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1 数学 基礎 集合論 vs 数学 集合論 渕野 昌 Saka e Fuchino 神戸大学大学院 工学研究科 情報知能学専攻 1 集合論 数学 基礎 主張 耳 数学 現場 主張 意味 顧 少 思 日本 数学系 学科 集合論 選択科目 教 多 人 主張 吟味 背景知 識 全 与 現状 13 前書 集合論 上 全数学 築 常識 公理的集合論 授業 日本 非常 公理的集合論 知 数学者 多 一節 見 日本 多 数学者 公理的集合論 知 取 直 数学 集合論 示唆 一面 言 講演者 言 面 思 次 相似 状況 考 数学 理論 物理学 基礎 主張 的外 話 物理学者 中 数学 何 本当 全 知 人 驚 1 著者 中部大学在職中 2003年9月24日 千葉大 開 数学会 秋季総合分科会 企画特別講演 講演 予稿 若干手 加 1 単 講演者 個人的 体験 逆 物理学者 中 数学者 顔負 数学 達人 2 人 自分 数学 知 物理学 研究 物理 学 数学 主張 数学者 主張 対 異議 同様 数学 集合論 主張 講演者 異議 唱 異議 唱 単 好 政治的立場上 言 理由 説明 本講演 集合論 数学 基礎 命題 検証 思 何 前提知識 仮定 論 試 述 初等的 事柄 本格的 議論 別 機会 譲 得 数学 基礎 集合論 趣旨 話 進 多 分 言 実際 集合論 何 役 立 疑問 呈 方 必 思 役 立 設問 工学部 議論 頃 聞 表現 言 経済効果 大 同質 多 一方 数学者 質問 意味 畢竟 使 面白 定理 証明 面白 理論 構築 2 本講演 後半 集 合論 意味 非常 役 立 示 例 思 2数学 基礎 集合論 集合論 数学 関係 考察 集合論 基礎的 部分 復習 集合論 標準的 以下 公理 数学的体 系 数学的体系 関 研究 以下 述 公理系 Ernst Zermelo 1871 1953 定 式化 Abraham Fraenkel 1891 1965 拡張 得 体系 基 ZFC Z F 人 頭文字 最後 C 選択公理 axiom of choice 2 露骨 自分 研究 使 3 公理的集合論 考察 対象 集合 考 以下 x 言 集合x 意味 集合論 対象 集 問題 集合a b 対 a b 要素 帰属関係 唯一 基本的 述語 採用 関係 a b 他 述語 帰属関係 基本的 同等関係 使 定義 a b a b 元 言 方 集合論 公理系 一番最初 公理 集合 要素 一意 決 主張 次 外延性公理 任意 x y 対 z z x z y 同 値 x y 成 立 ZFC 他 公理 集合x1 x2 与 性質 持 集合 作 主張 存在公 理 空集合公理 要素 一 持 集合 存在 外延性公理 要素 一 持 集合 存在 一意 示 一意 決 要素 一 持 集合 空集合 対 公理 任意 x y 対 x y 要素 持 z 存在 対 公理 存在 保証 外延性 公理 一意 決 集合z x y 特 x y x 書 singleton x 対 公理 用 集合x y 順序対 x x y 導入 x y 順序対 定義 一意 決 x y 書 集合論 最近 文献 x y 記号 用 多 順序対 定義 必 要点 x y x y x x y y 同値関 係 成 立 和集合 公理 任意 x 対 集合y 任意 z y 元 u x 存在 z u 同 値 存在 4 公理 x 集合族 見 和集合 y 存在 主張 我 立場 集合 集合 集合 集合族 区別 要素 集合 扱 強調 集合族 言葉 使 特 x v w 上 公理 y v w 普通 意味 和集合v w 集合 関 性質 次 公理 考 用 集合 関 性質 言 回 意味 曖昧 明確化 必要 実 非常 重要 後 再 分出公理 x1 xn 固定 任意 x 対 x 元z z x1 xn 満 全体 集合y 存在 上 y x1 xn 与 一意 確定 y z x z x1 xn 無限公理 集合x 空集合 元 含 y x 対 y y x 存在 上 集合x 仮定 x x x x 直観的 意味 x 無限個 元 含 集合 論 自然数0 1 2 導 入 3 無限公理 存在 保証 集合 x 0 1 2 含 x 分出公理 用 自然数 全体 集合N 0 1 2 存在 証明 集合x 集合y 部分集合 z 対 z x z y 成 立 x y 分出公理 y z x z x1 xn x 部分集合 3 順序対 同様 具体的 導入 重要 導入 自然数 無限順序数 理論 統一的 自然 展開 知 定義 集合論 標準的 5 集合 公理 任意 x 対 集合 存在 集合y z 対 z y z x 存在 集合x 集合 P x 先 自然数 全体N 集合 見 N 部分集合 実数 二進表示 対応 考 X N 2n 1 X 含 X 対応 実数 二進表示 小数点以下n桁目 数字 1 決 上 公理 存在 保証 集合P N 適当 部分集合 実数 全体 集合R 公理的集合論 枠組 中 構成 順序対 思 出 集合a b 対 x y x a y b P P a b 集合 公理 分出公理 用 a b 直積 積 a b x y x a y b 存在 示 集合R2 R R R3 R2 R etc 集合論 中 扱 集合a 集合b 写像 関数 f a b 扱 f a b a b 関数 x a 対 x y f y b 存在 定義 分 出公理 RR f P P P R f R R 関数 C R f RR f R R 連続関数 集合 存在 示 4 続 我 普通 出会 数学的対象 公理的 集合論 枠組 中 扱 前記 構成 N 定式化 自然数 全体 満 性質 満 示 5 同様 数学 通常 行 推論 集合論 公理系 演繹 翻訳 確 上 議論 述 ZFC 公理 以下 述 4 場合f x x y f f 関数 一意 決 y 5 N 定義 n N 対 n 1 n n 定義 N 関 帰納法 関数 導入原理 用意 数 和 積 演算 自然 導入 等 6 選択公理 枠組 中 数学的議論 展開 集合論 次 公理 仮定 分出公理 同 次 公理 集合 関 性質 x y z x1 xn 一 一 対応 公理 集 公理群 置換公理 集合A c1 cn 対 任意 a A a b A c1 cn b 一意 決 集合C a A 対 a b A c1 cn b C 見 存在 置換公理 分出公理 拡張 実際 置換公理 他 集合論 公 理 分出公理 一 一 主張 導 他 公理 違 置換公理 通常 数学 議論 用 稀 公理 古典的 数学 公理 必要 断言 20世紀以降 数学 集合 関 重要 結果 公理 本質的 用 知 6 次 基礎 公理 呼 通常 数学 議論 用 基礎 公理 空集合 任意 集合x 対 y x z x z y 存在 基礎 公理 集合x 対 x x 集合 列x0 x1 x2 xn xn 1 n N 対 成 立 x xn n N x 基礎 公理 反例 基礎 公理 集合列 存在 基礎 公理 技術的 理由 付 加 公理 言 公理 集 合論 公理系 加 妥当性 1 x P x P P x 7任 意 部分集合 関 極小元 持 集合x 全体 基礎 公理 6 集合論 集合論的数学 議論 定理 縦横 用 7 実 x P x P P x 集合 存在 言 一般 置換公理 必要 7 含 集合論 公理系 満 特 ZFC 基礎 公理 除 矛盾 基礎 公理 含 ZFC 矛盾 2 上 定義 N P N 集合論 枠組 中 通常 数学 展開 必要 集合 1 性質 持 3 基礎 公理 性質 満 集合 存在 保証 公理 集合論 他 公理 付 加 1 性質 持 集合 関 何 新 結論 得 8 保証 考 公理的集合論 通常 数学的議論 次 選択公理 頻繁 用 選択公理 空集合 含 任意 集合x 対 x x 写像f f z z z x 対 成 立 存在 f 集合族x 一 一 要素z z 代表 元f z 選 出 関数 選択公理 Zermelo 公理 定式化 当初 色 物議 公理 逆理 我 物 理 的直観 面 問題視 人 公理 通常仮定 理由 1 構成的集合 関 結果 ZFC ZFC 選択公理 除 公理系 無矛盾性 関 等価 2 Shoenfi eld 絶対性定理 集合論 命題 複雑 形 数学的命題 9 ZFC 証明 得 選択公理 用 証明 作 3 選択公理 考 決定性公理 成 立 世界 選択公 理 成 立 集合論 宇宙 内部 捉 Woodin 何 4 選択公理 仮定 可能 集合論的 数学 非常 豊 挙 以上 集合論 公理系ZFC 公理 見 8 拡張 公理系 集合論 公理系 一種 保守拡大 9 主張 正確 記述 数理論理学 知識 必要 複雑 形 条件 実際 意味 触 古典的数学 扱 種類 命題 多 8 保留 分出公理 置換公理 集合 関 性質 曖昧表現 問題 触 思 分出公理 置換公理 個 適用 際 具体的 集合 性質 与 問題 思 何 集合 関 性質 考 指 針 全 与 ZFC 公理系 外延 定 歴史的 Zermelo Fraenkel 上 述 問題 残 形 集合 論 公理系 提示 終 現在知 厳密 意 味 公理系 形 与 Thoralf Skolem 1887 1963 1923年 論文 当時新興 形式論理学 階 論 理 用 数学 記述 関連 論理体系 集合論的概念 a priori 捉 従 種類 考 階 論理 論理体系 集合論的 概念 全 内包 階 論理 他 論理 同 論理 論理 式 命題 述語 記号列 間 演繹関係 定義 与 集合論 論理式 全体 次 帰納的 記 号列 複雑 関 帰納法 導入 無限個 変 数 記号 用意 使 1 x y 変数 表現x y x y 集合論 論理式 以下 簡単 集合論 略 2 論理式 論理式 3 論理式 x 変数 x x 論理式 4 集合論 論理式 1 2 3 繰返 適用 得 x x 同値 x 存在 x 対 読 下 意味 解釈 形式的 論理式 用 集合論 公理 上 導入 論理式 書 10 分出公理 各論理式 対 x x1 xn z u u z u x z x1 xn 公理 加 導入 11 集合 関 性質 ZFC 10 外延性公理 空集合公理 x y z z x z y x y x y y x 論理式 11 論理式 上 脚注 論理式 可読性 括弧 省略 9 階 論理 論理式 置 換 後者 分 出公理 置換公理 導入 外延 確定 注意 階 論理 論理式 推論 証明 概念 次 規定 列挙 推論規則 有限個 推論規則集 R 具体的 与 ZFC 論理式 ZFC 証明 論理式 列 0 1 n n 等 各 i i n ZFC 公理 j0 jk 1 i j0 j1 jk 1 i 推論規則 定義 論理式 列 ZFC 証明 ZFC 証明 存在 ZFC 定理 ZFC 推論規 則 妥当 与 ZFC ZFC 形式的 証明 数学的 証明 解釈 表現 数学的事実 数学的定理 考 注意 上 論理式 定義 P 記号 許 言語 扱 記号 使 論理式 必要 使 論理式 展開 数学的 豊 思 形式的証明 体系 貧弱 印象 与 驚 完 全性定理 階 論理体系 知 推論規則集R 関 ZFC 論理式 数学的命題 数学的証明 存 在 証明 正 対応 形式的体系 R ZFC 証明 存在 ZFC 形式的体系 認識 研究 分野 特 公理的集合論 対 節 前 半 述 記述 形式的体系 意識 議論 行 素朴集 合論 na ve set theory 12 全数学 公理的集合論 形式的体系 中 埋 込 捉 何 当然 疑問 答 必要 書 12 素朴 日本語 単語 意味 持 多 na ve 意味 持 形容詞 10 全数学 集合論 中 埋 込 考 数学 大 枠組 中 統一的 視点 扱 利点 現在 常識 視点 言 見方 最 初 一般 数学 提示 数学原論 1 Skolem 意味 公理化 集合論 必要 1 素朴集合論的 視点 越 議論 行 実際 自身 以下 述 集合論 形式化 考察 可能 不完全性定理 関 連 諸問題 無視 続 指摘 10 11 第一不完全性定理 数学的体系 数論 一 部 展開 体系 無矛盾 完全 体系 演繹 真偽 確定 体系 命題 存在 主 張 数学 公理的集合論 不完全性定理 呪縛 逃 実際 ZFC 中 証明 否定 証明 証明 数学的命題 ZFC 独立 数学的 命題 近年 多数見 言 独立性証明 indedendence proof ZFC 公理系 確定 大 前提 証明 当然数理論理学 手法 不可欠 集合論 公理系ZFC 全数学 内包 理論 認識 ZFC 独立 命題 数学的 証明 否定 数学的 証明 命題 考 次 例 見 積分 論 Tonelli 定理 2変数実関数f 0 1 2 0 1 可測 等 式 1 0 1 0 f x y dxdy 1 0 1 0 f x y dy dx 成 立 命題 f 可 測性 除 2変数実関数f 0 1 2 0 1 対 1 0 1 0 f x y dxdy 1 0 1 0 f x y dy dx 存在 等式 1 0 1 0 f x y dxdy 1 0 1 0 f x y dy dx 成 立 主張 正 自然 疑問 主張 ZFC 独立 命題 Theorem 2 1 1 Sierpi nski 14 ZFC 公理系 公理 加 体系 反例 関数 存在 示 特 ZFC 公理 11 系 連続体仮説 加 反例 関数 構成 ZFC 矛盾 含 13 ZFC 証明 2 Laczkovich 9 Friedman 3 Freiling 4 forcing ZFC M 成 立 存在 特 ZFC 矛盾 含 ZFC 否定 証明 14 解析学的 命題 真偽 数学 独立 状況 解析学 研究 立場 気分 良 15 上 事情 関 識見 公理的集合論 解析学 埋 込 考 立場 得 従来 解析学 決 得 独立性 結果 ZFC 独立 示 命題 通常 数学的考察 枠内 十分 他 多 知 特 解析学 2 多 解説 集合論 初 触 人 全数学 集合論 枠内 展開 主 張 懐疑 念 実際 逆 集合論 枠組 通常 数学 基礎 必要 比 強 ZFC 置換公理 基礎 公 理 除 体系 古典的 数学 議論 必要 集合論 最小 遠 分 数学的議論 集合論 程度 部分 必要 問題 逆数学 言 研究分 野 子細 研究 15 参照 大 小 兼 十分 強 ZFC 考 十分 思 第二不完全性定理 状況 少 複雑 第二不完全性定理 数学的体系 数論 一部 展開 体系 無矛盾 体系 中 体系自身 無矛盾性 証明 得 13 仮定 必要性 以下 第二不完全性定理 関連 議論 参照 14 公理 forcing 一般的 解説 5 本格的 記述 8 6 参照 15 独立性 結果 集合論的深淵 所在 示 興味深 結果 捉 方 可能 多 集合論研究者 美学的 数学的立 場 思 12 解釈 命題 主張 16 特 定理 集合論 通常 全数学 無矛盾性 保証 得 理論的 全 一方 階 論理 自然数論 公理系 公理 PA 無矛盾性 意味 確立 勿論 第二不完全性定理 意味 厳格 有限 立場 無矛盾 性 証明 無矛盾性 度合 強 示唆 結果 言 逆数学 扱 公理 離 無矛盾性 度合 確立 公理系 中 範囲 数学 展開 分 範囲 実行可能 数 学的議論 関 整合性 無矛盾性 対 一定 保証 得 考 逆 種 数学的命題 中 無矛盾性 関 集合論 強 理論 必要 上 触 決定性 公理 AD ZFC 選択公理 除 ZF 使 例 実数 集合 可測 驚 非常 明快 定理 導 公理 ZF AD ZFC 無矛盾性 証明 第二不完全性定理 AD ZF ZFC 中 解釈 理論 実 実数 集合 可測 ZF 組 合 ZFC 無矛盾性 帰結 強 体系 無矛盾性 関 強 無矛盾性 少 ZF AD 弱 示 議論 用 無矛盾性 関 集合論 強 理論 現在 知 無矛盾性 度合 関 線型 順序 知 7 参照 以上 概説 種類 集合論 知見 数学 基礎 考察 試 際 無視 言 16 先程 Theorem 2 1 ZFC 矛盾 含 付帯条件 事 情 取 除 全数学 体系 ZFC 無矛盾性 数理論理学 緒結果 本文 以下 説明 参照 現在 至 構築 ZFC 拡張 理論 総体 照 合 何 疑 徴候 見 言 思 13 3数学 集合論 以上 説明 集合論 数学 基礎 研究 形 式論理 論理式 変形 分野 誤解 受 集合論 研究者 多 集合論 数理論理学 属 研究分野 他 言 純粋数学 近 分野 思 確 記号論理学 関係 他 分野 明示的 直 接的 分 17 研究 直観 形式 間 大 振幅 往復運 動 強 研究 牽引力 他 数学分野 同質 数学的直観 思 本講演 純粋数学 集合論 集合論 他 研究分野 交流 可能性 視点 触 思 紙数 予稿 割愛 得 参考文献 1 N Bourbaki El ements de Math ematique livre I X Editions Dunod 2 Krzysztof Ciesielski Set Theoretic Real Analysis J Appl Anal 3 2 1997 143 190 3 H Friedman A consistent Fubini Tonelli theorem for non measurable functions Illinois J Math 24 1980 390 395 4 C Freiling Axioms of Symmetry throwing darts at the real number line J Symbolic Logic 51 1986 190 200 5 渕野 昌 Forcing Axioms 連続体問題 in prepartion to appear in 数学 6 T Jech Set theory 3 millennium ed revised and e