环境水力学ch2-2.ppt

环境水力学EnvironmentalHydraulics 随流扩散方程的若干解析解 环境工程教研室郑天柱 回顾 一 瞬时源 1 集中源 2 分布源 一维分子扩散 一维分子扩散 延伸分布源 有限分布源 注意点 公式中的x应理解为计算点P距排放点的距离 t应理解为距某一指定时刻的时段长 第三节若干定解条件下一维扩散方程的解 1 集中源2 起始分布源1 一维延伸分布源2 一维有限分布源二 时间连续源 1 一维延伸分布源 物理模型 在一条长管中 左端 x 0 充满了浓度均匀的红色染液 染液浓度为c0 管子的右端 x 0 装满清水 在t 0时 突然开启隔离红色染液和清水的闸板 管左端的红色染液立即向右端扩散 在x正方向 初始浓度具有瞬时源的特征 建立坐标系 一维扩散方程为 定解条件 x O 由于左边的红色染液是无限延伸的 所以染液只会沿x方向扩散 误差函数 性质 a 奇函数b 余误差函数定义为 利用瞬时集中源一维分子扩散的结论求解 在右端x 0的浓度场 可看成是各个d 微元引导的分浓度场的叠加 源分解 再叠加 O x c P x O d x c0 对于 点而言 该点的实际浓度值是所有各个d 扩散至这一点的浓度之和 O 单个d 微元引导的浓度为 O 积分求解 变量代换 取 则 浓度分布 c c0 x o c0 2 扩散至t时刻浓度 初始浓度 一维延伸源扩散演示 例题3 如图 某足够长的河道 在某时刻的浓度分布为C01 10mg L C02 8mg L 求C x t 已知D 2 10 5cm2 s O C02 8mg L C01 10mg L t 0 x 例3答案 其中 2 一维初始有限分布源 如果初始分布不是一端无限 而是局限在一定范围中间 如图 染料向两端扩散 O d x c0 z h h 一维初始有限分布源浓度分布 设坐标原点在源的中间 则定解问题为 解法 1 类似地 可通过变量代换求解 请同学们课后练习 源分解 再叠加 解法 2 两个延伸分布源相减 所以 其中 讨论 a 分布曲线关于x 0对称 且随着t的增大 浓度分布渐趋平坦 设想用一张平面在x 0点把它们截开分为两半 显然不影响浓度分布 这种情况可用来表示一端是固壁的有限分布源的扩散 b t 0 x h c c0 x h c 0 满足初始条件 静水中一维初始有限源扩散演示 二 时间连续源 若污染物质的投放不是一次瞬间完成的 而是持续一定时间 这样的污染源称为时间连续源 1 一维扩散时间连续源 设源断面为空间坐标的原点 开始投放时刻为时间起点 O x c0 建立坐标系 扩散方程为 初始条件 边界条件 求解方法之一 量纲分析法设解为 C0为恒定时间连续源的投放浓度 其中 无量纲变量 于是 而故 由于 因为故 将上述结果代入一维扩散方程中 可得 即 经过变换 把扩散方程变成了常微分方程 求解该方程 满足边界条件 可解得 由边界条件得 1 一维扩散时间连续源 设源断面为空间坐标的原点 开始投放时刻为时间起点 O x c0 建立坐标系 扩散方程为 初始条件 边界条件 求解方法之二 拉普拉斯变换 把x当作参变量 作c x t 关于t的拉普拉斯变换 积分变换 Laplace变换的定义 Laplace变换的性质 1 线性运算 其中 2 指数函数 3 斜坡函数 4 正弦函数 5 脉冲函数 微分变换 积分变换 作变换 变换为 其中 A A 为积分常数 通解为 求积分常数 综合上述 令x为离原点的距离 则有 浓度分布 表示一维扩散 时间连续源情况下浓度的时空分布 静水中一维时间连续源扩散演示 若源点投入浓度非恒定 对于时间连续非恒定源 即x 0处的源函数c0 随时间是变化的 c0 在每个d 时间增量中 x 0处的浓度变化为 它引导的浓度分布为 d O t t时刻总的浓度是t以前全部时段内浓度分布的加和 即 若源点给定质量速率 源投放时间从0至t的每个块团所引起的浓度总和 即 这里 当恒定时 浓度分布曲线 c c0 x t1 t2 O t1 t2 因C x t C x t 只需考虑x正方向即可 一维扩散 时间连续源浓度分布 复习 瞬时源 集中源 分布源 一维分子扩散 一维分子扩散 延伸分布源 有限分布源 连续源 一维分子扩散 2 三维扩散时间连续源 如有一条排污管道 恒定地向一巨大水体排出污染物 下面来讨论这个排污口在三维扩散条件下浓度的时空分布规律 以污染源为原点 建立坐标系 设排污管的排污口为空间坐标原点 空间任一点 的坐标P x y z P点至原点O的距离是r 管道开始排污的时刻为t 0 污染物排放速率为m g s 微分方程为 式中 为分子扩散系数 m 常数 初始及边界条件 三维扩散时间连续源的解法 引用三维扩散瞬时点源的结果 瞬时脉冲源引导的浓度分布 三维扩散时间连续源的解法 令单位时间投放的质量为m且恒定不变 若把连续时间t看作许多时