数学物理方程——4 热传导方程的建立.pdf

数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 2 3 抛物型方程的建立抛物型方程的建立 推导固体的热传导方程时 需要利用能量守恒定律和关于热传导的Fourier定律 推导固体的热传导方程时 需要利用能量守恒定律和关于热传导的Fourier定律 热传导的Fourier定律定律 dt时间内 通过面积元时间内 通过面积元dS流入小体积元的热量流入小体积元的热量 dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率 与沿面积元外法线方向的温度变化率 u n 成正比成正比 dSdt也与 和成正比 即 也与 和成正比 即 式中式中k是导热系数是导热系数 1 热传导方程1 热传导方程 u dQk x y zdsdtku dSdt n 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 其中其中 n 为曲面为曲面 ds 的外法向向量的外法向向量 k为热传导系数为热传导系数 故从故从 2 1 1 t tS u Qkds dt n 12 tt到到这段时刻流入曲面内部的热量为这段时刻流入曲面内部的热量为 又 区域又 区域内温度升高吸收的热量为内温度升高吸收的热量为 221 Qcu x y z tu x y z tdxdydz 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 2 1 t t u cx y z t dt dxdydz t 2 1 t t u cx y z t dxdydz dt t 12 QQ 其中其中c为比热为比热 为密度 由能量守恒定律 为密度 由能量守恒定律 有有 221 Qcu x y z tu x y z tdxdydz 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 SS u kdSk u dSk u dxdydz n k udxdydz 2 1 t t u cdxdydz dt t 2 1 t t k udxdydz dt 流入的热量流入的热量 又由又由Gauss公式有公式有 故有故有 吸收的热量吸收的热量 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 u ck u t 222 22 222 uuuu aau txyz 222 222 uuu u xyz 2 k a c 因此有 即 其中 因此有 即 其中 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 F x y z t 2 u auf t F f c 若物体内部有热源若物体内部有热源 设单位时间内 设单位时间内 单位体积内所产生的热量为单位体积内所产生的热量为 则易得相应的热传导方程为则易得相应的热传导方程为 其中其中 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 0 u t 0u uf 如果我们考虑的是稳恒的温度场 如果我们考虑的是稳恒的温度场 即即u与时间与时间t 无关无关 温度分布达到某种动态平衡状态温度分布达到某种动态平衡状态 则有则有 这时上述两个方程分别变为这时上述两个方程分别变为 Laplace方程方程 和和 Poisson方程方程 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 解 长为 l 的柱形管 一端封闭一端开放 管外空 气中含有某种浓度为 u0的气体向管内扩散 试写出该扩散问题的定解问题 x y o xldxx 设管长方向为 x 轴 浓度函数为 u x t x 0 端封闭 x l 端开 放 管的横截面积为 S 由扩散定律知 x u Dq SdxuuSdtqq tdttxdxx dt 时间内流入微元 dv Sdx 内的气体分子满足的方程为 SdxuuSdtD x u x u tdtt xdxx 两边同除以Sdxdt 整理得 2 扩散方程2 扩散方程 0 2 2 x u D t u 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 若外界有扩散源 且扩散源的强度为 若外界有扩散源 且扩散源的强度为 f x y z t 这时 扩散方程应为这时 扩散方程应为 222 2 222 uuuu af x y z t txyz 从上面的推导可知 热传导和扩散这两种不同的物理现象 但可以用同一类方程来描述 从上面的推导可知 热传导和扩散这两种不同的物理现象 但可以用同一类方程来描述 其中 其中 2 aD 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 2 3热传导 或扩散 方程的定解条件2 3热传导 或扩散 方程的定解条件 x y z 0 t u f x y z t S uf 1 初值条件 若开始时刻物体的温度分布为 则 初值条件 若开始时刻物体的温度分布为 则 u 应满足初值条件应满足初值条件 2 边值条件分三种情况 边值条件分三种情况 1 给出任何时刻物体表面的温度值 若传热过程中边界上的温度为已知的函数 则有 给出任何时刻物体表面的温度值 若传热过程中边界上的温度为已知的函数 则有 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 0 S u n 1 u 11 dQk uu dsdt u qk n S 2 给出任何时刻物体边界曲面的热流密度函数 给出任何时刻物体边界曲面的热流密度函数 若传热过程中 物体若传热过程中 物体G与周围介质绝热 与周围介质绝热 即即S上的热量流量为零 则有上的热量流量为零 则有 3 若传热过程中 物体 若传热过程中 物体G与周围介质之间 有热量交换 以表示邻接处介质的温度 与周围介质之间 有热量交换 以表示邻接处介质的温度 由由Newton冷却定律知 冷却定律知 流出 流出G的热量 的热量 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 而单位时间内通过而单位时间内通过 G 的任一部分边界的任一部分边界 S 111 S Qk uu ds S 流入周围介质的热量为 的热量为 流入周围介质的热量为 的热量为单位时间流过单位时间流过 2 S u Qkds n 12 QQ S 由由及及 的任意性知的任意性知 11 0 S u kk uu n 若外部介质 温度为零 则若外部介质 温度为零 则 1 0 S u kk u n 数学物理方法数学物理方法抛物型方程的建立抛物型方程的建立 例题例题 解 长为 l 的均匀杆的导热问题 1 杆的两端温度保持零度 2 杆的两端均绝热 3 杆的一端恒温零度 另一端绝热 试写出三种情况下的边界条件 0 0 0