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非线性分析带非线性梯度项的半线性抛物方程的全部解和自相似解。作者：张清山 文章资料文章历史：2009年7月31号收到，2009年11月10发表。最高有效字符：35K15,35K55.关键字：半线性抛物方程，CAUCHY问题，自相似解，渐进自相似解。摘要：在这篇文章中，我们把带非线性梯度项的半线性抛物方程看作CAUCHY问题。我们用小范围的原始数据来证明全部解和自相似解。更多的，由原始数据的种类，我们说明所表现渐近地相似解当.1. 引言这篇论文处理的是关于半线性抛物方程的CAUCHY问题。 其中和是实值函数.我们研究这个问题的目的是要说明包括子相似解的全部解的存在问题，并描述一般问题解的大时间行为。许多作者已经证明当a(x)是恒定的而p=0时，是方程（1.1）（1.2）的自相似解和一般情况。（参看【1-6】）。当q=0方程（1.1）变成半流体的HAMILTON-JACOBI方程【7】或者KPZ方程（p=2）【8】。对这些方程河间尽显的稳固性，【9，5】的作者已经做了研究。关于其他半线性演进的方程，已经有许多自相似解的结论，请参看【10,11,1，2,12-14】和参考书。在方程（1.1）中a(x)0和p=0符合经典的半线性核心方程。在合理假设q值和原始数据的情况下，这个方程的整体存在性和有限时间解的放大已经被广泛的研究。参看【15】例子。到目前为止，带有关于相同问题梯度项的阻尼影响已经研究了许多。许多作者开始讨论下面的方程 ） 其中a0,b0.阻尼项可以阻止放大的可能。因此,在(1.3)中CAUCHY问题的全部解的存在及其相关联的问题依靠于在阻尼项和资源的非线性方面存在的平衡。更多详情请参看【16,5,17,18】和参考书。和方程（1.3）相比，在方程（1.1）中的结论远非完美。当p=2时，陈【19】讨论方程的最初边界值问题。他证明了如果那么这个解就是方程的全部解。而如果时，那么这个解在有限时间内放大。在方程，这里是正解。在CAUCHY问题(1.1)(1.2)中,a(x)0,qo,p+q1.SHI和WANG已经证明如果那么这个单的自相似解是唯一的，正的和放射对称的。如果那么在这个放射的对称情况下，有负数的单的自相似解。因此在（1.1）(1.2)一般自相似解的存在引起一个自然方程。在这篇论文中，在下面给出的(2.11)中,在一个适当的Banach空间，我们提供用固定点的函数中的独立变量为基础来映射的方法。通过这个方法，我们可以获得包括自相似解的带有或者不带有径向对称的全部解。准确的说，对小原始数据关于一个规范联系结构的方程，我们证明温和的整体存在界问题（1.1）（1.2）。当a(x)是关系为0的同类的射线，我们给出带特殊同质原始数据的自相似解的存在的结果。结果，我们证明了在下面的（2.7）中，如果不在中，带有被定义标准的原始数据充分小，那么（1.1）和（1.2）的解当时它的自相似解是渐进的。更重要的是，这个解的核心是通过这篇论文，我们需要下面众所周知的抛物线半群的滤波特性（参看【22】）：这里存在恒定的,就像方程 H（t）是线性算子半群并且分数幂微分算子被定义为接下来，我们介绍一些符号，让代表BANACH空间的标准，我们用表示适中分配的函数空间。的二重是被标记，用傅里叶标记f的转变，并且它的反函数是被标记。而且有时候u(x,t)可以用u(t)或者u简单的标记。这篇论文被安排如下。在第二部分，我们给出全部解的存在性和连续不断的原始数据。第三部分是自相似解的研究。在第四部分我们证明这个解的渐进性。2. 全部解的存在性和连续性在这个部分，我们证明问题（1.1）和（1.2）的全部解及其连续性。为了这些，我们考虑到下面符合（1.1）和（1.2）的非线性整体方程。（2.1）在这里p,q值被给定，我们可以选择的方程指定的它可以简单用下面的方程简单的核对和因为（1.1）和（1.2）的解，我们得到下面全部解的存在结果。定理1.假设由（2.2）和（2.3）分别给出，并且由下面的方程适中的分布如果充分小时，那么存在（2.1）的唯一的整体解如下更多的是，下面的结论：（b）在适合分配的情况下；（c）另外，让满足方程（2.7），并且让u和v分别是带有原始数据方程（2.1）的解。如果满足对满足那么对每一个。注释1. 这里要求P2，请参看（2.2）。定理1的证明：将X放在BOCHNER的重要方程,就像下面的方程这里的有（2.3）给出。X的子集被定义为这里的M被定义为连续的。对每一个,带有公制的ENDOWED,这个公制空间是完整的。接下来，对下面的映射我们使用关于的固定点方程让满足（2.7），,通过（2.11），我们有用这个估计（1.4），此时我们得到通过Holders的不等式，我们得到|其中是分别依赖于p和q正的连续的，我们从（2.13）和（2.14）可以推论出（2.15），我们从（2.15）得到因此，通过（2.6），（2.12），（2.16），我们得到这里是通过（2.4）（2.5）的用处来定义的有限的正的连续函数。通过（2.11），我们有由上面的（1.4），（2.18），同样用（2.6），我们推论出（2.18）这里通过（2.4）和（2.5）是被定义的有限的正的连续的函数。因此，在（2.17）和（2.19）中，利用最大范围我们得到这里现在在(2.20)中将放在方程另一方面，在（2.20）中，令，我们有。在令充分小，我们得到因此， 是一个从到他自身的严格的连续映射。由Banach缩减映射定理， 有为一定固定点在中，因此在（2.1）中，有唯一的整体解满足（2.8）。现在我们证明公式（a）,由（2.1），我们有利用（1.4），产生方程所以，得到结论(2.21)，由(2.5)知是一个正的连续的。从（2.5）中，我们得到（2.21）右边会于一点，因此在时，是连续的。由著名的结论知当时，它的连续性会得到处理。它完成预期方程(a)和(b)。下面我们将证明（c）.从证明的第一部分，我们知道这个解满足（2.8）。我们重写方程（2.1）（2.22）这里是个实数，选择一个实数如下利用估计函数（1.4），在（2.22）的右端分别有带有的第一项和带有的第二项，我们得到替换 到（2.25），我们得到根据（2.8），我们有它随着从（2.6）到（2.24）有相似的，从（2.22）我们知道。利用估计函数（1.4），在（2.22）的右端分别有带有的第一项和带有的第二项，我们得到应用（2.6），（2.8）和（2.24）得到结合（2.26）和（2.27），我们得到重复这个步骤，我们得到连续的满足很容易可以知道存在有限的，那么我们选择这样给出应用Holders不等式，对每一个我们有相似的，我们得到通过（2.28）和（2.29），方程（c）得到证明。最后，我们来证明连续依赖性。我们只需要证明当的情况。另一个变量r的结果能被精确的处理，和方程(c)的证明相似。应用（2.1），我们有用证明（2.16）的相同的方法，我们得到（2.31）从这里通过（2.4），（2.5）和我们可以知道是有限的正的连续函数。现在结合（2.30）和（2.32），我们得到结论我们选择充分小的以满足从（2.9），我们知道像上面进行相似的推测，我们可都得到因此证明完成。3. 自相似解在这个部分，我们假设a(x)是度为0的同质的。在这儿，通过自相似解我们打算u有下面的形式 通过这个定义，它很容易去证实如果u(x,t)是（1.1）的自相似解，那么原始数据满足这里被定义为首先，我们证明下面的论点，在建立自相似解和渐进自相似解时这个论点是有用的。论点1.分别由（2.2）和（2.3）给出，满足（3.3）这里，那么（3.4）另外，证明 在下面的证明中，C是以一般连续为命名的，这个在不同的地方是不同的。通过估计方程（1.4），我们有因此，我们得到为了证明（3.4），通过方法（3.5），它充分的去估计我们得到近似（i）和(ii)是分别相等于在【1】的第六部分（3.6）-（3.8）的证明是相似的。在这里我们省略证明过程。定理2.假设是带有单位0的同质函数。分别由（2.2）和（2.3）给出，满足（3.3）这里，那么（2.1）有带有原始数据的唯一整体解。充分小。证明 通过论点1，我们得到结论从定理1，我们推论出（2.1）有带有原始数据的唯一解的存在性。另一方面，也是带有相同原始数据的解。通过唯一性，我们有也就是说，u(x,t)是（2.1）的整体自相似解。4. 渐进自相似解在这一方面，时，我们证明带有一些特别非同质原始数据的问题（1.1）和（1.2）解代表渐进的自相似解。定理3假设分别由（2.2）和（2.3）给出，满足（3.3）这里，建立（4.1）其中由论点1给出的方程。那么（2.1）有存在的带有原始数据的唯一解v(x,t).更多的是，假设前面的a(x)是带有单位0的同质函数。充分小时，U是（2.1）有带有原始数据的自相似解。那么在下面的估计中这里也就是说，当时，v代表带有原始数据的渐进自相似解。论点2. 如果a(x)0且时有。然而，符