太原市初中数学竞赛试题.doc

2004太原市初中数学竞赛试题一、选择题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分) 1.若0a1，-2b-1，则的值是().A.0B.-1C.-2 D.-32.设、是方程2x2-3|x|-2=0的二实数根，则的值是().A.-1B.1C.- D. 3.如图，在ABC中，A=60，C=80，C的平分线与A的外角平分线交于D，连结BD，则tanBDC的值是().A.1 B. C. D.4.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等(如图)，则白皮的块数是(B).A.22B.20C.18D.165.已知ABC中，C=90，AC=，BC=5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为().A. B. C. D.6.已知方程+3=，则此方程的正整数解的组数是().A.1 B.2 C.3D.4二、填空题(本题共有6个小题，每小题7分，共42分)7.圆中两条相交弦将圆内区域分为4个部分，请在圆中再画出三条弦，将圆内区域分为15个部分。8.已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+1=0有有理根，则k的值是_.9.已知梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O，AOD和AOB的面积分别为9和12，则梯形ABCD的面积是_.10.设二次函数y=x2+2ax+(a0)的图像顶点为A，与x轴交点为B、C，当ABC为等边三角形时，a的值为_.11.连结正方形两组对边上的对应三等分点，得右图，则由图中所有线段构成的矩形共有_个.12.如图，一抛物线弧的最大高度为15，跨度为60，则距离中点M与12的地方，弧的高度是_.三、已知n为正整数，一次函数y=x+n+1的图像与坐标轴围成三角形的外接圆面积为，求此一次函数的解析式.(16分)四、设四位数是一个完全平方数，且=2+1，求这个四位数.(16分)五、已知ABC内接于O，AD，BD为O的切线，作DEBC，交AC于E，连EO并延长交BC于F，求证：BF=FC.(17分)六、已知当-1x0时，二次函数y=x2-4mx+3的值恒大于1，求m的取值范围.(17分)参考答案1.解：a-10，b+20，a+b0,原式=-1-1-1=-3.选(D).2.解：原方程即2|x|2-3|x|-2=0，即(2|x|+1)(|x|-2)=0，2|x|+10，|x|-2=0，x=2.=-1.选(A).3.解：D在C的平分线上，D到CB，CA的距离相等，又D在A的外角平分线上，D到CA，AB的距离相等，D到AB，CB的距离相等，D在B的外角平分线上.ABC=40，DBA=70，DBC=110，又BCD=40，BDC=30，tanBDC=.选(D).4.解：设白皮有x块，则黑皮有32-x块，黑皮为正五边形，黑皮共有边数为5(32-x)条，又每块白皮有三条边和黑皮连在一起，黑皮共有边数还可表为3x条，由此得方程5(32-x)=3x，解之得白皮有x=20(块).选(B).5.解：延长AC与圆相交于E、F，则AF=5+，AE=5-，又知AB=6，由相交弦定理ADAB=AEAF得AD=.选(C).6.解：=10，x，y为正整数，、化为最简根式后应与为同类根式，只能有以下三种情况：+3=+9=4+6=7+3=10，共有三组解，选(C).7.解：圆中五条弦两两相交，且任何三条弦不交于一点，最多可将圆内区域分为16个部分，欲将圆内区域分为15个部分，只需有两条弦交于圆周上或交于圆外，或者有三条弦在圆内交于一点，如图示.8.解：方程有有理根，判别式1=(2k+3)2-4k为完全平方数.设(2k+3)2-4k=m2(m为正整数)，即4k2+8k+9-m2=0将式看作关于k的二次方程，由题设知有整数根，故式的判别式2=64-16(9-m2)=16(m2-5)应为完全平方数.而16是完全平方数,令m2-5=n2(n为正整数，且mn)，则有(m+n)(m-n)=5，解得将m=3代入式得k=-2或k=0(舍去)，k=-2.说明：本题也可由1=4(k+1)2+5为完全平方数直接求得k=-2.9.解：如图SAOD:SAOB=OD:OB=OA:OC=SAOB:SBOC，S2AOB=SAODSBOC，SBOC=16，又SCOD=SAOB=12，梯形ABCD的面积S=9+16+12+12=49.10.解：二次函数y=x2+2ax+(a0)的图像如右图，顶点A(-a,-)，图像与x轴的交点为B(x1,0)，C(x2,0)，对称轴与x轴交点为D，则|BC|=|x1-x2|=-.又ABC为等边三角形，|AD|=|BC|，即|-|=(-)，即a2+=0，a=-或a=0(舍去)，故a=-.11.解：观察图形可知：面积为11的矩形有9个，面积为22的矩形有4个，面积为33的矩形有1个，面积为12的矩形有12个，面积为13的矩形有6个，面积为23的矩形有4个.共有36个.说明：本题简捷算式为()2=36.12.解：以M为坐标原点，直线AB为x轴，直线MC为y轴，建立坐标系，则抛物线为二次函数y=ax2+15的图像，点B(30,0)在抛物线上，900a+15=0，a=-，y=-x2+15，当x=12时，y=-144+15=12.三、解：当y=0时，得x=-n，直线与x轴交点为A(-n,0).当x=0时，得y=n+1，直线与y轴交点为B(0,n+1).RtABO的外接圆的面积S=()2=，|AB|=5.由|AO|2+|BO|2=|AB|2，得n2+(n+1)2=25，即n2+n-12=0，n=3.一次函数解析式为y=x+4.四、解：设=m2，则32m99.又设=x，则=2x+1，于是100(2x+1)+x=m2，即201x=m2-100，即67(3x)=(m+10)(m-10).67是质数，m+10、m-10中至少有一个是67的倍数.若m+10=67k(k是正整数)，32m99，m+10=67，m=57.检验知572=3249，不合题意，舍去；若m-10=67k(k是正整数)，则m-10=67，m=77. =772=5929.五、证明：连接AO、DO，如图则1=3，DEBC，2=3，1=2，D、A、E、O四点共圆.DEO=DAO=90，DEEF，又DEBC，EFBC，BF=FC.六、解：二次函数y=x2-4mx+3的图像是一条开口向上的抛物线.(1)当抛物线的对称轴x=2m-1时，即m-时，要使二次函数的值在-1x0时恒大于1，只要y|x=-1=1+4m+3=4m+41即可，解得m-，-m-；(2)当抛物线的对称轴x=2m0时，即m0时，