椭圆及其标准方程.ppt

2 1 1椭圆及其标准方程 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 生活中的椭圆 仙女座星系 星系中的椭圆 传说中的 飞碟 动画演示 太阳系行星的运动 思考 数学实验 1 取一条细绳 2 把它的两端固定在板上的两个定点F1 F2 3 用铅笔尖 M 把细绳拉紧 在板上慢慢移动看看画出的图形 1 在椭圆形成的过程中 细绳的两端的位置是固定的还是运动的 2 在画椭圆的过程中 绳子的长度变了没有 说明了什么 3 在画椭圆的过程中 绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系 请你归纳出椭圆的定义 它应该包含几个要素 1 由于绳长固定 所以点M到两个定点的距离和是个定值 2 点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离 一 椭圆的定义 平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 2a 大于 F1F2 的点的轨迹叫椭圆 定点F1 F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距 2C 椭圆定义的文字表述 椭圆定义的符号表述 2a 2c M F2 F1 小结 椭圆的定义需要注意以下几点 1 平面上 这是大前提2 动点M到两定点F1 F2的距离之和是常数2a3 常数2a要大于焦距2C 思考 1 当2a 2c时 轨迹是 椭圆 2 当2a 2c时 轨迹是一条线段 是以F1 F2为端点的线段 3 当2a 2c时 无轨迹 图形不存在 4 当c 0时 轨迹为圆 O r 设圆上任意一点P x y 以圆心O为原点 建立直角坐标系 两边平方 得 回忆在必修2中是如何求圆的方程的 求曲线方程的方法步骤是什么 建立适当的直角坐标系 设M x y 是曲线上任意一点 由限制条件 列出几何等式 写出适合条件P的点M的集合P M P M 用坐标法表示条件P M 列出方程f x y 0 化简方程f x y 0 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则 对称 简洁 方案一 解 取过焦点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设M x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 M与F1和F2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则F1 F2的坐标分别是 c 0 c 0 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 代入坐标 2 椭圆的标准方程的推导 两边除以得 由椭圆定义可知 总体印象 对称 简洁 像 直线方程的截距式 焦点在y轴 焦点在x轴 椭圆的标准方程 图形 方程 焦点 F c 0 F 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 MF1 MF2 2a 2a 2c 0 定义 两类标准方程的对照表 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 练习1 判定下列椭圆的焦点在哪个轴 并指明a2 b2 写出焦点坐标 答 在X轴 3 0 和 3 0 答 在y轴 0 5 和 0 5 答 在y轴 0 1 和 0 1 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 1 口答 下列方程哪些表示椭圆 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 练习 0 b 9 练习 a 3 练习 1 方程4x2 ky2 1的曲线是焦点在y轴上的椭圆 则k的范围是 2 椭圆mx2 ny2 mn m n 0 的焦点是 0 4 3 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 变式 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 1 2 2 已知椭圆的方程为 请填空 1 a b c 焦点坐标为 焦距等于 2 若C为椭圆上一点 F1 F2分别为椭圆的左 右焦点 并且CF1 2 则CF2 变题 若椭圆的方程为 试口答完成 1 若方程表示椭圆呢 5 4 3 6 3 0 3 0 8 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则 F2CD的周长为 例题 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 CF1 CF2 2a 练习 1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5 则P到另一个焦点的距离为 A 5 B 6 C 4 D 10 A 2 已知椭圆的方程为 焦点在X轴上 则其焦距为 A2B2C2D2 A 例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 2 小结 先定位 焦点 再定量 a b c 椭圆的焦点位置不能确定时 椭圆的标准方程一般有两种情形 必须分类求出 例1 平面内两个定点的距离是8 写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程 解 这个轨迹是一个椭圆 两个定点是焦点 用F1 F2表示 取过点F1 F2的直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 2a 102c 8 a 5c 4b2 a2 c2 9 b 3 因此这个椭圆的标准方程是 定义法求轨迹方程 变题1 已知 ABC的一边BC固定 长为8 周长为18 求顶点A的轨迹方程 解 以BC的中点为原点 BC所在的直线为x轴建立直角坐标系 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆 且焦点在轴上 所以可设椭圆的标准方程为 y o B C A x 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴上 2 a 4 b 1 焦点在坐标轴上 3 两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点P 1 5 2 5 解 因为椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 c 2 且c2 a2 b2 4 a2 b2 又 椭圆经过点 联立 可求得 椭圆的标准方程为 法一 或 法二 因为椭圆的焦点在y轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以所求椭圆的标准方程为 练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程 2 焦点为F1 0 3 F2 0 3 且a 5 答案 1 a b 1 焦点在x轴上 3 两个焦点分别是F1 2 0 F2 2 0 且过P 2 3 点 4 经过点P 2 0 和Q 0 3 小结 求椭圆标准方程的步骤 定位 确定焦点所在的坐标轴 定量 求a b的值 例1 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两焦点F1 F2所在直线为x轴 线段F1F2的垂直平分线为y轴 建立如图所示的直角坐标系xOy 则这个椭圆的标准方程可设为 根据题意有 即 因此 这个椭圆的标准方程为 3 例题 回顾小结 求椭圆标准方程的方法 解 例1 将圆x2 y2 4上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所的曲线的方程 并说明它是什么曲线 设所的曲线上任一点的坐标为 x y 圆 上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 所以 即 1 将圆按照某个方向均匀地压缩 拉长 可以得到椭圆 2 利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法 练习 1 到F1 2 0 F2 2 0 的距离之和为6的点的轨迹 2 到F1 0 2 F2 0 2 的距离之和为4的点的轨迹 3 到F1 2 0 F2 0 2 的距离之和为3的点的轨迹 解 1 因 MF1 MF2 6 F1F2 4 故点M的轨迹为椭圆 2 因 MF1 MF2 4 F1F2 4 故点M的轨迹不是椭圆 是线段F1F2 练习 例2已知圆A x 3 2 y2 100 圆A内一定点B 3 0 圆P过B点且与圆A内切 求圆心P的轨迹方程 解 设 PB r 圆P与圆A内切 圆A的半径为10 两圆的圆心距 PA 10 r 即 PA PB 10 大于 AB 点P的轨迹是以A B两点为焦点的椭圆 2a 10 2c AB 6 a 5 c 3 b2 a2 c2 2