 1234 234 234 1234 0 221 3 2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax 有唯一解 无解 有无穷多解 并求出有无穷多解时的通解 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设在一次实验中 事件A发生的概率为 p现进行n次独立试验 则A至少发生一次的 概率为 而事件A至多发生一次的概率为 2 有两个箱子 第 1 个箱子有 3 个白球 2 个红球 第 2 个箱子有 4 个白球 4 个红球 现从 第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里 再从第 2 个箱子中取出 1 个球 此球是白球 的概率为 已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球 则从第一个箱子中取出的 球是白球的概率为 3 已知连续随机变量X的概率密度函数为 2 21 1 e xx f x 则X的数学期望为 X的方差为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量 X Y相互独立 其概率密度函数分别为 X fx 1 0 01x 其它 Y fy e 0 y 0 0 y y 求2ZXY 的概率密度函数 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 一 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求幂级数 1 3 3 n n n x n 的收敛域 2 设 2 e 1 x f xfxx 且 0 x 求 x 及其定义域 3 设 为曲面 222 1xyz 的外侧 计算曲面积分 333 Ix dydzy dzdxz dxdy 二 填空题二 填空题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 若 2 1 lim 1 tx x f tt x 则 f t 2 设 f x连续且 3 1 0 x f t dtx 则 7 f 3 设周期为2的周期函数 它在区间 1 1 上定义为 f x 2 2 x 10 01 x x 则的傅里 叶 Fourier级数在1x 处收敛于 4 设 4 阶矩阵 234234 A B 其中 234 均为 4 维列向 量 且已知行列式4 1 AB则行列式 AB 三 选择题三 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 f x可导且 0 1 2 fx 则0 x 时 f x在 0 x处的微分dy是 A 与x 等价的无穷小 B 与x 同阶的无穷小 C 比x 低阶的无穷小 D 比x 高阶的无穷小 2 设 yf x 是方程240yyy 的一个解且 00 0 0 f xfx 则函数 f x在点 0 x处 A 取得极大值 B 取得极小值 C 某邻域内单调增加 D 某邻域内单调减少 3 设空间区域 22222222 12 0 0 0 0 xyzRzxyzRxyz 则 A 12 4xdvdv B 12 4ydvydv C 12 4zdvzdv D 12 4xyzdvxyzdv 4 设幂级数 1 1 n n n ax 在1x 处收敛 则此级数在2x 处 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性不能确定 5 n维向量组 12 3 s sn 线性无关的充要条件是 A 存在一组不全为零的数 12 s k kk使 1122 0 ss kkk B 12 s 中任意两个向量均线性无关 C 12 s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 D 12 s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四 四 本题满分本题满分 6 分分 设 xy uyfxg yx 其中函数f g具有二阶连续导数 求 22 2 uu xy xx y 五 五 本题满分本题满分 8 分分 设函数 yy x 满足微分方程322e x yyy 其图形在点 0 1 处的切线与曲线 2 1yxx 在该点处的切线重合 求函数 yy x 六 本题满分六 本题满分 9 分 分 设位于点 0 1 的质点A对质点M的引力大小为 2 0 k k r 为常数 r为A质点与M之 间的距离 质点M沿直线 2 2yxx 自 2 0 B运动到 0 0 O求在此运动过程中质点 A对质点M的引力所作的功 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 已知 APBP其中 100100 000 210 001211 BP求 5 A A 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 已知矩阵 200 001 01x A与 200 00 001 y B相似 1 求x与 y 2 求一个满足 1 P APB的可逆阵 P 九 本题满分九 本题满分 9 分 分 设函数 f x在区间 a b上连续 且在 a b内有 0 fx 证明 在 a b内存在唯一 的 使曲线 yf x 与两直线 yfxa 所围平面图形面积 1 S是曲线 yf x 与两 直线 yfxb 所围平面图形面积 2 S的 3 倍 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设在三次独立试验中 事件A出现的概率相等 若已知A至少出现一次的概率等于 19 27 则事件A在一次试验中出现的概率是 2 若在区间 0 1 内任取两个数 则事件 两数之和小于 6 5 的概率为 3 设随机变量X服从均值为 10 均方差为 0 02 的正态分布 已知 2 2 1 e 2 5 0 9938 2 u x xdu 则X落在区间 9 95 10 05 内的概率为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X的概率密度函数为 2 1 1 X fx x 求随机变量 3 1YX 的概率密 度函数 Y fy 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知 3 2 f 则 0 3 3 lim 2 h fhf h 2 设 f x是连续函数 且 1 0 2 f xxf t dt 则 f x 3 设平面曲线L为下半圆周 2 1 yx 则曲线积分 22 L xy ds 4 向量场divu在点 1 1 0 P处的散度divu 5 设矩阵 300100 140 010 003001 AI则矩阵 1 2 AI 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当0 x 时 曲线 1 sinyx x A 有且仅有水平渐近线 B 有且仅有铅直渐近线 C 既有水平渐近线 又有铅直渐近线 D 既无水平渐近线 又无铅直渐近 线 2 已知曲面 22 4zxy 上点P处的切平面平行于平面2210 xyz 则点的 坐标是 A 1 1 2 B 1 1 2 C 1 1 2 D 1 1 2 3 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数 则该非齐次方程的通解 是 A 11223 c yc yy B 1122123 c yc yccy C 1122123 1 c yc yccy D 1122123 1 c yc yccy 4 设函数 2 01 f xxx 而 1 sin n n S xbn xx 其中 1 0 2 sin 1 2 3 n bf xn xdx n 则 1 2 S 等于 A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 5 设A是n阶矩阵 且A的行列式0 A则A中 A 必有一列元素全为 0 B 必有两列元素对应成比例 C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D 任一列向量是其余列向量的线性 组合 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 设 2 zfxyg x xy 其中函数 f t二阶可导 g u v具有连续二阶偏导数 求 2 z x y 2 设曲线积分 2 c xy dxyx dy 与路径无关 其中 x 具有连续的导数 且 0 0 计算 1 1 2 0 0 xy dxyx dy 的值 3 计算三重积分 xz dv 其中 是由曲面 22 zxy 与 22 1zxy 所围 成的区域 四 四 本题满分本题满分 6 分分 将函数 1 arctan 1 x f x x 展为x的幂级数 五 五 本题满分本题满分 7 分分 设 0 sin x f xxxt f t dt 其中f为连续函数 求 f x 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 证明方程 0 ln1 cos2 e x xxdx 在区间 0 内有且仅有两个不同实根 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 问 为何值时 线性方程组 13 xx 123 422xxx 123 6423xxx 有解 并求出解的一般形式 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 假设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值 证明 1 1 为 1 A的特征值 2 A 为A的伴随矩阵 A的特征值 九 本题满分九 本题满分 9 分 分 设半径为R的球面 的球心在定球面 2222 0 xyza a 上 问当R为何值时 球 面 在定球面内部的那部分的面积最大 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知随机事件A的概率 0 5 P A 随机事件B的概率 0 6P B 及条件概率 0 8 P B A 则和事件AB的概率 P AB 2 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 现已知目标被命中 则它是甲射中的概率为 3 若随机变量 在 1 6 上服从均匀分布 则方程 2 10 xx 有实根的概率是 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X与Y独立 且X服从均值为 1 标准差 均方差 为2的正态分布 而Y服 从标准正态分布 试求随机变量23ZXY 的概率密度函数 1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 2xt 1 过点 1 2 1 M 且与直线 34yt 垂直的平面方程是 1zt 2 设a为非零常数 则lim x x xa xa 3 设函数 f x 1 0 1 1 x x 则 f f x 4 积分 222 0 e y x dxdy 的值等于 5 已知向量组 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 则该向量组的秩是 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 f x是连续函数 且 e x x F xf t dt 则 F x 等于 A e e xx ff x B e e xx ff x C e e xx ff x D e e xx ff x 2 已知函数 f x具有任意阶导数 且 2 fxf x 则当n为大于 2 的正整数时 f x的n阶导数 n fx是 A 1 nnf x B 1 nn f x C 2 n f x D 2 n nf x 3 设a为常数 则级数 2 1 sin 1 n na nn A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与a的取值有关 4 已知 f x在0 x 的某个邻域内连续 且 0 0 0 lim2 1 cos x f x f x 则在点0 x 处 f x A 不可导 B 可导 且 0 0 f C 取得极大值 D 取得极小值 5 已知 1 2 是非齐次线性方程组 AXb的两个不同的解 1 2 是对应其次线性 方程组 AX0的基础解析 1 k 2 k为任意常数 则方程组 AXb的通解 一般解 必是 A 12 11212 2 kk B 12 11212 2 kk C 12 11212 2 kk D 12 11212 2 kk 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 1 2 0 ln 1 2 x dx x 2 设 2 sin zfxy yx 其中 f u v具有连续的二阶偏导数 求 2 z x y 3 求微分方程 2 44e x yyy 的通解 一般解 四 四 本题满分本题满分 6 分分 求幂级数 0 21 n n nx 的收敛域 并求其和函数 五 五 本题满分本题满分 8 分分 求曲面积分 2 S Iyzdzdxdxdy 其中S是球面 222 4xyz 外侧在0z 的部分 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 设不恒为常数的函数 f x在闭区间 a b上连续 在开区间 a b内可导 且 f af b 证明在 a b内至少存在一点 使得 0 f 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 设四阶矩阵 11002134 01100213 00110021 00010002 BC 且矩阵A满足关系式 1 A EC B CE 其中E为四阶单位矩阵 1 C表示C的逆矩阵 C表示C的转置矩阵 将上述关系式化简并 求矩阵 A 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 求一个正交变换化二次型 222 123121 323 44448fxxxx xx xx x 成标准型 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 质点P沿着以AB为直径的半圆周 从点 1 2 A运动到点 3 4 B的过 程中受变力F作用 见图 F的大小等于点P与原点O之间的距离 其方向 垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于 2 求变力F对质点P所作的功 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知随机变量X的概率密度函数 1 e 2 x f xx 则X的概率分布函数 F x 2 设随机事件A B及其和事件的概率分别是 0 4 0 3 和 0 6 若B表示B的对立事件 那么积事件AB的概率 P AB 3 已 知 离 散 型 随 机 变 量X服 从 参 数 为2的 泊 松 Poisson分 布 即 2 2 e 0 1 2 k P Xkk k 则随机变量32ZX 的数学期望 E Z 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设二维随机变量 X Y在区域 01 Dxyx 内服从均匀分布 求关于X的边缘 概率密度函数及随机变量21ZX 的方差 D Z 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 2 1 cos xt yt 则 2 2 d y dx 2 由方程 222 2xyzxyz 所确定的函数 zz x y 在点 1 0 1 处的全微 分dz 3 已知两条直线的方程是 12 12321 101211 xyzxyz ll 则过 1 l且平行 于 2 l的平面方程是 4 已知当0 x 时 1 2 3 1 1ax 与cos1x 是等价无穷小 则常数a 5 设 4 阶方阵 5200 2100 0012 0011 A则A的逆阵 1 A 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 曲线 2 2 1 e 1 e x x y A 没有渐近线 B 仅有水平渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平渐近线又有铅直渐近线 2 若连续函数 f x满足关系式 2 0 ln2 2 t f xfdt 则 f x等于 A e ln2 x B 2 eln2 x C eln2 x D 2 eln2 x 3 已知级数 1 21 11 1 2 5 n nn nn aa 则级数 1 n n a 等于 A 3 B 7 C 8 D 9 4 设D是平面xoy上以 1 1 1 1 和 1 1 为顶点的三角形区域 1 D是D在第一 象限的部分 则 cos sin D xyxy dxdy 等于 A 1 2cos sin D xydxdy B 1 2 D xydxdy C 1 4 cos sin D xyxy dxdy D 0 5 设n阶方阵A B C满足关系式 ABCE其中E是n阶单位阵 则必有 A ACBE B CBAE C BACE D BCAE 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 0 lim cos x x 2 设n是曲面 222 236xyz 在点 1 1 1 P处的指向外侧的法向量 求函数 22 68xy u z 在点P处沿方向n的方向导数 3 22 xyz dv 其中 是由曲线 2 2 0 yz x 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面 4z 所围城的立体 四 四 本题满分本题满分 6 分分 过点 0 0 O和 0 A 的曲线族sin 0 yax a 中 求一条曲线 L使沿该曲线O从 到A的积分 3 1 2 L y dxxy dy 的值最小 五 五 本题满分本题满分 8 分分 将函数 2 11 f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数 并由此求级数 2 1 1 n n 的和 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 设函数 f x在 0 1 上连续 0 1 内可导 且 1 2 3 3 0 f x dxf 证明在 0 1 内存在一 点 c使 0 f c 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 已知 1234 1 0 2 3 1 1 3 5 1 1 2 1 1 2 4 8 aa 及 1 1 3 5 b 1 a b为何值时 不能表示成 1234 的线性组合 2 a b为何值时 有 1234 的唯一的线性表示式 写出该表示式 八 本题满分八 本题满分 6 分 分 设A是n阶正定阵 E是n阶单位阵 证明 AE的行列式大于 1 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 在上半平面求一条向上凹的曲线 其上任一点 P x y处的曲率等于此曲线在该点的法 线段PQ长度的倒数 Q是法线与x轴的交点 且曲线在点 1 1 处的切线与x轴平行 十 填空题十 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 若随机变量X服从均值为 2 方差为 2 的正态分布 且 24 0 3 PX 则 0 P X 2 随机地向半圆 2 02 yaxxa 为正常数 内掷一点 点落在半圆内任何区域的概 率与区域的面积成正比 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 4 的概率为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设二维随机变量 X Y的密度函数为 f x y 2 2e0 0 0 xy xy 其它 求随机变量2ZXY 的分布函数 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设函数 yy x 由方程ecos 0 x y xy 确定 则 dy dx 2 函数 222 ln uxyz 在点 1 2 2 M 处的梯度grad M u 3 设 f x 2 1 1x 0 0 x x 则其以2 为周期的傅里叶级数在点x 处收敛 于 4 微分方程tancosyyxx 的通解为y 5 设 1 11 21 2 12 12 12 n n nnnn ababab a ba ba b a ba ba b A其中0 0 1 2 ii abin 则矩阵A的秩 r A 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当1x 时 函数 12 1 1e 1 x x x 的极限 A 等于 2 B 等于 0 C 为 D 不存在但不为 2 级数 1 1 1 cos n n a n 常数0 a A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与a有关 3 在曲线 23 xt ytzt 的所有切线中 与平面24xyz 平行的切线 A 只有 1 条 B 只有 2 条 C 至少有 3 条 D 不存在 4 设 32 3 f xxx x 则使 0 n f存在的最高阶数n为 A 0 B 1 C 2 D 3 5 要使 12 10 0 1 21 都是线性方程组 AX0的解 只要系数矩阵A为 A 2 12 B 201 011 C 102 011 D 011 422 011 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 20 esin1 lim 11 x x x x 2 设 22 e sin x zfy xy 其中f具有二阶连续偏导数 求 2 z x y 3 设 f x 2 1 e x x 0 0 x x 求 3 1 2 f xdx 四 四 本题满分本题满分 6 分分 求微分方程 3 23e x yyy 的通解 五 五 本题满分本题满分 8 分分 计算曲面积分 323232 xazdydzyax dzdxzay dxdy 其中 为上半球 面 222 zaxy 的上侧 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 设 0 0 0 fxf 证明对任何 12 0 0 xx 有 1212 f xxf xf x 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 在 变 力Fy z iz x jx y k 的 作 用 下 质 点 由 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 222 222 1 xyz abc 上第一卦限的点 M 问当 取何值时 力F所做的功W最 大 并求出W的最大值 八 本题满分八 本题满分 7 分 分 设向量组 123 线性相关 向量组 234 线性无关 问 1 1 能否由 23 线性表出 证明你的结论 2 4 能否由 123 线性表出 证明你的结论 九 本题满分九 本题满分 7 分 分 设 3 阶矩阵A的特征值为 123 1 2 3 对应的特征向量依次为 123 111 1 2 3 149 又向量 1 2 3 1 将 用 123 线性表出 2 求 n nA 为自然数 十 填空题十 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已知 11 0 46 P AP BP CP ABP ACP BC 则事件A B C全不发生的概率为 2 设随机变量X服从参数为 1 的指数分布 则数学期望 2 e X E X 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X与Y独立 X服从正态分布 2 NY 服从 上的均匀分布 试 求ZXY 的 概 率 分 布 密 度 计 算 结 果 用 标 准 正 态 分 布 函 数 表 示 其 中 2 2 1 e 2 t x xd t 1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 函数 1 1 2 0 x F xdt x t 的单调减少区间为 2 由曲线 22 3212 0 xy z 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点 0 3 2 处的指向外 侧的单位法向量为 3 设 函 数 2 f xxxx 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 则其中系数 3 b的值为 4 设数量场 222 ln uxyz 则div grad u 5 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零 且A的秩为1 n 则线性方程组 AX0的通 解为 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 sin 234 0 sin x f xtdt g xxx 则当0 x 时 f x是 g x的 A 等价无穷小 B 同价但非等价的无穷小 C 高阶无穷小 D 低价无穷小 2 双纽线 22 222 xyxy 所围成的区域面积可用定积分表示为 A 4 0 2cos2 d B 4 0 4cos2 d C 4 0 2cos2 d D 2 4 0 1 cos2 2 d 3 设有直线 1 158 121 xyz l 与 2 l 6 23 xy yz 则 1 l与 2 l的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 2 4 设曲线积分 e sin cos x L f tydxf xydy 与路径无关 其中 f x具有一阶连 续导数 且 0 0 f 则 f x等于 A ee 2 xx B ee 2 xx C ee 1 2 xx D ee 1 2 xx 5 已知 123 24 369 t QP为三阶非零矩阵 且满足0 PQ则 A 6t 时P的秩必为 1 B 6t 时P的秩必为 2 C 6t 时P的秩必为 1 D 6t 时P的秩必为 2 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 21 lim sincos x x xx 2 求 e e1 x x x dx 3 求微分方程 22 x yxyy 满足初始条件 1 1 x y 的特解 四 四 本题满分本题满分 6 分分 计 算 2 2 xzdydzyzdzdxz dxdy 其 中 是 由 曲 面 22 zxy 与 22 2zxy 所围立体的表面外侧 五 五 本题满分本题满分 7 分分 求级数 2 0 1 1 2 n n n nn 的和 六 六 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 10 分分 1 设在 0 上函数 f x有连续导数 且 0 0 0 fxkf 证明 f x在 0 内有且仅有一个零点 2 设 bae 证明 ba ab 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 已知二次型 222 12312323 2332 0 f x x xxxxax x a 通过正交变换化成标准形 222 123 25 fyyy 求参数a及所用的正交变换矩阵 八 本题满分八 本题满分 6 分 分 设A是n m 矩阵 B是m n 矩阵 其中 nm I是n阶单位矩阵 若 ABI证明B的 列向量组线性无关 九 本题满分九 本题满分 6 分 分 设物体A从点 0 1 出发 以速度大小为常数v沿y轴正向运动 物体B从点 1 0 与 A同时出发 其速度大小为2 v方向始终指向 A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程 并写出初始条件 十十 填空题 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品 任意抽取两次 每次抽一个 抽出后不再放回 则第 二次抽出的是次品的概率为 2 设随机变量X服从 0 2 上的均匀分布 则随机变量 2 YX 在 0 4 内的概率分布 密度 Y fy 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X的概率分布密度为 1 e 2 x f xx 1 求X的数学期望EX和方差 DX 2 求X与X的协方差 并问X与X是否不相关 3 问X与X是否相互独立 为什么 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 0 11 limcot sin x xx 2 曲面e23 x zxy 在点 1 2 0 处的切平面方程为 3 设esin x x u y 则 2u x y 在点 1 2 处的值为 4 设区域D为 222 xyR 则 22 22 D xy dxdy ab 5 已知 1 1 1 2 3 1 2 3 设 A 其中 是 的转置 则 n A 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只只有一个符有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 434234 222 2 222 sin cos sincos sincos 1 x Mxdx Nxx dx Pxxx dx x 则有 A NPM B MPN C NMP D PMN 2 二元函数 f x y在点 00 xy处两个偏导数 00 x fxy 00 y fxy 存在是 f x y 在该点连续的 A 充分条件而非必要条件 B 必要条件而非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 3 设常数0 且级数 2 1 n n a 收敛 则级数 2 1 1 nn n a n A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与 有关 4 2 0 tan 1 cos lim2 ln 1 2 1 x x axbx cxde 其中 22 0 ac 则必有 A 4bd B 4bd C 4ac D 4ac 5 已知向量组 1234 线性无关 则向量组 A 12233441 线性无关 B 12233441 线性无关 C 12233441 线性无关 D 12233441 线性无关 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 设 2 2 2 1 cos 1 cos cos 2 t xt yttudu u 求 dy dx 2 2 d y dx 在 2 t 的值 2 将函数 111 lnarctan 412 x f xxx x 展开成x的幂级数 3 求 sin 2 2sin dx xx 四 四 本题满分本题满分 6 分分 计 算 曲 面 积 分 2 222 S xdydzz dxdy xyz 其 中S是 由 曲 面 222 xyR 及 0 zR zR R 两平面所围成立体表面的外侧 五 五 本题满分本题满分 9 分分 设 f x具有二阶连续函数 0 0 0 1 f f 且 2 0 xy xyf x y dxfxx y dy 为一全微分方程 求 f x及此全微分方程的 通解 六六 本题满分本题满分 8 分分 设 f x在点0 x 的某一邻域内具有二阶连续导数 且 0 lim0 x f x x 证明级数 1 1 n f n 绝对收敛 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 已知点A与B的直角坐标分别为 1 0 0 与 0 1 1 线段AB绕x轴旋转一周所成的旋 转曲面为 S求由S及两平面0 1zz 所围成的立体体积 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 设四元线性齐次方程组 为 12 24 0 0 xx xx 又已知某线性齐次方程组 的通解为 12 0 1 1 0 1 2 2 1 kk 1 求线性方程组 的基础解析 2 问线性方程组 和 是否有非零公共解 若有 则求出所有的非零公共解 若没有 则说明理由 九 本题满分九 本题满分 6 分 分 设A为n阶非零方阵 A是A的伴随矩阵 A是A的转置矩阵 当 AA时 证明 0 A 十 填空题十 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 已 知A B两 个 事 件 满 足 条 件 PA BPA B 且 P Ap 则 P B 2 设相互独立的两个随机变量 X Y具有同一分布率 且X的分布率为 X 0 1 P 1 2 1 2 则随机变量max ZX Y 的分布率为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X和Y分别服从正态分布 2 1 3 N和 2 0 4 N且X与Y的相关系数 1 2 xy 设 32 XY Z 1 求Z的数学期望EZ和DZ方差 2 求X与Z的相关系数 xz 3 问X与Y是否相互独立 为什么 1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 sin 0 lim 1 3 x x x 2 2 0 2 cos x d xt dt dx 3 设 2 a b c则 abbcca 4 幂级数 21 12 3 n nn n n x 的收敛半径R 5 设 三 阶 方 阵 A B满 足 关 系 式 1 6 A BAABA且 1 00 3 1 00 4 1 00 7 A则 B 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选每小题给出的四个选项中项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设有直线 L 3210 21 030 xyz xyz 及平面 4220 xyz 则直线L A 平行于 B 在 上 C 垂直于 D 与 斜交 2 设在 0 1 上 0 fx 则 0 1 1 0 ffff 或 0 1 ff 的大小顺序是 A 1 0 1 0 ffff B 1 1 0 0 ffff C 1 0 1 0 ffff D 1 0 1 0 ffff 3 设 f x可导 1sin F xf xx 则 0 0f 是 F x在0 x 处可导的 A 充分必要条件 B 充分条件但非必要条件 C 必要条件但非充分条件 D 既非充分条件又非必要条件 4 设 1 1 ln 1 n n u n 则级数 A 1 n n u 与 2 1 n n u 都收敛 B 1 n n u 与 2 1 n n u 都发散 C 1 n n u 收敛 而 2 1 n n u 发散 D 1 n n u 收敛 而 2 1 n n u 发散 5 设 111213111213 21222321222312 313233313233 010100 100 010 001101 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ABPP 则必有 A 12 APP B B 21 AP P B C 12 PP A B D 21 P PA B 三 三 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 10 分分 1 设 2 e 0 sin y uf x y zxzyx 其中 f 都具有一阶连续偏导数 且 0 z 求 du dx 2 设函数 f x在区间 0 1 上连续 并设 1 0 f x dxA 求 11 0 x dxf x f y dy 四 四 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 6 分分 满分满分 12 分分 1 计算曲面积分 zdS 其中 为锥面 22 zxy 在柱体 22 2xyx 内的部分 2 将函数 1 02 f xxx 展开成周期为 4 的余弦函数 五 五 本题满分本题满分 7 分分 设曲线L位于平面xOy的第一象限内 L上任一点M处的切线与y轴总相交 交点记 为 A已知 MAOA 且L过点 3 3 2 2 求L的方程 六 六 本题满分本题满分 8 分分 设函数 Q x y在平面xOy上具有一阶连续偏导数 曲线积分2 L xydxQ x y dy 与 路径无关 并且对任意t恒有 1 1 0 0 0 0 2 2 tt xydxQ x y dyxydxQ x y dy 求 Q x y 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 假设 函数 f x和 g x在 a b上存 在二 阶导 数 并且 0 0 g xf af bg ag b 试证 1 在开区间 a b内 0 g x 2 在开区间 a b内至少存在一点 使 ff gg 八 本题满分八 本题满分 7 分 分 设三阶实对称矩阵A的特征值为 123 1 1 对应于 1 的特征向量为 1 0 1 1 求 A 九 本题满分九 本题满分 6 分 分 设A为n阶矩阵 满足 AAI I是n阶单位矩阵 A是A的转置矩阵 0 A求 AI 十 填空题十 填空题 本本题共题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数 每次射中目标的概率为 0 4 则 2 X的数学期望 2 E X 2 设X和Y为两个随机变量 且 34 0 0 0 0 77 P XYP XP Y 则 max 0 PX Y 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量X的概率密度为 X fx e 0 x 0 0 x x 求随机变量eXY 的概率密度 Y fy 1996 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设 2 lim 8 x x xa xa 则a 2 设一平面经过原点及点 6 3 2 且与平面428xyz 垂直 则此平面方程为 3 微分方程22exyyy 的通解为 4 函数 22 ln uxyz 在点 1 0 1 A处沿点A指向点 3 2 2 B 方向的方向导 数为 5 设A是4 3 矩 阵 且A的 秩 2 r A而 102 020 103 B则 r AB 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中 只有一个符只有一个符 合题目要求合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 已知 2 xay dxydy xy 为某函数的全微分 a则等于 A 1 B 0 C 1 D 2 2 设 f x具有二阶连续导数 且 0 0 0 lim1 x fx f x 则 A 0 f是 f x的极大值 B 0 f是 f x的极小值 C 0 0 f是曲线 yf x 的拐点 D 0 f不是 f x的极值 0 0 f也不是曲线 yf x 的拐点 3 设0 1 2 n an 且 1 n n a 收敛 常数 0 2 则级数 2 1 1 tan n n n na n A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 散敛性与 有关 4 设有 f x连续的导数 22 0 0 0 0 0 x ffF xxtf t dt 且当0 x 时 F x 与 k x是同阶无穷小 则k等于 A 1 B 2 C 3 D 4 5 四阶行列式 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ab ba 的值等于 A 12341 2 3 4 a a a abb bb B 12341 2 3 4 a a a abb bb C 121 2343 4 a abba abb D 232 3141 4 a ab ba abb 三 三 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 10 分分 1 求心形线 1 cos ra 的全长 其中0a 是常数 2 设 11 10 6 1 2 nn xxxn 试证数列 n x极限存在 并求此极限 四 四 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 6 分分 满分满分 12 分分 1 计算曲面积分 2 S xz dydzzdxdy 其中S为有向曲面 22 0 1 zxyx 其 法向量与z轴正向的夹角为锐角 2 设变换 2uxy vx