抛物线的几何性质(课堂版).ppt

定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的定义及标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 一 温故知新 1 到定点 3 5 与定直线2x 3y 21 0的距离相等的点的轨迹是 A 圆B 抛物线C 线段D 直线 练习 解析 3 5 点在直线2x 3y 21 0上 所以到 3 5 与定直线距离相等的点是过 3 5 且与直线垂直的直线 D 练习 2 填空 顶点在原点 焦点在坐标轴上 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 1 令x 0 由方程x 2y 4 0得y 2 当抛物线的焦点为F 0 2 时 设抛物线方程为x2 2py p 0 则由 2得p 4 所求抛物线方程为x2 8y 令y 0 由方程x 2y 4 0得x 4 当抛物线的焦点为F 4 0 时 设抛物线方程为y2 2px p 0 则由 4得p 8 所求抛物线方程为y2 16x 综上 所求抛物线方程为x2 8y或y2 16x 题型一求抛物线的标准方程练习3 求适合下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点在直线x 2y 4 0上 2 求焦点在x轴上 且点A 2 3 到焦点的距离是5的抛物线的方程 并写出它的焦点坐标与准线方程 探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面都是抛物镜面 抛物镜面 抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面 灯泡放在抛物线的焦点位置上 通过镜面反射就变成了平行光束 这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理 平行光线射到抛物镜面上 经镜面反射后 反射光线都经过抛物线的焦点 这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据 练习4 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程和焦点位置 40 30 解 设抛物线的标准方程为 y2 2px 由条件可得A 40 30 代入方程得 302 2p 40 解之 p 故所求抛物线的标准方程为 y2 x 焦点为 0 抛物线的几何性质 x y o F x y o F x y o F x y o F 范围 对称轴 顶点 离心率 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 与直线的倾斜角无关 与抛物线有关的定值 最值问题例4 已知抛物线x2 4y 点P是抛物线上的动点 点A的坐标为 12 6 求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值 故 PA y PA PF 1 由图可知 当A P F三点共线时 PA PF 取最小值为 AF 13 故所求距离之和的最小值为 AF 1 12 变式训练1 2008 辽宁高考 已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点 则点P到点 0 2 的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 A 变式训练2 已知抛物线y2 2x的焦点是F 点P是抛物线上的动点 又有点A 3 2 求 PA PF 的最小值 并求出取最小值时P点