爱情与数学理论.doc

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林晉煜M0974408愛情與數學理論林晉煜 聯誼聯誼，這讓人怦然心動的兩個字，最常出現在大學生涯中。剛上大學的理工科青澀男孩，在大家選出來的能言很善道、臉皮真不薄的公關安排之下，滿懷期待的與聽說有正妹之某文學院的某系女孩們要一起出去吃飯、玩樂，抱著一顆稍稍緊張又有點幸奮的心到了吃飯的地點，男孩們坐下來定睛一看，哇！真的有正妹耶！於是大家各自開始在暗中偷偷盤算，要如何去接近那美麗的女孩，如何在眾多見色忘友的同學中脫穎而出，拔得頭籌，得到女孩的芳心，然而，就在大家使出渾身解數後，那女孩說：公關！我們既然都是公關，我待會就坐你的機車吧！這下可好，在一陣幹在心裡口難開的背地奏罵後，總是要找尋下一個目標，否則這趟聯誼不就泡湯了？然而，女孩們看到剛剛都在巴結那美麗女公關的男孩來對自己獻殷勤時，心裡頭不免這樣想：哎呀！竟然把本姑娘當備胎，真是不要臉，別想待會我會坐上你的機車！最後，一次聯誼，只成全了那帥氣的男公關與標緻的女公關。以上的故事，也許你聽過，或許你更親身經歷過，從此你就恨上了那公關，亦或是自己跑去當了公關也說不定，但是，你可否有想過，大家都一起追求最美麗的女孩，這樣的策略是對的嗎？有沒有更好的方法，可以讓一次聯誼，能有最大的收益(也就是說，有更多能可以配對成功)？ John Nash的好方法我是一個很愛看電影的人，平常只要一有空閒，總是會找電影來消磨時間，而且我還是不挑電影種類的人，凡舉動作片、愛情片、科幻片、卡通片、劇情片、歌舞電影、黑道電影等，只要有人推薦，就會去看。前陣子在一個數學教育學系的教授推薦之下，看了一部叫做美麗境界(beautiful mind)的電影，裡面述說一個天才約翰納許(John Nash)峰迴路轉的一生，電影裡面有一個很有趣的場景，納許在酒吧觀察有關同儕們對於美女的爭風吃醋，忽然靈光一現，認為團體競爭最佳的解不是按傳統經濟學的想法，人人都以自身利益為思考點出發，而該是競爭者都就各自所好選其次佳解，那麼最後會得到一個皆大歡喜，更多人受益的平衡解。按照上面的例子，也就是說，大家不要都一窩蜂的向那最美麗的女孩表達好感，而冷落其他女生，應該是大家都先向自己次心儀的女孩著手，達到各自有追求目標的平衡解，因此最佳平衡可以達到輸家是最少的情形，更甚者，也許可以每個人都能配對到的最佳狀態。賽局論 上面提到的策略，就是一種賽局的策略。那麼什麼是賽局理論呢？賽局理論就是一個要做決策的人(或是企業公司、政黨、政府等)所做的選擇會受到其他人的影響，而同樣的他自己的動作也會影響對方的決策。也就是人與人的行為會互相影響，所以要做決策時，也同時要考慮對方會怎麼行動。而賽局的分類有以下幾種：1. 合作所謂合作賽局就是參賽者(不只局限於兩方)可達成一個具有約束力的協定。2. 不合作賽局而不合作賽局則是指參賽者以獲得個人最大利益為原則，且無法達成有約束力的協定。而其中不合作賽局又因時序和訊息有以下分類：時序：靜態賽局參賽者同時行動或是非同時但是後行動者不知先行動者的策略。動態賽局參賽者行動有先後之別，後行動者可以知道先行動者的策略。訊息： 完全訊息賽局每一個參賽者對其他人的策略和各種行動後的利益後果有充分了解。不完全訊息賽局每一個參賽者對其他人的策略和各種行動後的利益後果沒有充分了解。而前述聯誼的例子，就是一種不合作賽局，也因為不合作，大家又沒有完全訊息，而導致成功率極低，若是大家願意事先商量，做好約定，肯定能創造更好的聯誼成果。尋找最佳伴侶 再講一個有關愛情的例子，我們在年紀漸長、經濟也有了基礎後，總會想找個人來陪伴自己度過下半輩子，那麼是否有比較好的策略或方法來選擇到較好的人選呢？在這邊做一些假設來簡化問題，假定人的一生中，只會遇到若干位女(男)性朋友，且一次只限一個，要是錯過了，就不會回頭追求她(他)，那麼在什麼時候的人選會是最好的？或者換個方式來說，要如何選擇，會有最大的機率找到自己的第一名？今天我們假設一生中會遇到N個異性朋友，每遇到一個異性朋友，便在心中做下排名，我們以Xi表示第i個異性朋友的名次，其中X = 1、2、N，當然我們會希望選到N個裡面的最佳人選，也就是Xi=1但是既然我們有著錯過了就沒機會的約定，那若是第一名在很前面，而你仍癡癡的等待，希望後頭會有人超過你之前的那個第一名，那恐怕你等到最後一個，才發現你已經錯過最棒的伴侶，而只好勉強接受最後一位人選，且她(他)在你心中的排名，肯定不會是你所滿意的。因此我們的策略如下，在遇到第k位異性朋友後，我們已經有了前面k位的排名，而從第k+1位起直到到N位，其中要是有任何一個優於前面k位，則選擇她(他)為最佳伴侶，開始以結婚為前提跟對方交往，那麼這個k該是，多少才有最大的機率讓我們能選到我們N個裡面的第一名？令P(k)為根據上面的方法，選到第一名的機率，再令Sr為選到第r個異性朋友的事件，則= =而P(Xr=1)=1/N是顯然的，又P(Sr|Xr=1)即是在前(r-1)中排序最前面的人要在前k個中，所以P(Sr|Xr=1)=(k/r-1)。由以上推導，我們得知 現在只要找出哪一個k*能使得k為最大值就是我們的答案了，再令 我們用代值法發現P(k)是先增後減，因此我們所要求的k*必然使得、，所以我們可以列出下式 ，即是說 我們只要代入N值就可以找到所求的k*了！舉個例子說，若N=10， ，那我們所要找的k*=4。又我們知道 ，故 最後證明出自約k*N/e，其中e約等於0.3678794412，也就是1/e比例之後的異性朋友，只要一旦有比前面的人都更好的情況，就挑選他為適當對象，可以有最大機率選到N個裡面的第一名。計算愛情 看了以上的兩個例子，我們可以發現數學理論其實是有可能應用到生活周遭的任何地方，可以讓我們較不費功夫就可以追到女孩，甚至連終身伴侶的最佳找法都有。當然，這都只是理論，事實上要去做是很有難度，在第一個例子裡，要讓班上那些見色眼開的衝動男孩達成協議，就已經是天方夜譚了，且若是女孩們知道了自己不是對方的最佳選擇，卻是第二個順位，亦或是經過商量後才安排到的人選，心底肯定不舒服而會去排斥那個來親近她的男孩，導致失敗。在第二個例子裡頭，也不可能像我們的計算那樣，想要挑哪一個就挑哪一個，而且我們到底會遇到幾個女(男)孩，這也不能確切知道的，造成這個方法的實用性大大的降低。我個人認為，倒不如無時無刻