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文章编号 1002 1566 1999 06 0015 04 不同类型的选择题对试卷信度的影响 马建华 淮北煤师院数学系 安徽 235000 摘 要 马建华 不同类型的选择题对试卷信度的影响 本文利用概率论与数理统计的知识对不同类型的选择题考生凭机会猜测而得分的概率进 行比较 设计出一种信度较高的不定项选择题题型 文中给出这种题的编制方法及用这种试卷 对考生分数的校正公式 关键词 概率 试卷信度 不定项选择 中图分类号 O212 G424 74文献标识码 A 考试信度是表示这次考试考生的真实水平与其考试成绩所代表水平的一致程度的一个指 标 影响考试信度的因素有很多 如考试的组织形式 试卷的信度评分是否客观等 我这里只 就试卷信度这一因素进行探讨 试卷相当于人们在测量长度时所用的尺子 尺子的伸缩性大小 会直接影响到测量的效果 伸缩性越大越不可信 试卷的信度关键在于试题 试题按其给分是 否客观分为两类 一类是正确答案不唯一 判卷教师须凭产观经验给分的叫主观性试题 另一 类是正确答案唯一 不论由谁判卷都只能给出同一分数的叫客观性试题 客观性试题的题型很 多 主要有改错题 判断题 选择题等 而选择题又有确定项选择和不定项选择之分 选择题以 它的答题简捷因而有容量大 覆盖面广 评分简单 客观 准确 可以进行计算机作业等优点因 而被普遍采用 然而选择题有一个不可回避的弱点 即考生在不会的情况下也可以凭机会猜对 答案而得分 使得用于测试考生水平的这把 尺子 带有伸缩性 从而影响到考试的信度 为了 降低这种影响 人们曾提出过多种方法 如增加备选答案的个数 实行答对者给正分答错的给 负分 用校正公式对考生得分进行调整等 下面介绍我的做法 为此 我们首先对不同类型的选 择题考生凭机会猜对答案的概率进行分析比较 设一道题共有 m 个备选答案 m 2 考生必须把全部正确答案都选出才给分 多选或少 选均不得分 记 Ai m 个备选答案中实有 i 个正确答案 Bi 考生猜测有 i 个是正确的 i 是非负整数 C 考生猜对答案而得分 则 Ai Bi相互独立 于是有 P C m i 0P A i P Bi P C AiBi 本文中把P Ai 的不同选择及m 的不同值均视为不同类型 为了下面叙述的方便 我们引 进两个随机变量 与 其中 表示 m 个备选答案中实有正确答案的个数 表示考生猜测有 正确答案的个数 即 Ai i Bi i 15不同类型的选择题对试卷信度的影响 收稿日期 1998 9 16 先假设 P Ai 相等 下面就 m 的不同取值进行讨论 1 m 2 单项选择 P C 1 2 不定项选择 1 P 0 P 1 P 2 1 3 此时 P C 1 3 P 0 1 2 P 1 P 2 P C 会因考生的不同猜测方案而取不同的值 P C 在 1 6 1 3 内变动 下面列举几种情 形 i 若考生对凡不会的均全选或认为全不对即 P 0 P 2 1 则 P C 1 3 ii 若考生对凡不会的均任取其中之一即 P 1 1则 P C 1 6 iii 若考生对不会的题随便乱猜 即 P i 1 3 i 0 1 2 则 P C 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 5 18 iv 若考生对不会的题中所给的备选答案逐个分别猜 则 P C 1 3 1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 2 若 P 0 P 1 1 2 或 P 1 P 2 1 2 则 P C 1 2 P 0 1 4 P 1 或 1 2 P 2 1 4 P 1 此时 P C 会因考生的不同 猜测方案而在 0 1 2 内取不同值 例如 i 在P 2 1 时 P C 0 ii 在 P 1 1 时 P C 1 4 iii 在P 0 1 时 P C 1 2 iv 在P 0 P 1 1 2 时 P C 1 2 1 2 1 2 1 4 3 8 v 若 P 0 P 1 P 2 1 3 时 P C 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 3 若 P 1 1 则 P C 1 2 P 1 此时 P C 会因考生的不同猜测方案而在 0 1 2 内取不同值 2 m 3 单项选择 P C 1 3 不定项选择 1 若 P 0 P 1 P 2 P 3 1 4 则P C 1 4 P 0 1 3 P 1 1 3 P 2 P 3 此时 P C 的值因考 生的不同猜测方案而在 1 12 1 4 内取不同的值 2 若 P 1 P 2 P 3 1 3 或 P 0 P 1 P 2 1 3 则 P C 1 3 1 3 P 1 1 3 P 2 P 3 此时 P C 因考生的不同猜测方案而在 0 1 3 内取不同的值 3 当 P 1 P 2 1 2 时 P C 1 6 P 1 P 2 此时 P C 因考生的不 同猜测答案而在 0 1 6 内取不同的值 4 若 P 1 1 或 P 2 1 则 P C 1 3 P 1 或 P C 1 3 P 2 此时 P 16数理统计与管理18卷 6 期1999 年 11 月 C 会因考生的不同猜测方案而在 0 1 3 内取不同的值 3 m 4 m 5 m 6 类似 由以上的分析和计算可见 在 取值等概的情况下对于任何的 m 值 除了单项选择外 所 有的不定项选择其猜对的概率 P C 均随考生的猜测方案的不同而取不同的值 因而考生会因 此而有不同的得分 这表明 取值等概的不定项选择题作为测量尺度带有可变的伸缩性 这种 可变的伸缩性无法调整 通过观察上面的计算结果可以发现这种伸缩性的大小总的说来是随 m 值增大而减小的 但是要增大 m 值就会增加出题的难度和工作量 同时有的问题也很难给 出更多个的相似答案 所以要想通过加大 m 值来减小伸缩性是不科学的 当然 单项选择这种 伸缩性 P C 是确定的 但是单项选择其 P C 1 m一般比较大 它虽然可以用适当的公式校 正 但由于 P C 较大 P C 与 1 2 较近 因而方差 P C 1 P C 一般较大 所以各人猜测结果 相差很大 若用统一的公式来校正就会有较大的偏差 消除这种P C 的可变性并使 P C 有较 小值的方法使 取值不等概 下面是具体的做法 设一道选择题共有 m 个备选答案 考生必须把全部正确答案选出才得分 多选或少选的 均不得分 用本文前面的记号我们有 P C m i 0P i P i 1 C i m 当取 P i Cim 2 m j 0 1 m 即试卷中拥有正确答案个 数的题数比为 0 个正确答案 1 个正确答 m 个正确答案 C0m C1m Cmm时 有 P C m i 0 C i m 2m P i 1 Cim 1 2m m i 0P i 1 2m 所以 对于有m 个备选答案的选择题来说若 取 的分布列为 P i Cim 2 m i 0 1 m 时 无论 P i 是怎样的一组值 即无论考生是 怎样猜的 他能猜对的概率皆是 1 2m 与他的猜测方案无关 这个概率比 取值等概 考生随机猜 测即 P i 1 m 1 猜对的概率 P C 1 m 1 2 m i 0 1 Cim 小 比任何一种确定项数的选择所猜 对的概率小 事实上 由调和平均数小于算术平均数的结论我们有 m 1 m i 0 1 C i m m 1 2 m i 0C i m m i 0C i m 1 1 2 m 1 m 1 2 m i 0C i m 在使用这类选择题考试时 由于猜对的概率皆是 1 2m 所以有可能利用适当的公式对考生 的分数进行校正以从平均角度上来消除这种伸缩性 提高其信度 为此我们先要由考生这类选 择题的卷面得分知道其猜测的题数 K 对此我们由下面的结果 命题 设某份试卷这类选择题答错的题数是 S 每道题猜错的概率为 p p 1 1 2 m 则 K S P 是 K 的 MVUE 证明 记 Xi表示考生猜的第i 道题的结果猜错为1 猜对为 0 则 Xi i 1 2 K 独立同分 布 且 Xi B 1 p S k i 1Xi 1 EK Es p 1 p k i 1EXi K K 是 K 的无偏估计 2 设 V 是任一统计量 且EV 0 则有 17不同类型的选择题对试卷信度的影响 关于xi的K重和 v x1 x2 xk p xi 1 p k xi 0 即 vps 1 p k s 0 S xi 对 p 求导得 vp s 1 p k s S Kp 0 vp s 1 p k s S Kp 0 vps 1 p k sS P 0 即 EVK 0 K S P 是 K 的 MVUE 因此 当一份卷面上答错了 S 道选择题时 那么从总体上讲 他实际不会的题数应是 K s p 2ms 2m 1 所以有较正公式 T 2 mT 0 n 2m 1 这里 m 是备选答案个数 n 是选择题的满分值 T0 是考生在这类选择题的卷面分数 T 为考生关于这类选择题的应得分数 由上面的命题易知按 此公式校正后的分数 T 是考生实际分数的最优无偏估计值 最后给出这类选择题的编制程序 1 确定备选答案的个数 m 2 构造出 2mC C 为自然数 个试题 3 根据此例 C0m C1m C2m Cmm确定哪些题应有多少个正确答案 4 将拟定的试题编号并输入计算机 5 由计算机随机安排各题的位置得到试卷的题号 也可用抓阄安排 6 由计算机将每题的备选答案随机安排顺序 也可用抓阄安排 如 m 3 可以拟定 23 8 道题 这 8 道题中应有 1 道题全对的和 1 道题答案是全不对的 应用C 1 3 3 道恰好给出一个正确答案的 有 C23 3 道恰好给出两个正确答案的题 参考文献 1 陈希孺 数理统计引论 M 北京 科学出版社 1981 2 魏宗舒 概率论与数理统计教程 M 北京 高等教育出版社 1983 3 缪铨生 概率与数理统计 M 上海 华东师大出版社 1989 4 D S 密特利诺维奇 解析不等式 张小萍等译 M 北京 科学出版社 1987 The Effect of Different Types of Multiple Choice upon the Test Paper Reliability MA Jian hua Math Dept Huai Bei Coal Industry T eachers College 235000 Abstract A new type of multiple choice will be given in this thesis It is designell after the comparison of the probability of the examinees marks in the examinations based on the probability theory and the mathematical