悖论与数学教学.doc

教育教学研究与实践顾鑫盈 文章摘要 文章以数学发展史上最为有名的三大悖论为例说明悖论对于数学发展所起的重要作用，随后结合教学心理学分析了悖论的教学功能，在此基础上提出了“悖论式教学流程”通过教学案例展现了悖论式教学的操作过程。关 键 词 悖论；教学功能；教学案例1作者简介：顾鑫盈，女，理学硕士，基础部教师悖论是以其逻辑手段深入到原有理论体系的根基，揭示原有理论隐含的客观矛盾。学生学习数学的过程虽不同于数学家数学探索的历程，但却有着相同的本质或相近的规律，考虑中学数学教学的特性，充分利用学生由于认知错误而导致的“悖论”进行教学，是实施数学新课程的今天应予以讨论的话题。 1悖论在数学发展史中的作用 在数学科学发展史中，悖论的发现往往意味着一个激动人心的重大数学问题的提出，激励着科学家们去冲破传统观念的束缚，运用创新的思维和观念去提出新假设、建立新理论，从而导致数学科学发生革命性的飞跃，使数学变得更加成熟，我们以数学发展史上最为著名的三大悖论的产生及解决为例说明之。第一个悖论毕达哥拉斯悖论。大约公元前5世纪（史称毕达哥拉斯时代），当时人们追求宇宙的和谐规律性，倡导“唯数论”的哲学观，认为宇宙的本质就是数的和谐，而他们所谓的“数的和谐”是指一切事物和现象都可以归结为整数或整数与整数之比，当然也就认为一切的数都可表达为整数或整数的比，后来毕达哥拉斯的学生希帕苏斯（Hippasus，公元前470年左右）发现数轴上存在不与任何已知数（有理数）对应的点，它无法用整数或整数比来表达，导致了无理数的发现，大大动摇了毕氏数学的基石，使的已构的数学大夏爆发了第一次严重危机（后来在公元前370年由毕氏学派的欧多克斯（Eudoxus）通过给比例下新定义的方法暂时消除），这次数学危机的解决使人类对数的认识从有理数扩充到实数范围，人们逐渐认识到了直觉与经验的局限性并开始重视演绎推理，某种程度上也促进了后来被称为欧氏几何与非欧几何的诞生，这不能不说是数学思想史上的一次重大革命1。第二个悖论贝克莱悖论。18世纪，牛顿在发明幂函数的流数（即导数）时，他这样推导：设，为了求出或的流数，设“由流动（by flowing）成为， 就成为和的增量的比，即和的比，等于（都用来除）：1和的比。“现在设增量消失，它们的最后比就是”1比，因此的流数和的流数的比就等于1比，从而用今天的话来说对的变化率是2。因为那时还没诞生无穷小量概念，牛顿的这一推导方法并不严密，当时基督教大主教贝克莱看出了其中的破绽，他针对上述推导发难：如果“”是零，就不应该用来做除数；如果“”不是零，又不应该把后面的各项略掉，这个逻辑矛盾导致数学的第二次危机的爆发。人们为了解决推导的严密性而建立了柯西极限概念，把数学分析大大地推进了一步。数学史上的第3次危机是由英国的哲学家、数学家罗素提出的一个集合引发的：“集合A是一切集合所构成的集合”（为了便于理解，罗素当时是用一个等价的“理发师悖论”提出来的，即“我只给不给自己刮胡子的人刮胡子”悖论）。一方面，A是个一切集合所构成的集合，当然是一个新集合，它不应当包括在A集之中；另一方面，A既然是一个集合，它又应该属于一切集合构成的A集之中。这个悖论也似一枚炸弹震撼了数学界，它激发了大批研究人员去探索如何进一步建立严格的数学基础，以致在现代集合论中规定，禁止一个集合是此集合本身的元素，这样就把罗素悖论排除干净了。第3次数学危机迎来了数理逻辑的诞生，奠定了科学数学化和电子计算化的基础。2悖论的教学功能2.1产生认知冲突，激发学习内驱力心理学研究证明，学习者都有维持认知结构平衡的倾向。当面临问题无法纳入原有认知结构，或问题的结论与认知结构相矛盾时，就会导致认知失衡，产生一种“紧张感”。为了解除这种“紧张感”，使认知结构重新平衡，学习者就会产生认知动机，努力求知。一旦问题得以解决，认知结构在新的高度上重趋平衡，学习者就会产生一种轻松、愉悦、满足的情绪体验。数学教学中“悖论”问题的本质是使学生的思维处于矛盾状态，原有的认知结构受到冲击，从而远离平衡态。因此，它能很好地激发学生的学习兴趣和内在的认知驱力。2.2 培养学生的探索精神和创新能力消除“悖论”使认知结构在新的高度上重组平衡的过程是一个创新的过程。在这个过程中，学生要审视矛盾结论的形成过程，怀疑、批判自己原本坚信的数学方法及推理过程的正确性和完善性。通过深入的思考和分析、同学之间的交流讨论、教师的启发诱导，逐渐缩小问题的所在范围，直到最终找出问题的症结所在，并通过进一步的探索和学习加以有效改造或完善，从而实现数学方法的更新。因此，“悖论”有利于学生探索精神和创新能力的培养。2.3 纠正错误，完善认知结构根据建构主义观点，学习的过程不是把知识从外界搬到记忆中，而是以已有的经验为基础通过与外界的相互作用来获取、建构新知识的过程。因此已有经验的质量及其与新学习内容的联系状况，是实现主动建构学习的关键。“悖论”能使学生的前经验充分暴露，并得到有效改造，从而为新内容的学习扫清障碍、铺平道路。教学“悖论”使新内容的学习蕴含于已有经验的改造或相关经验系统的建构之中，因此新学习的内容能恰当地纳入原有的认知结构，从而使认知结构更加概括和清晰、丰富和完善。3悖论在数学教学中的应用举例 为了充分发挥“悖论”在数学教学中的功能，笔者认为在教学中可以通过类似原有认知新情景(问题或实验)导致悖论提出问题悖论可能原因分析与猜想科学探索与创新新的认知这样的教学流程来实施。教学案例：（原有知识） 加法结合律（新的问题）计算 （1） ；（2）（学生解答）解（1） 设，则 由，。（2）设则有， =，得（导致“悖论”）一个无穷大的量，经同学们的“合理”推导，得；其间每一个括号内均是正值，无数个正值相加却得到。（“悖论”原因猜想）上面推理似乎均是“天衣无缝”，产生上述“悖论”的原因可能是加法的交换律不能无限次的运用。（无穷级数收敛及计算问题的探索）教师引导学生推导出无穷级数的概念及收敛条件和计算方法（略）（新认知） 学生们通过充分的讨论，明白了错误所在，在以后的学习过程中，就会随时注意避免把适用于有限领域的结论盲目的推广到无限领域而导致荒谬的错误。正像+不会等于2一样，认识到了从有限到无限是一次质的飞跃。利用“悖论”进行教学时，教师需要注意（1）教师对学生原有认知及思维特征的了解要尽可能准确，这是学生产生认知冲突的基础；（2）问题情景的设置，既要能够引发学生的原有认知，又要指向新学习任务，使悖论消除后所得的新认知，便是教学目标（或阶段性的）的达成；（3）要创设和谐、宽松、民主的