[第1讲] 集合中的常用数学思想(元素与集合、集合之间的关系与运算).pdf

1 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 当前当前 形势形势 集合在近五年北京卷集合在近五年北京卷 理理 考查考查5 18 分分 要求层次 内容 ABC 具体要求 集合的含义与表示 了解集合的含义 元素与集合的 属于 关系 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述 法 描述不同的具体问题 集合间基本关系 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的 子集 在具体情境中 了解全集与空集的含义 高考 要求 集合基本运算 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集 合的并集与交集 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定 子集的补集 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算 2007 年2008 年2009 年2010年 新课标 北京 高考 解读第 12 题 5 分 第 20 题 13 分 第 1 题 5 分 第 20 题 13 分 第 1 题 5 分 第 20 题 13 分 新课标剖析 满分晋级 第 1 讲 集合中的常用 数学思想 函数 8 级 函数与方程 函数函数 9 9 级级 集合中的常用数集合中的常用数 学思想学思想 函数 10 级 函数概念的深 入理解 2 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 知识点睛 元素 概念 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 或成员 性质 确定性 无序性 互异性 集合 关系 集合相等 如果集合A是集合B的子集 AB 且集合B是集合A 的子集 BA 此时 集合A与集合B中的元素是一样 的 因此 集合A与集合B相等 记作A B 运算关系 交集 A B 并集 AB 补集 UA 其中U为全集 集合与元素的关系 若a是集合A的元素aA 若a不是集合A的元素aA 集合与集合的关系 若集合A是集合B的子集AB 或BA 若集合A是集合B的真子集 AB 或BA 有关概念 集合 概念 一般地把一些能够确 定 的不同 的对象看成一个整体 就 说这个整体是由这些对象的全体构成的集合 或集 分类 有限集 无限集 特殊集合的表示 实数集 R 整数集 Z 自然数集 N 有理数集 Q 正整数集 N 或N 复数集 C 空集 概念 一般地 把不含任何元素的集合叫做空集 性质 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 表示法 列举法 描述法 图示法 Venn 图 数 学 思 想 方法 分类讨论 数型结合 逆向思维 正难则反 数轴 Venn图 3 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 例1 若 2123A 2 Bx xttA 则集合B中的元素共有 A 3个B 4个C 7个D 8个 2009 崇文二模理 1 文 1 由实数a a a所组成的集合里 所含元素个数最多 有 A 0个B 1个C 2个D 3个 有三个实数构成的集合 既可以表示为1 b a a 也可表示为 2 0aab 则 20112011 ab 解析 A C 根据集合中元素的确定性 我们不难得到两集合的元素是相同的 这样需要列方程组分类 讨论 显然复杂又繁琐 这时若以发现0 这个特殊元素和 b a 中的a不为0 的隐含信息 就 能得到如下解法 由已知得0 b a 及0a 所以0b 于是 2 1a 即1a 或1a 又根据集合中元素 的互异性1a 应舍去 因而1a 故 201120112011 1 1ab 例2 已知 1021Ax 且 2 xA 求实数x及集合A 已知 22 2 1 33Aaaaa 若1A 求实数a的值 解析 若 2 0 x 解得0 x 则 101A 若 2 1x 解得1x 此时若1x 211x 与集合中的元素的互异性矛盾 若1x 103A 若 2 21xx 则1x 舍 综上 当0 x 时 101A 当1x 时 103A 若21a 则1a 此时 2 233aaa 舍 若 2 1 1a 0a 或2a 此时若0a 符合题意 若2a 此时 22 1 33aaa 舍 若 2 331aa 1a 或2a 舍 综上 0a 例3 已知a Z 3Axy axy 且 2 1 A 1 4 A 求满足条件的a的 值 2008 年北师大二附中高一必修 1 测试题 已知集合 2 320Ax axx 至多有一 个元素 则实数a的取值范围是 经典精讲 1 1 集合中的元素 4 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 解析 2 1 A 213a 解得 2a 又 1 4 A 43a 解得 1a 12a 又a Z a的值为0 1 2 0a 或 9 8 a 解法一 按照A的元素个数分类讨论 若A只有一个元素 则0a 或者0a 980a 所以0a 或者 9 8 a 若A没有元素 则0a 且980a 所以 9 8 a 综合知 0a 或 9 8 a 解法二 按照方程的次数分类讨论 若0a 则 2 320axx 是一次方程 必定只有一个根 若0a 则 2 320axx 是二次方程 最多只有一个根意味着980a 即 9 8 a 综合知 0a 或 9 8 a 解法三 先考虑问题的反面 至多有一个元素 的反面是 至少有两个元素 即方程 2 320axx 有两个根 此时 0 980 a a 解得 9 8 a 且0a 所以至多有一个元素即0a 或 9 8 a 拓 3 已知 2 0Ax xxa 2 210Bx xxa 49Cx axa 且A B C 中至少有一个不是空集 求a的取值范围 解析 已知集合A B C中至少有一个不是空集 故其反面为三个集合都是空集 若A B C全为空集 则实数a满足 140 14 210 49 a a aa 解得 5 3 8 a 从而所求a的取值范围为 5 3 8 a aa 或 常见结论 若集合A中有n个元素 则集合A的子集有2n个 真子集有21 n 个 非空真子集有22 n 个 交集 ABBA AAA AABAAB 并集 ABBA AAA AA ABABA 知识点睛 1 2集合之间的关系与运算 5 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 补集 UU AAAAU 德摩根律 U AB UU AB U AB UU AB 例4 2009 年首师大附中高一期中考试 下列各个关系式中 正确的是 A 0 B 2 QC 3553 D 2 1 x xx 2008 宣武二模文 1 若集合 1Mx x 则下列关系成立的是 A 0M B 0M C M D 0M 设 2Sx xnn Z 42Px xnn Z 则下列关系正确的是 A SP B SP C SP D SP 若 2 1Mx yx 2 1Ny yx 2 1Axyyx 试写出M与N M 与A N与A的关系 解析 D B C S表示全体偶数 P表示被4除余2的整数 错解 MN MA NA 上述错解在于只看到集合中元素都满足 2 1yx 而没有认清各集合中的元素是什么 虽 然集合M N A中的元素都有 2 1yx 的关系 但集合M的元素是x x R 集合N中的元素是y 2 11yx 集合A中的元素是平面直角坐标系中的点 xy 它是抛物线 2 1yx 上的点 MN MA NA 拓 1 已知集合 44Aaa 集合 12Bb 是否存在实数a的值 使得对于任意实数b都有AB 若存在 求出对应的a 若不存 在 试说明理由 AB 成立 求出对应的实数对 ab 解析 集合 A B均为有限集合 可以直接根据元素间的相等关系来判断或求出对应的实数 a b 同 时要注意必要的讨论 对任意的实数b都有AB 则A中的元素是1 2 44Aaa 41 42 a a 或 42 41 a a 这都不可能 这样的实数a不存在 由 易知欲AB 当且仅当 41 4 a ab 或 42 4 a ab 或 4 41 ab a 或 4 42 ab a 解得 5 9 a b 或 6 10 a b 或 3 7 a b 或 2 6 a b 实数对为 5 9 或 6 10 或 3 7 或 2 6 经典精讲 6 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 拓 2 已知集合 1 6 Mx xmm Z 1 23 n Nx xn Z 1 26 p Px xp Z 则M N P满足的关系是 A MNP B MNP C MNP D NPM 解析 B 对于集合 61 6 m M x m Z 对于集合 323 1 1 66 nn N x n Z 对于集合 31 6 p P x p Z 由于3 1 1n 和31p 都表示被 3 除余1 的数 而61m 表示被 6 除余 1 的数 所以MNP 故选B 或先用列举法写出每个集合的部分元素进行对比 517 666 M 51127 63636 N 51127 63636 P 再对集合进行化简检验 例5 2008 全国 II 卷理 1 文 2 改 设集合 32Mmm Z 13Nnn Z 则MN 2008 海淀一模文 1 改 设集合 2Mxxx Z 210 N 则MN 2008 陕西卷理 2 已知全集 12345 U 集合 2 320 Ax xx 2 Bx xa aA 则集合 U AB 中元素的个数为 A 1B 2C 3D 4 2010 天津卷文 7改 设集合 1Ax xax R 15Bxxx R 若 AB 则实数a的取值范围是 若全集 123456789U A B为U的子集 且 19 UA B 2AB 468 UU AB 求A B和 UB 解析 101 2101 B 因为集合 1 22 4AB 所以 1 2 4AB 所以 3 5 U AB 0a 或6a 由 1xa 得11xa 即11axa 如图 由图可知11a 或15a 所以0a 或6a 集合A B将全集U划分为四个子集 AB U AB U BA U AB 如下图 故 将此题可由集合的 Venn 图得到一种快捷的解法 如下右图 直接可得 2357A 129B 345678 UB A A CUB B A B B CUA CU A B U U 4 6 8 1 9 2 B 3 5 7 A 51a 1 a 1 a 1 a 1 7 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 拓 2 2008 江西卷理 2 文 2 定义集合运算 ABz zxyxAyB 设 12 A 02 B 则集合AB 的所有元素之和为 A 0 B 2 C 3 D 6 已知AB AC 01234 B 0248 C 则满足上述条件的集合A 的个数是 A 8B 32C 16D 4 解析 D 024 AB A 024 ABC 024 的子集共有8个 0 2 4 02 04 24 024 拓 3 2008 宣武二模理 13 对任意两个集合M N 定义 MNx xMxN 且 M NMNNM 设 2 My yxx R 3Nxx 则M N 解析 303M Nxxx 或 0Mx x 33Nxx 3MNx x 30NMxx 303M NMNNMxxx 或 例6 已知集合 25Axx 121Bx axa 若ABB 则实数a的取值 范围是 已知集合 40Ax xx 或 10Bx ax 若ABA 则实数a的取值范围 是 已知 222 40 2 1 10Ax xxBx xaxa 其中a R 如果ABB 求实数a的取值范围 解析 若B 则121aa 即2a 若B 则21215aa 解得23a 综 合得 3 a a 当0a 时 BA 当0a 时 1 Bx xA a 当0a 时 1 Bx x a 若BA 则应满足 1 4 a 即 1 0 4 a 综合得 1 4 a a 化简得 0 4A ABB BA 当B 时 22 4 1 4 1 0aa 解得1a 当 0B 或 4 时 即BA 时 22 4 1 4 1 0aa 解得1a 此时 0B 满足BA 当 0 4B 时 22 2 4 1 4 1 0 2 1 4 10 aa a a 解得1a 综上所述 实数a的取值范围是 1a a 或 1a 点评 讨论集合AB 的关系时 如果集合A确定但集合B含参 千万不要遗漏B为 这种特殊情形 8 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 例7 2010上海模拟题改编 已知整数集合 1234 Aaaaa 2222 1234 Baaaa 其中 1234 aaaa 且 14 ABaa 14 10aa AB 的所有元素之和为124 求A 解析 2 0 i a 1234i 14 ABaa 1234 0aaaa 2222 1234 aaaa 依题意有 14 aa 为两个正整数的平方 显然 14 19aa 由 4 9a 知3A 于是利用AB 的元素之和为124 分 2 3a 或 3 3a 进行讨论 若 2 3a 则有 2 33 13981124aa 解得 3 5a 或 3 6a 舍 若 3 3a 则有 2 22 13981124aa 解得 2 5a 或 2 6a 舍 23 aa 23 35aa 综上所述 1359A 拓 3 2009 北京卷文 14 设A是整数集的一个非空子集 对于kA 如果1kA 且1kA 那么称k是A的一个 孤立元 给定 12345678S 由S的3个元素构成的所 有集合中 不含 孤立元 的集合共有个 解析 6 设集合 Da b c 满足要求 其中abc 因为1cD 所以要使c不是 孤立元 只 能1cD 于是只能1bc 同样的 因为1aD 所以1aD 从而1ba 因此满足要求的集合只能是连续三个数组成的集合 即只有 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8 满足条件 集合与新概念结合的题型 有一定的难度 考察对数学新定义的理解能力 备选 已知 12345 Aaaaaa 22222 12345 Baaaaa 1 2 3 4 5 i ai N 设 12345 aaaaa 且 14 ABaa 14 10aa 又AB 中所有元素之和为224 求 1 a 4 a 222 235235 aaaaaa 5 a A 解析 由已知可得 22222 12345 aaaaa 且 14 ABaa 2 11 aa 则 1 0a 或 1 1a 若 1 0a 则 4 10a 又集合B中必存在某个数的平方为10 即A中存在10 这与 1 2 3 4 5 i ai N 矛盾 因此有 1 1a 4 9a 由 14 ABaa 可知AB 中必然只有8个元素 若 22222 1234512345 22410234aaaaaaaaaa 且 22 14 82aa 222 235235 2341082142aaaaaa 由 4 9a 且 45 aa 可知 5 10a 或 5 11a 且 2 55 142aa 若 5 11a 则 2 55 132aa 则 22 2233 14213210aaaa 又 2 2 9a 或 2 3 9a 则必有 2 3a 或 3 3a 有931210 矛盾 5 11a 不符合题意 若 5 10a 2 55 110aa 则 22 2233 14211032aaaa 又 2 2 9a 或 2 3 9a 则 2 3a 或 3 3a 则有 2 22 20aa 或 2 33 20aa 解得 2 4a 或 3 4a 34 2 3a 3 4a 1 1a 2 3a 3 4a 4 9a 5 10a 1 3 4 9 10A 9 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 2009年北京 已知数集 12n Aaaa 12 12 n aaan 具有性质 P对 任意的ij 1ijn ij a a与 j i a a 两数中至少有一个属于A 分别判断数集 134 与 1236 是否具有性质P 并说明理由 证明 1 1a 且 12 111 12 n n n aaa a aaa 解析 由于34 与 4 3 均不属于数集 134 所以该数集不具有性质P 由于1 2 1 3 1 6 23 6 2 6 3 1 1 2 2 3 3 6 6 都属于数集 1236 所以该数集具有性质P 因为 12n Aaaa 具有性质P 所以 nn a a与 n n a a 中至少有一个属于A 由于 12 1 n aaa 所以 nnn a aa 故 nn a aA 从而1 n n a A a 故 1 1a 因为 12 1 n aaa 所以 knn a aa 故 23 kn a aA kn 由A具有性质P可知 123 n k a A kn a 又因为 121 nnnn nn aaaa aaaa 所以 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa 从而 121 121 nnnn nn nn aaaa aaaa aaaa 故 12 111 12 n n n aaa a aaa 备选 接上题 证明 当5n 时 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a成等比数列 解析 由 知 当5n 时 有 55 23 43 aa aa aa 即 2 5243 aa aa 因为 125 1aaa 所以 34245 a aa aa 故 34 a aA 由A具有性质P可知 4 3 a A a 由 2 243 a aa 得 34 23 aa A aa 且 3 3 2 1 a a a 所以 34 2 32 aa a aa 故 5342 2 4321 aaaa a aaaa 即 12345 aaaaa 是首项为1 公比为 2 a的等比数列 由于学生还没有学习高中的数列知识 本题可根据班级学生对于数列的熟悉程度讲解 10 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 演练 2 已知集合 2 210 Axaxx R 其中a R 1是A中的一个元素 用列举法表示A 若A中有且仅有一个元素 求a的值组成的集合B 若A中至多有一个元素 试求a的取值范围 解析 1是A中的一个元素 代入方程得3a 易得集合 1 1 3 A 若0a 方程仅有一个根 1 2 x 若0a 方程只有一个根 其判别式440a 即1a 所求集合 01 B 若集合A中至多有一个元素包括两种情况 A中只有一个元素 此时 由 知 0a 或1a A中一个元素也没有 即A 此时0a 且440a 1a 综合知 所求a的取值范围是 10a aa 或 也可以仿照 中的解法三先考虑至少有两个元素的情形 演练 1 2010江苏卷 设集合 1 13A 2 24Baa 3AB 则实数a 解析 1 3B 因为 2 43a 所以23a 1a 实战演练 11 函数 下 第 1讲 提高 尖子 目标 教师版 演练 4 2008湖南卷文 1 已知 2 3 4 5 6 7 U 3 4 5 7 M 2 4 5 6 N 则 A 4 6 MN B MNU C UN MU D UM NN 已知集合 1My yx 23Nxyyx 则集合MN 中的子集 个数为 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 B A MN 演练3 10Pmm 2 440Qmmxmxx R对于任