《误差理论与数据处理》习题2及解答.pdf

第二章第二章 误差的基本性质与处理误差的基本性质与处理 习题及参考答案习题及参考答案 2 1 试分别求出服从正态分布 反正弦分布 均匀分布误差落在 2 2 中的概率 解 1 误差服从正态分布时 经变换上式成为 引入新变量 2 2 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ttt dedeP 84 0 840 41952 2 2 2 2 2 2 0 2 2 tdteP tt 2 误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为 2 a 所以区间 2 2 故 a a 1 11 2 22 d a P a a 3 误差服从均匀分布时 因其标准差为 3 a 所以区间 2 2 a 3 2 a 3 2 故 8282 0 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2 a a d a P a a 2 2 测量某物体重量共 8 次 测得数据 单位为 g 为 236 45 236 37 236 51 236 34 236 39 236 48 236 47 236 40 求其算术平均值及其标准差 解 选参考值 计算差值00 236 0 x00 236 ii xx 0 x 和残差 i 等列于表中 序 号 xi x i i 2 i 1 236 45 0 45 0 02 0 0004 2 236 37 0 37 0 06 0 0036 3 236 51 0 51 0 08 0 0064 4 236 34 0 34 0 09 0 0081 5 236 39 0 39 0 04 0 0016 6 236 48 0 48 0 05 0 0025 7 236 47 0 47 0 04 0 0016 8 236 40 0 40 0 03 0 0009 43 236 0 0 xxx 43 0 8 1 8 1 0 i i xx03 0 8 1 i i 0251 0 8 1 2 i i 1 或依算术平均值计算公式 n 8 直接求得 43 236 8 1 8 1 i i xx g 计算标准差 用贝塞尔公式计算 0599 0 18 0251 0 1 1 2 n n i i g 2 3 用别捷尔斯法 极差法和最大误差法计算习题2 2的标准差 并比较之 解 1 用别捷尔斯法计算 0687 0 78 41 0 253 1 1 253 1 1 nn n i i g 2 用极差法计算 8个测量数据的极差为 n 43minmax xxxx 236 51 236 34 0 17 查教材P18表2 4 n 8时d n 2 85 0596 0 85 2 17 0 n n d g 3 最大误差法计算 8个测量数据的最大残差为 09 0 4 max i 查教材P19表2 5 n 8时 1 K n 0 61 0549 061 009 0 max n i K g 2 4 测量某电路电流共5次 测得数据 单位为mA 为168 41 168 54 168 59 168 40 168 50 试求算术平均值及其标准差 或然误差和平均误差 解 选参考值 计算差值5 168 0 x5 168 ii xx 0 x 和残差 i 等列于表中 序 号 xi x i i 2 i 1 168 41 0 09 0 078 0 006084 2 168 54 0 04 0 052 0 002704 3 168 59 0 09 0 102 0 010404 4 168 40 0 10 0 088 0 007744 5 168 50 0 0 012 0 000144 488 168 0 0 xxx 012 0 5 1 5 1 0 i i xx0 5 1 i i 02708 0 5 1 2 i i 或依算术平均值计算公式 n 5 直接求得 488 168 5 1 8 1 i i xx mA 2 计算标准差 用贝塞尔公式计算 0823 0 15 02708 0 1 1 2 n n i i mA 若用别捷尔斯法计算 0930 0 45 332 0 253 1 1 253 1 1 nn n i i 用极差法计算 n 5时d n 2 33 0815 0 33 2 19 0 33 2 40 16859 168 n n d mA 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据 或然误差 0549 00823 0 3 2 3 2 mA 平均误差 06584 00823 0 5 4 5 4 mA 算术平均值的标准差 x 037 0 5 0823 0 n x 算术平均值或然误差R 0247 0037 0 3 2 3 2 X R mA 算术平均值平均误差T 0296 0037 0 5 4 5 4 X T mA 2 5 在立式测长仪上测量某校对量具 重复测量5次 测得数据 单位为mm 为20 0015 20 0016 20 0018 20 0015 20 0011 若测量值服从正态分布 试以99 的置信概率确 定测量结果 解 求算术平均值x 0015 20 5 0075 100 1 n l x n i i mm 求残余误差 各次测量的残余误差依次为0 0 0001 0 0003 0 0 0004 求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算 000255 0 15 1026 1 8 1 2 n n i i mm 用别捷尔斯公式计算 000224 0 45 0008 0 253 1 1 253 1 1 nn n i i mm 求算术平均值的标准差 000114 0 5 000255 0 n x 0001 0 5 000224 0 n x 求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布 并且置信概率P 2 t 99 则 t 0 495 查附录 3 表1正态分布积分表 得置信系数t 2 6 故 单次测量的极限误差 00066 0000663 0000255 06 2 lim tx 算术平均值的极限误差 0003 00002964 0000114 06 2 lim x x t 求得测量结果为 0003 00015 20 lim x x mm 2 6 对某工件进行5次测量 在排除系统误差的条件下 求得标准差 0 005mm 若要求测 量结果的置信概率为95 试求其置信限 解 因测量次数n 5 次数比较少 按t分布求置信限 极限误差 已知 P 95 故显著度 1 P 0 05 而自由度 n 1 5 1 4 根据显著度 0 05和自由度 查附录表3 的t分度表 得置信系数ta 2 78 所以算术平均值的置信限为 00622 0 5 005 0 78 2 lim x a tx mm 2 7 用某仪器测量工件尺寸 在排除系统误差的条件下 其标准差 0 004mm 若要求测量 结果的置信限为 0 005mm 当置信概率为99 时 试求必要的测量次数 解 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率 P 99 查正态分布表有 t 2 6 则置信限为 n tx lim 2 6 n 004 0 0 005 给定值 求得 n 4 32 取n 5 若测量误差符合t分布 已知置信概率 P 99 则显著度 0 01 由置信限 n tx a lim 0 005 有关系 ta125 1 25 1 n 当显著度 0 01时 7 查t分度表 有ta 3 50 满足上述等式 即求得 n 1 8为必要的测量次数 2 8 用某仪器测量工件尺寸 已知该仪器的标准差 0 001mm 若要求测量的允许极限误差 为 0 0015mm 而置信概率P为0 95时 应测量多少次 解 本题与2 7相似 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率 P 0 95 查正态分布表有 t 1 96 则极限误差为 n tx lim 1 96 n 001 0 0 0015 给定值 求得 n 1 7 取n 2 4 若测量误差符合t分布 已知置信概率 P 0 95 则显著度 0 05 由极限误差 n tx a lim 0 0015 有关系 ta15 15 1 n 当显著度 0 05时 3 查t分度表 ta 3 18 315 1 不合要求 4 查t分度表 ta 2 78 u n 故无根据怀疑测量列存在系统误差 按残余误差校核法 前5个残余误差和与后5个残余误差的差值 为 8 0 4 0 4 0 10 6 5 1 j j i i 两部分之差显著不为0 则有理由认为测量列中含有系统误差 为什么会得出互为矛盾的结论 问题出在本题给出的数据存在粗大误差 这就提醒 我们在判断是否有系统误差前 应先剔除粗大误差 然后再进行系统误差判断 2 16 对一线圈电感测量10次 前4次是和一个标准线圈比较得到的 后6次是和另一个标准 线圈比较得到的 测得结果如下 单位为mH 50 82 50 83 50 87 50 89 50 78 50 78 50 75 50 85 50 82 50 81 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差 解法一 用t检验法进行检验 前4次测量的算术平均值 8525 50 4 1 x x 后6次测量的算术平均值 7983 50 6 1 y y 00082 0 4 1 22 xxS ix 00105 0 6 1 22 yyS iy 44 2 00105 0600082 04 64 264 64 798 508525 50 t 由 4 6 2 8及取 0 05 查t分布表 得t a 2 31 因31 244 2 a tt 可判断两组数据可能存在系统误差 解法二 用秩和检验法进行检验 将两组数据按从小到大混合排列成下表 T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 50 82 50 83 50 87 50 89 yi50 75 50 78 50 78 50 81 50 82 50 85 已知 n1 4 n2 6 计算秩和T T 5 5 7 9 10 31 5 查表 T 14 T 30 因 T 31 5 T 30 可判断两组数据可能存在系统误差 10 解法三 用计算数据比较法检验 两组数据的算术平均值和标准差分别为 第一组数据 8525 50 4 1 x x 033 0 14 10275 3 1 3 2 1 n i 第二组数据 7983 50 6 1 y y 035 0 16 108334 62 1 4 2 2 n j 注 若以极差法计算标准差 计算结果也相近 034 0 06 2 82 5089 50 1 n n d 04 0 53 2 75 5085 50 2 n n d 两组数据算术平均值之差为 0542 07983 508525 50 yx 其标准差为 0481 0035 0033 0 222 2 2 1 因 0542 0 0962 02 2 2 2 1 故两组数据间无系统误差 以上计算 本人经过多次推导 应该无误 解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结 论 原因何在 请同学们仔细分析 本人分析原因如下 所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布 因此不能用t 检验法检验 解法三在计算标准差时 因测量次数少 用贝塞尔公式计算标准差误差大 极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布 解法二适合非正态分布的误差 得出 的结论正确 以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围 有局限性 2 17 等精度测得某一电压10次 测得结果 单位为V 为25 94 25 97 25 98 26 01 26 04 26 02 26 04 25 98 25 96 26 07 测量完毕后 发现测量装置有接触松动现象 为判 明是否因接触不良而引入系统误差 将接触改善后 又重新做了10次等精度测量 测得 结果 单位为V 为25 93 25 94 25 98 26 02 26 01 25 90 25 93 26 04 25 94 26 02 试用t检验法 取 0 05 判断两组测量值之间是否有系统误差 解 计算两组测量结果的算术平均值 001 26 10 1 x x971 25 10 1 y y 00155 0 10 1 22 xxS ix 00215 0 10 1 22 yyS iy 48 1 00215 01000155 010 1010 21010 1010 971 25001 26 t 由 10 10 2 18及取 0 05 查t分布表 得t a 2 1 因1 248 1 u n 故无根据怀疑测量列存在系统误差 又出现互为矛盾的结论 如何解释呢 2 19 对某量进行两组测量 测得数据如下 xi0 62 0 86 1 13 1 13 1 16 1 181 201 211 221 261 301 34 1 39 1 411 57 yi0 99 1 12 1 21 1 25 1 31 1 311 381 411 481 501 591 60 1 60 1 841 95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差 解 将两组数据按从小到大混合排列成下表 T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi0 62 0 86 1 13 1 131 161 181 20 1 211 22 1 261 30 yi 0 99 1 12 1 21 1 25 T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xi 1 34 1 39 1 41 1 57 yi1 31 1 31 1 38 1 41 1 481 50 1 591 60 1 60 1 841 95 已知n1 n2 15 因组数据的秩和较小 故以其数据的次序计算秩和 i x T 1 2 5 6 7 8 9 10 5 12 14 15 18 20 21 5 25 174 12 因n1 n2 15 10 秩和T近似服从正态分布 12 1 2 1 2121211 nnnnnnn NaN 其中数学期望和标准差 分别为 a 11 24 12 11515 1515 12 1 5 232 2 11515 15 2 1 2121211 nnnnnnn a 则置信系数t为 43 2 11 24 5 232174 aT t 选取置信概率99 显著度0 01 即取495 0 t 由附录表1查得 60 2 a t 因60 243 2 故第4个测量数据含测量误差 应当剔除 再对剩余的14个测得值重新计算 得 50 28 14 1 14 1 i i xx 0337 0 114 0148 0 1 14 1 2 n i i 1011 00337 033 由表知第14个测得值的残余误差 1011 0317 0 14 故也含粗大误差 应剔除 再重复验算 剩下的13个测得值已不包含粗大误差 用格罗布斯准则判别 已经计算出15个测量数据的统计特征量 57 28 x 265 0 将测得的数据按从小到大的顺序排列 有 40 28 1 x 17 04 2857 28 1 xx 52 29 15 x 95 057 2852 29 15 xx 首先判别是否含有粗大误差 15 x585 3 265 0 57 2852 29 15 15 xx g 查表2 13得 41 2 05 0 15 0 g 则 41 2 05 0 15 585 3 0 15 gg 故第4个测得数据包含粗大误差 应当剔除 再对剩下的14个测得值计算 判断是否含有粗大误差 已知 1 x50 28 x 034 0 94 2 034 0 40 2850 28 1 1 xx g 查表2 13得 37 2 05 0 14 0 g 则 37 2 05 0 14 94 2 0 1 gg 故第14个测得数据也包含粗大误差 应当剔除 再重复检验 其它各测得值已不再包含粗大误差 用狄克松准则判别 将测得的数据按从小到大的顺序排列 有 52 29 53 28 49 28 40 28 15 14 13 3 2 1 xxxxxx 判断最小值与最大值是否包含粗大误差 因n 15 以统计量和计算 1 x 15 x 22 r 22 r 04 1 49 2852 29 53 2852 29 3 15 13 15 22 xx xx r 692 0 53 2840 28 49 2840 28 13 1 3 1 22 xx xx r 14 查表2 14得 因 525 0 05 0 15 0 r 05 0 15 04 1 022 rr 和 05 0 15 692 0 0 22 rr 故 和 即所测的第4和第14个测量值 包含粗大误差 应予剔除 1 x 15 x 再重复检验剩余的13个测得值 已不再包含粗大误差 2 21 对某一个电阻进行200次测量 测得结果列表如下 测得电阻值 R 12201219 1218 121712161215121412131212 1211 1210 该电阻值出现次数 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 绘出测量结果的统计直方图 由此可得到什么结论 求测量结果并写出表达式 写出测量误差概率分布密度函数式 解 测量结果的统计直方图如下 由此可看出电阻值的阻值偏差