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Mark Ma5 7 11Page 1 of 6 高等数学 一 学习笔记 一 函数 极限 连续一 函数 极限 连续一 函数 极限 连续一 函数 极限 连续 1 函数的概念设 x 和 y 是两个变量 D 是一个给定的数集 如果对于每一个数 xD 变量 y 按照一定的 法则总有确定的数值和它对应 则称 y 是 x 的函数 记做 y f x 2 函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 奇偶性 设函数 f x 的定义域 D 关于原点对称 即若 xD 则 必 xD 如果对于任意 xD f x f x 恒成立 则称 f x 为偶函数 如果对于任意 xD f x f x 恒成立 则称 f x 为奇函数 单调性 设函数 f x 的定义域为 D 区间 ID 如果对于区间 I 上的任意两点 x1 及 x2 当 x1 x2 时 f x1 f x2 恒成立 则称 f x 为在区间 I 上 单调减少 有界性 设函数 f x 的定义域为 D 数集 XD 如果存在正数 M 使得对于任一 xX f x M 恒成 立 则称 f x 为在区间 X 上有界 周期性 设函数 f x 的定义域为 D 如果存在一个不为零的数 l 使得对于任一 xD 有 xlD 且 f x l f x 恒成立 则称 f x 为周期函数 l 为 f x 为最小周期 3 复合函数及分段函数的概念 了解反函数及隐函数概念 复合函数 设函数 f u 的定义域为 D1 u 定义域为 D2 值域为 W2 若 W2D1 则称 y f x x 为复合函数 4 基本初等函数的性质及图形 幂函数 y u 为常数 u 1 2 3 1 1 2 为常见函数 记住图形 x 指数函数 y a 为常数 且 a 0 a1 定义域为 一 值域为 0 且过 0 1 点 即图形完 x a 全在 x 轴上方 I 若 a 1 则指数函数是单调增加的 若 a0 a1 定义域为 0 值域为 一 且过 1 0 点 即图形 x a 完全在 y 轴右方 I 若 a 1 则对数函数是单调增加的 若 aN 时的 一切 不等式都成立 那幺就称常数 a 是数列的极限 或者称数列收敛于 a 记为 n x axn n x n x 或 n axn n lim n xa 1 定理一 极限唯一性 数列不能收敛于两个不同的极限 n x 2 定理二 收敛数列有界性 如果数列收敛 那幺数列一定有界 n x n x 2 Mark Ma5 7 11Page 2 of 6 6 函数的极限 1 x时的极限 0 x 定义 如果对于任意给定的正数 不论它多幺小 总存在正数 使得对于 x 一 时的一切 0 x x 对应的函数值都满足不等式 f x A 0 或 A0 或 f x X 时的一切 x 对应的函数值都满足不等式 f x A M 時 有 g x f x h x 2 lim g x A lim h x A 那麼 lim f x 存在且为 A 夾逼準則 準則二 單調有界數列必有極限 兩个重要極限公式 1 sin lim 0 x x x e n n n 1 1 lim 10 函數的連續性概念 3 Mark Ma5 7 11Page 3 of 6 定義定義定義定義 設函數 y f x 在點 x0的某一鄰域內有定義 如 果函數 f x 當 x時的極限存在且等於它在 x0點 0 x 處的函數值 f x0 即 那麼就稱函數 f x 在點 x0連續 也可用 或 定義 lim 0 0 xfxf xx x y 左 連續和右連續的概念 間斷點類型間斷點類型間斷點類型間斷點類型 I 第一類間斷點 A 可去間斷點 即左 右極限相等 B 跳躍間斷點 即左 右極限不相等 II 第二類間斷點 A 無窮間斷點 即極限为 B 振蕩間斷點 連續函數的和 乘積 商均連續 分母不为 0 反函數的連續性反函數的連續性反函數的連續性反函數的連續性 若原函數在某區間上單值 單增 減 且連續 則其反函數在對應區間上也單值 單增 減 且連續 複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係複合函數極限与連續的關係 若 而函數 y f u 在 u a 處連續 那麼複合函數極限存在 ax xx lim 0 lim 0 afxf xx 若函數 u 在 x x0處連續 且 u0 而函數 y f u 在 u u0處連續 那麼複合函數 y f x 0 x x 在 x0也是連續的 基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性基本初等函數的連續性 在它們定義域內都是連續的 初等函數的連續性初等函數的連續性初等函數的連續性初等函數的連續性 在它們定義區間內都是連續的 提供了求極限的一個方法 閉區間上連續函數的性質 閉區間上連續函數的性質 閉區間上連續函數的性質 閉區間上連續函數的性質 I 最大值和最小值定理 在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值 而且也一定有界 II 零點定理 閉區間上連續的函數 若端點值异號 那麼在這開區間內 至少有一個零值點 III 介值定理 閉區間上連續的函數 若端點值为 A 和 B 那麼在這開區間內 至少有一個點使得 函數值介于 A 和 B 之間 推論 閉區間上連續的函數必取得介于最大值 M 和最小值 m 之間的任何值 二 一元函數微分學二 一元函數微分學二 一元函數微分學二 一元函數微分學 一一一一 導數与微分 導數与微分 導數与微分 導數与微分 1 導數定義 設 y f x 在點 x0的某個領域內有定義 且當自變量 x 在 x0 處取得增量 n 點 x0 n 仍在 該領域內 時 相應的函數 y 取得增量 m f x0 n 一 f x0 如果 m 与 n 之比當 n 趨向于 0 時的極限存 在 則稱函數 y f x 在點 x0 處可導 并稱這個極限为函數 y f x 在點 x0處的導數 記为 y x x0 即 y x x0 或 f n m n0 lim n xfnxf n lim 00 0 0 x dx dy 0 xx dx xdf 0 xx 2 導函數定義 f x 注 在某點的極限過程中 x 是常量 n 是變量 n xfnxf n lim 0 3 可導的充要條件 I 在處 左導數 f 和右導數 f 存在且相等 II 在開區間 a b 0 x 0 x 0 x 內任意點都可導 且右導數 f a 和左導數 f b 存在 則 f x 在 a b 上可導 4 切線方程 000 xxxfyy 法線方程 1 0 0 0 xx xf yy 5 可導与連續的關係 可導一定連續 連續不一定可導 6 反函數的導數 反函數的導數等於直接函數導數的倒數 即 無需換元 1 y xf 7 複合函數的求導 複合前之各函數在其有效的定義域內可導 則複合函數也可導 且 dx du du dy dx dy 8 高階導數 導數的導數 需熟記基本初等函數的一階導數和部分的 n 階導數 見附件 9 隱函數的導數求法 一般地 兩邊都對 x 求導即可 10 參數方程函數的導數 一般地 相關變化率 dy dt 和 dx dt dt dx dt dy dx dy 4 Mark Ma5 7 11Page 4 of 6 11 微分 通俗說 自變量的增量即微分 記为 dy f x dx 微分不變性 無論 u 是自變量還是另一變量的可微函數 微分的形式 dy f u du 保持不變 微分近似計算公式 f x f x0 f x0 x x0 可取 x0 0 已簡化計算 二二二二 中值定理与導數應用 中值定理与導數應用 中值定理与導數應用 中值定理与導數應用 1 儸爾定理 如果函數 f x 在閉區間 a b 上連續 在開區間 a b 內可導 且在區間端點的函數值相 等 即 f a f b 那麼在 a b 內至少有一點 a b 使得該點導數为零 即 f 0 2 拉格朗日中值定理 如果函數 f x 在閉區間 a b 上連續 在開區間 a b 內可導 那麼在 a b 內 至少有一點 a b 使等式 f b f a f b a 成立 3 柯西中值定理 如果函數 f x F x 在閉區間 a b 上連續 在開區間 a b 內可導 且 F x 在 a b 內的每一點都不为零 那麼在 a b 內至少有一點 a b 使等式 F f aFbF afbf 成立 4 儸比塔法則 條件 原式为或 其它部分如 0 一 00 0 lim lim xF xf xF xf 0 0 也可適用 但后者不存在 并不表示前者不存在 5 泰勒中值定理 如果函數 f x 在含有 x0的某個開區間 a b 內具有直到 n 1 階的導數 則當 x 在 a b 內時 f x 可表示为 的一個 n 次多項式与一個余項之和 0 xx 其中 2 0 02 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 這裡是 x0与 x 之間的某個值 1 0 1 1 n n n xx n f xR 6 麥克勞林公式 在上式中 令 x0 0 并令 0 0 那麼函數 f x 在閉區間 a b 上單調增加 2 如果在 a b 內 f x 0 那麼函數 f x 在閉區間 a b 上單調減少 8 函數的极值 設函數 f x 在區間 a b 上有定義 x0是 a b 內的點 在這一點的去心鄰域內 I 若 f x f x0 則 f x0 为 f x 的一個极 小值 定理定理定理定理 1 1 极值點一定是駐點 導數为 0 的點 或連續點 若該點不可導 駐點不一定是极值點 如 y x3 中 x 0 點僅是駐點 定理定理定理定理 2 2 第一充分 設 f x 在點 x0的一個鄰域內可導且 f x0 0 I 左側 f x 0 右側 f x 0 則极大值 II 左側 f x 0 則极小值 III 左右側 恒正或恒負 非 极值點 定理定理定理定理 3 第二充分 設 f x 在點 x0的一個鄰域內可導且 f x0 0 f x0 0 那麼 I f x0 0 极小值 9 最大值和最小值 I 變區間連續 開區間可導 則端點值与极值相比較可得出 II 任意區間可 導且只有一個駐點 且就是极值點 則其就是最值點 10 曲線的凹凸与拐點 凹凸定義凹凸定義凹凸定義凹凸定義 設 f x 在 a b 內連續 如果對 a b 內任意兩點 x1 和 x2 恒有 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 那麼其在 a b 內的圖形是凹的 如果恒有大於 則是凸的 如果 在 a b 上連續 且在 a b 內的圖形是凹 或凸 的 那麼就稱其在 a b 上的圖形是凹 或凸 的 凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法凹凸判定方法 用二階導數來判定 設 f x 在 a b 上連續 在 a b 內有一階和二階導數 則 I I 二階導數大於 0 則在 a b 是凹的 IIII 二階導數小於 0 則在 a b 是凸的 IIIIII 拐點 凹凸弧的 分界點为拐點 其二階導數为 0 但二階導數为 0 的點不一定是拐點 5 Mark Ma5 7 11Page 5 of 6 函數圖形描繪函數圖形描繪函數圖形描繪函數圖形描繪 確定定義域 求一 二階導數为 0 的實根 劃分定義域 確定升降 凹凸 极值 點 拐點 確定水平 垂直漸進線 在補充一些點 11 曲率 弧微分 ds dxy 2 1 平均曲率 單位弧段上切線轉角的大小 記为 K 即 K 其極限即为曲率 圓 K 1 r s 曲率公式 曲率圓於曲率半徑 2 32 1 y y K 三 一元函數積分學三 一元函數積分學三 一元函數積分學三 一元函數積分學 一一一一 不定積分 不定積分 不定積分 不定積分 1 原函數定義 如果在區間 I 內 可導函數 F x 的導數为 f x 則稱 F x 是 f x 在區間 I 上的原函 數 連續函數一定有原函數 2 不定積分定義 在區間 I 內 函數 f x 的帶有任意常項的原函數稱为 f x 在區間 I 內的不定積 分 記作 dxxf 3 不定積分性質 I 函數的和的不定積分等於各個函數的不定積分的和 II 常數可提到外面 4 第一類換元積分法 設 f u 具有原函數 u v x 可導 則有換元公式 xvu duufdxxvxvf 5 第二類換元積分法 設 x v t 是單調可導的 並且 v t 0 又設 f v t v t 有原函數 則有公 式 xvt dttvtvfdxxf 使用技巧 I I 如果被積函數含有 可作代換 x asint IIII 如果被積函數含有 22 xa 22 ax 可作代換 x atgt IIIIII 如果被積函數含有 可作代換 x asect 實際中 需靈活 22 ax 6 分部積分法 即 vduuvudv 使用技巧 I I xusinx cosx 和 xuax類型 設冪函數 xu U IIII xulogax和 xuarc 類型 設 log 或 arc 为 U 7 有理函數的積分 I I 真分式可分解成多項式和假分式之和 IIII 若假分式分母 Q x 能分解成一次 因式和二次質因式的乘積 則此式可分解成和的形式 IIIIII 若 Q x 含有因式 x 一 a k 則分解后有 下列之和 IVIV 若 Q x 含有因式 x2 px q k 且 p2 4q 則分 1 21 kk ax A ax A ax Ak 解后有下列之和 V V 需求出待定系數 A 12 22 2 11 kk qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM kk 2 M N 等 VIVI 分解后 只出現多項式和及 最后者應用配方公式可求 n ax A n qpxx NxM 2 得 即 結論結論結論結論 有理函數的原函數都是初等函數 有理函數的原函數都是初等函數 有理函數的原函數都是初等函數 有理函數的原函數都是初等函數 4 2 2 22 p q p xqpxx 8 三角函數的有理式積分 I I 定義 三角函數 均可化成 sinx 和 cosx 的形式 和常數經過有限次四則運算所構成的函數 IIII 規則 將正 余弦化成半角正切的形式 見下式 IIIIII 做變換 即可轉为有理式 2 1 2 2 2 sec 2 2 2 cos 2 sin2sin 22 x tg x tg x x tg xx x 2 1 2 1 2 sec 2 1 2 sin 2 coscos 2 2 2 2 22 x tg x tg x x tg xx x 6 Mark Ma5 7 11Page 6 of 6 作 u tg x 2 替換即可化簡为有理式 9 簡單無理函數的積分 形如及積分均可變量代換去根號變為有理式求積分 之後再代回 n baxxR n ecx bax xR 二二二二 定積分 定積分 定積分 定積分 1 定義 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 2 充分條件 I 設 f x 在 a b 上連續 則在 a b 上可積 II 有界 且只有有限間斷點 則可積 3 定積分性質 5 6 7 需 a b 的條件 I I 和差性 IIII 常數性 IIIIII 區間可分性 IVIV 若 f x 1 V V 若 f x 0 則積分0 VIVI b a abdx1 b a abMdxxfabm VIIVII 定積分中值定理 若連續 則至少存在一點滿足 b a abfdxxf 4 積分上限函數及其導數 若 f x 在 a b 連續 則積分上限函數在 a b 上有導 x a dttfx 數 x 在 a b x a xfdttf dx d x 5 牛頓 萊布尼玆公式 若 f x 連續 則 F x 为其一原函 b a b a b