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各章学习重点及要求(1-5章)第一章 序言要求了解中学数学教学研究的内容和特点了解中学数学教学研究的研究方法重点中学数学教学研究是建立在数学和教育学的基础上，综合运用心理学、认知科学、思维科学、逻辑学等相关学科的成果于数学教育、教学的实践而形成的一门综合性的交叉学科；研究的对象限定为“中学数学教学”,即现阶段我国普通中学进行的有统一的数学教学大纲(或数学课程标准)、有确定的数学教材、由教师和学生共同参与、能产生预期社会效果的教与学的活动；内容包括中学数学“教”与“学”两个方面；具有综合性、实践性、理论性和发展性等特点。中学数学教学研究是一门实践性很强的综合性的理论学科，其研究方法不是单一的、孤立的,而是综合的、系统的,或者说是一种程序式的研究方法。这个程序大致包括四个阶段。即:深入调查；综合研究；反复实验；科学评估。第二章 中学数学教育概述要求了解数学研究的对象和特点。了解数学教育的功能。理解中学数学教学目的、教学内容的有关理论。掌握国内外中学数学教育的改革趋势。 重点数学的发展已经过几千年的历程。在不同的历史时期，随着数学本身的发展与人们对数学认识的深入，对“数学是什么”这一问题有着各种不同的论述：古希腊的亚里士多德把数量区分为离散的量和连续的量两种，认为数学是研究数量的科学。在19世纪以前,古典数学的主要成就是算术、几何学、代数学、微积分。对此,恩格斯曾经概括为:“纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。”19世纪以来，数学的基本部分分析学、几何、代数均发生质的变化，它的研究对象已经越出了对数量关系和空间形式最初意义的理解，因此，布尔巴基学派就认为“数学是研究抽象结构的科学。”目前，全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）在谈到数学的对象时，就是把恩格斯定义中的“现实世界”去掉了，即“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。关于数学的特点，引用数学它的内容、方法和意义中的提法，把数学的特点归结为:高度的抽象性；严谨的逻辑性；应用的广泛性。“为什么要进行数学教育”、“为什么要学习数学”这一问题对于从事数学教育事业的数学教师来说，是十分重要的问题。要充分认识数学教育的实际工作实践价值、认识价值、德育价值、美育价值，树立正确的数学教育观，以指导具体的教学实践，提高数学教学效果。中学数学教学是在中学教育系统中有目的，有计划地进行的。数学教学目的是数学教育一切活动的起点和归宿，也是确定数学教学内容和选择教学方法的依据和指南。确定中学数学教学目的要依据是：依据党的教育总目标及普通中学的性质和任务；依据数学的特点；依据中学生的年龄特征和认识水平。我国中学数学教学大纲（或课程标准）明确地阐述了中学数学数学教学目的，作为从事中学数学教育的工作者，必须认真学习大纲，正确、全面、深刻地理解教学目的。在中学数学教学内容的选择上，应遵循以下原则：社会作用的原则；与科学技术的发展相适应的原则；基础性原则；可接受性与发展性相结合的原则；教育作用原则；统一性与灵活性相结合的原则；后继性与衔接性原则；可行性原则。教学内容的安排体系要符合学生的心理发展规律；符合数学知识的科学性和系统性；遵循理论联系实际的原则；遵循联系性与衔接性原则。目前，中学数学教材的编排方式，从课程内容是否分科来编排，有分科式和统一式；从课程内容的发展上排列，有螺旋式、直线式、过滤式。目前，各国都在进行基础教育的改革，数学教育的观念、教学内容和方法正在发生深刻的变化。虽然，各国改革的侧重点不同，却有着共同的趋势，即注重数学的应用性和实践性；重视问题解决；注重数学思想方法；注重数学交流；注重能力培养；重视数学美育和人文精神的培养；注重培养学生的自信心；重视计算机和计算器的使用。因此，我们要时刻把握国内数学教育改革的脉搏，了解国际数学教育改革的动向。第三章 数学学习的基本理论要求了解布鲁纳、奥苏伯尔的认知学习理论。了解机械学习和有意义学习、接受学习和发现学习的区别。理解数学学习的基本过程。掌握数学学习理论的有关概念和数学学习的心理规律。重点理解以下概念：发现学习：所谓发现学习，就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则，而是在教师组织的学习情境中，学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。有意义学习：有意义学习就是学生能理解由符号所代表的新知识，理解符号所代表的实际内容，并能融会贯通。接受学习：是指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者。同化和顺应：用瑞士心理学家皮亚杰的话说：刺激输入的过滤或改变叫同化、内部图式的改变，以适应现实叫顺应。数学认知结构：所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。认知发现学习理论。布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：(1)新知的获得；(2)知识的改造；(3)检查知识是否恰当和充足。发现学习是锻炼学生的思维，使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。学习的关键是理解学科的基本结构。布鲁纳总结出的数学学习原理是：(1)建构原理；(2)符号原理；(3)比较和变式原理；(4)关联原理。布鲁纳的有关教学理论对我们的数学教学也有着重要的指导意义。有意义接受学习理论。奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。学习者产生有意义的接受学习的备条件是：(1)学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来；(2)新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。依据布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。同化和顺应是数学学习过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。在数学学习活动中，无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。依据学生认知结构的变化，数学学习过程可以分为输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段四个阶段。在任何条件下，已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础。这说明教师在教学时首先要考虑学生知道了什么?掌握到什么程度?然后再考虑教学内容的难易程度，呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。第四章 数学思维与数学学习要求了解数学思维的概念、特点和品质。理解创造性思维的特点及其培养的意义和基本途径。理解数学学习的基本思维过程，掌握数学思维的基本方法。重点理解下列概念：数学思维：数学思维是对数学对象概括的间接的反映，反映的是数学对象的本质和规律。形象思维：是人类基本思维形式之一，其基本特征就是以物象为思维材料,在整个思维过程中都不脱离形象,始终具有具体可感性。抽象逻辑思维：数学逻辑思维是数学思维最基本的形式,它的最基本的特征就是以反映客观事物数学本质属性的概念为思维材料。直觉思维：数学直觉思维是人脑对客观世界及其关系的一种非常直接的识别或猜想的心理状态。它是一种逻辑思维的跳跃式的思维。它是根据对事物的生动的知觉印象,直接把握事物的本质和规律。数学思维是思维的一种，它即包含一般思维所具有的本质,又表现出它自己的特性,这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。数学思维的基本成分,一般分为具体形象思维、抽象逻辑思维与直觉思维三种,它们分属于三种不同层次的思维。根据思维发展心理学的研究，人从出生到成年，思维发展可分为：感知动作思维；具体形象思维；形象抽象思维；经验型为主的抽象逻辑思维；理论型为主的抽象逻辑思维。思维的发出和发展，既服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性差异，体现在个体思维活动中的智力特征方面就是思维品质。较为重要的思维品质有：深刻性、广阔性、灵活性、敏捷性、批判性和创造性。在数学教学中要特别重视创造性思维的培养。数学学习的基本思维过程包括观察与试验、比较、归纳、分析与综合、抽象与概括等，这些思维过程经常是结合着进行的,不同的思维任务要求思维过程的不同组合。因此，必须了解各种思维过程的特点和它们在数学学习中的地位，在数学教学中重视对学生这些思维过程的培养与教育。第五章 数学学习与形式逻辑要求了解数学概念的含义和数学概念间的关系。掌握给数学概念下定义和数学概念划分的基本方法和规则。能够运用真值表进行数学命题的逻辑演算。掌握归纳推理、类比推理和演绎推理的基本模式和规则，并能够在数学学习和教学中运用。熟练掌握数学证明的基本方法。重点 数学概念是反映空间形式和数量关系本质属性的思维形式。任何概念都有内涵和外延，内涵是指数学概念所反映的数学对象的一切本质属性，外延是指数学概念所反映的数学对象的范围。所谓概念明确，就是要弄清一个概念的内涵是什么，外延有哪些。概念间的关系是指两个概念的外延之间的关系，可用集合的观点来分析，有同一关系、属种关系、交叉关系、反对关系、矛盾关系五类。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，数学中常见的定义方式有属加种差定义、发生定义、关系定义、外延定义、公理定义、递归定义等，要下好一个定义必须遵守定义的规则：定义要相称；定义应不循环；定义不用否定形式；定义应当简明扼要。划分是揭示概念外延的逻辑方法，划分的基本规则是：划分要相称；划分后各个子项应当互不相容；按同一标准进行划分。数学命题可分为简单命题和复合命题，简单命题可分为性质命题和关系命题。性质命题是断定某事物具有（或不具有）某种性质的命题，根据量项的“全称”或“特称”以及联项的“肯定”或“否定”，性质命题可分为全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题、特称否定命题。关系命题是断定事物与事物之间关系的命题。复合命题是由两个或两个以上其它命题被逻辑联结词结合而构成的命题。最常用的逻辑联结词有否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等五种。运用真值表进行命题演算。五种逻辑联结词的真值表表示是命题演算的基础，利用真值表可证明命题的逻辑等价、数学命题之间的关系，以及证明反证法的逻辑基础：逻辑等价式。逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。同一律、矛盾律和排中律是为了保持一个判断（或概念）本身的确定性和无矛盾性；充足理由律则是为了保持判断之间的联系有充分根据和有论证性。数学推理是寻求新结果，由已知到未知的重要方法，也是解答数学问题、进行数学证明的基本工具。推理要合乎推理形式，遵守推理规则。数学中常用的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。演绎推理（演绎法）是从一般性较大的前提，推出一般性较小的结论的推理。其前提和结论之间有着必然的关系。只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。归纳推理是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的推理,是一种从特殊到一般的推理方法；它在数学教学中的作用有：用归纳推理探索数学规律和用归纳推理帮助解题。类比推理是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的