电动力学习题解答5.doc

第五章 电磁波的辐射1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出和的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。解：真空中的麦克斯韦方程组为， （1）， （2）， （3） （4）如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分量，即，；，；，；由（1）得： （5）由（2）得： （6）由（3）得： （7）由电荷守恒定律得：又因为 ，所以 ，即 （8）（7）式简化为 （9）所以麦克斯韦方程租的新表示方法为： （10）由引入标势，代入得，上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电荷产生的库仑场。2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若，则和可完全由矢势决定。若取，这时满足哪两个方程？解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若，则麦氏方程表示为： （1） （2） （3） （4） 其中，由于（4）式，引入矢势A，使 （5）即可完全由矢势决定。 将（5）代入（1），得：， （6）由此引入标势，使，即 （7）将（7）式代入（3）得： （8）所以，可由决定，进而，也可完全由矢势决定。如果取，由（8）式得： （9）将（5）、（7）代入（2），并注意到，得： （10）（9）、（10）即为时满足的两个方程。3. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势表示，其中，垂直于z轴方向。证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为沿z轴方向传播的平面波解为， 与满足洛伦兹条件：。所以，即 因此，只要给定，就可以确定，从而和随之确定。由于， 所以和只与矢势的横向分量有关，即平面电磁波可由来表示，即， 其中根据题意可记为，其方向与z轴垂直。4. 设真空中矢势可用复数傅里叶展开为，其中是的复共轭。（1）证明满足谐振子方程。（2）当选取规范，时，证明。（3）把和用和表示出来。解：（1）证明：因为所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： （1）在洛伦兹规范下，考虑到真空中，故，所以（1）式化为 （2）而 于是 （3）因为 ，所以所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满足谐振子方程。（2）当选取规范，时因为，是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有（3）已知，所以5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。（1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。（2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。（3）证明和可通过Z用下列公式表出：，。（1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有 （1）将代入（1）得： （2）即：，所以， （3）（2）证明：因为标势在洛伦兹规范下有方程：将代入，得： （4）令，则上式化为 ，即 （5）与方程的推迟解类比，得方程（5）在真空中的推迟解为 （6）（3）将，代入及，得：，6. 两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。证：电偶极矩的变化产生的辐射场为：，磁偶极矩的变化产生的辐射场为：， 在两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞的过程中，取两粒子的连线为x轴，则系统的电偶极矩由于两粒子质量相同，根据牛顿第二定律，有，所以，因此系统的电偶极矩产生的辐射场为0；又由于系统的磁偶极矩，所以系统的磁偶极矩产生的辐射场为0，即两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，电偶极辐射和磁偶极辐射都不会发生。7. 设有一球对称的电荷分布，以频率沿径向作简谐振动，求辐射场，并对结果给以物理解释。解：因为电荷为球对称分布，不失一般性，设球面上均匀分布了总电量为的电荷，于是，球面电荷密度为取如图所示相对的两块小面元dS1, dS2, 由于两块小面元对应相同的立体角，故有相同的面积，因为两电荷元球对称分布，又以相同的频率沿径向作简谐振动，所以有，故此两电荷元的振动不能产生辐射场。根据场的叠加原理整个球对称分布的电荷体系沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场的振动，辐射场为0。8. 一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为。设此飞轮以恒定角速度旋转，求辐射场。解：设飞轮边缘的厚度为d，于是边缘上的电荷面密度，体系的电偶极矩为体系的磁偶极矩由此得，故辐射场为0。9. 利用电荷守恒定律，验证和的推迟势满足洛伦兹条件。证明：推迟势A与可写作：，其中。对于的函数，有因为所以由于，所以另外，所以由电荷守恒定律，即得和的推迟势满足10.半径为的均匀永磁体，磁化强度为，球以恒定角速度绕通过球心而垂直于的轴旋转，设，求辐射场和能流。（提示：以角速度转动，可分解为相位差为的互相垂直的线振动；直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系为解：本题相当于一个位于原点的磁偶极子的旋转，此磁偶极子的磁偶极矩为：其旋转振荡可分解为x，y方向上相位差为/2的简谐振荡的合成。 ，用复数形式表达为：，根据磁偶极矩辐射场公式，得同理可得 再根据直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系同理，根据辐射场公式，及坐标基矢变换关系，可得： 11. 带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为。求远处的辐射电磁场和辐射能流。解：带电粒子作匀速圆周运动，其磁偶极矩是常矢量，因此不产生电磁辐射，但此系统的电偶极矩是一旋转的变化量，仿上题解法，把旋转量分解为x，y方向上的两个简谐振荡：由此可得： ， 根据公式 及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系得： 再根据公式 ，及直角坐标基矢与球坐标基矢变换关系，得，12. 设有一电矩振幅为，频率为的电偶极子位于距理想导体平面为处，平行于导体平面。设，求在处电磁场及辐射能流。解：如图所示，设平面xoy是导体平面，利用镜像法，构造图中电偶极子的镜象。由图可得：， ， 电偶极子产生的辐射磁场为电偶极子的镜象产生的辐射磁场为所以 再由磁场求出：13. 设有线偏振平面波照射到一个绝缘介质球上（在z方向），引起介质球极化，极化矢量是随时间变化的，因而产生辐射。设平面波的波长远大于球半径，求介质球所产生的辐射场的能流。解：由题设条件，平面波的波长远大于球半径，可以认为整个介质球每一时刻都处于匀强电场中，极化矢量