弹塑性力学讲义 第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答.pdf

1 第七章第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答弹性力学平面问题的极坐标系解答 在平面问题中 有些物体的截面几何形状 边界 为圆形 扇形 对 于这类形状的物体采用极坐标 r 来解 因为此时边界条件用极坐标易 描述 简便 本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以 及算例 第 1 节 第 1 节 平面极坐标下的基本公式平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r 函数 体力 fr Kr f K 面力 FKFK rr 应力 r r r 应变 r r r 位移 u r u 直角坐标与极坐标之间关系 x rcos y rsin rrxx r rx sin cos rryy r ry cos sin 1 1 平衡微分方程平衡微分方程 0 11 rr rr f rrr 0 21 f rrr rr x y o P r 2 1 2 几何方程几何方程 r ur r u rr ur1 r u r uu r r r 1 1 3 变形协调方程变形协调方程 0 1 1 11 2 22 2 2 2 2 rr r rr r rrr r r r 1 4 物理方程物理方程 平面应力问题 1 rr E 1 r E rr E 1 2 平面应变问题将上式中2 1 E E 1 即得 1 5 边界条件边界条件 1 位移边界条件 rr uu uu 在 su 上 2 力的边界条件 rrrr FKsnrn cos cos FKsnrn rr cos cos 在 s 上 环向边界 KKrn rrr r r0 径向边界 KKrnsn r r 0 1 6 按位移法求解按位移法求解 基本未知函数为位移u r u 应变 应力均由位移导出 3 平面应力问题时的应力由位移表示 1 1 1 22 r uu rr uEE rr rr 1 1 1 22 r u r uu r EE rr r 1 1 2 1 2r u r uu r EE r rr 上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程 即位移法的 基本方程 0 1 r rrr K rrr 0 21 K rrr rr 力的边界条件也同样可以用位移表示 1 7 按应力法求解按应力法求解 在直角坐标系中按应力求解的基本方程为 平面应力问题 1 0 0 2 y f x f f yx f yx y x yx y yxy x xy x 其中 2 2 2 2 2 yx 4 在极坐标按应力求解的基本方程为 平面应力问题 1 1 0 21 0 1 2 r ff rr f f rrr f rrr rr r rr r rrr 其中 2 2 22 2 2 11 rrrr 力的边界条件如前所列 1 8 应力函数解法应力函数解法 当体力为零 fr f 0时 应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的 未知函数 r 表示 而应力函数 r 所满足方程为 4 r 0 或 0 11 2 2 22 2 rrrr 而极坐标系下的应力分量 r r 由 r 的微分求得 即 rrr r 11 2 2 2 2 2 r rrrrr rr 2 2 11 1 第 2 节 第 2 节 轴对称问题轴对称问题 2 1 轴对称问题的特点轴对称问题的特点 1 截面的几何形状为圆环 圆盘 2 受力和约束对称于中心轴 因此 可知体积力分量 f 0 在边 5 界上 r r0 0 F 0 u 沿环向的受力和约束为零 3 导致物体应力 应变和位移分布也是轴对称的 在 V 内 u 0 r 0 r 0 ur ur r r r r r r r r r 各待求函数为r的函数 单变量的 2 2 轴对称平面问题的基本公式轴对称平面问题的基本公式 1 平面微分方程 仅一个 0 r rr f rr d 2 几何方程 二个 dr dur r r ur 3 变形协调方程 一个 0 1 1 11 2 22 2 2 2 2 rr r r r r r r r r r r 0 1 1 2 2 dr d r r dr d r r r r dr d 变形协调方程 由几何方程 r ur r r dr du r dr d 或 rdr d r 4 物理方程 两个 6 平面应力问题 1 rr E 1 r E 或 1 2 rr E 1 2 r E 平面应变问题时弹性系数替换 5 按位移法求解 将 r 用ur 表示 并代入平衡微分方程 对于平面应力问题 1 2 r u dr duE rr r 1 2 dr du r uE rr 位移法的基本方程为 0 1 1 2 22 2 r rrr f Er u dr du rdr ud 0 1 1 2 rr f E ru dr d rdr d 相应边界条件 轴对称问题边界r r0 常数 位移边界条件 rr uu 在 su 上 力的边界条件 rr F 在 s 上 平面应力问题的力边界条件用位移表示 r rr F r u dr du E 1 2 在 s 上 当ur 由基本方程和相应边界条件求出后 则相应应变 应力均 7 可求出 6 按应力法解 应力法基本方程 平面应力问题 1 0 2 r f dr df f rdr d rr r r rr 其中 dr d rdr d1 2 2 2 边界条件为力的边界条件 rr F 在 s 上 7 按应力函数求解 当无体力时应力法基本方程为 0 0 2 r rr rdr d 选取应力函数 r 单变量的函数 应力分量与 r 的关系 dr d r r 1 2 2 dr d 0 r 自然满足平衡微分方程 则应力函数 r 应满足的基本方程为 相容方程 即 0 1 22 2 2 22 dr d dr d r r 或 0 4 四阶变系数的微分方程 尤拉方程 8 而 1 11 2 2 2 2 2 dr d r dr d rdr d dr d r rdr d rdr d 则 0 11 1 1 2 2 4 dr d r dr d rdr d r dr d rdr d r dr d rdr d rdr d 逐次积分 四次 可将轴对称问题的 r 基本形式得到 r Alnr Br2lnr Cr2 D 其中A B C D为任意常数 D可去掉 将 r 代入应力分量与应力函数的关系式 可得平面应力 平面应变问题应力表达式 0 2 ln23 2 ln21 1 22 2 2 rr r CrB r A dr d CrB r A dr d r 对于圆环或圆筒 力边界条件仅两个 不能确定三个系数 但圆环或圆筒为复连域 除了力的边界条件满足外还要考虑位移 单值条件 下面将ur 表达式导出 平面应力问题为例 将物理方程代入几何方程 1 r r r Edr du x y 9 1 r r Er u 将应力分量表达代入几何方程的第二式 得 1 2ln 1 23 1 1 CrrBr r A EE r u rr a 应力分量表达代入几何方程的第一式并积分 得 Fdr E u rr 1 FCrrBr r A E ur 1 2ln 1 21 1 1 b 考虑位移单值性比较 a 和 b 式 4Br F 0 B F 0 轴对称问题的应力和位移解为 C r A r 2 2 C r A 2 2 0 r 1 2 1 1 Cr r A E ur 0 u A C 由两个力的边界条件确定 对于无体力圆盘 或圆柱 的轴对称问题 则根据圆盘 或圆柱 中心应力和 位移有限值 得 A 0 q 10 图示圆盘受力情况 得应力为 r 2C q 2 3 轴对称问题举例轴对称问题举例 例题例题 1 等厚圆盘在匀速 转动中计算 按位移法解 已知 等厚圆盘绕盘心匀速转动 单位厚 角速度为 常数 圆 盘密度为 圆盘匀速转动时受体力 离心力 作用 fr Kr 2r f K 0 在r a边界上 0 KKr 或 0 FFr 符合轴对称问题 平面应力问题 位移法的基本方程 0 1 1 2 2 r E ru dr d rdr d r 积分两次 32 2 2 1 8 1 r Er C rCur 确定C1和C2 当 r 时 ur为有限值 须C2 0 然后 利用 r a 时 0 arrrr FK 得 2222 2 1 3 8 1 1 2 1 8 1 aaC 代回位移表达式并求应力 1 1 3 8 3 332 a r a r E a ur 1 8 3 2 2 22 a r a r 2 2 22 3 31 1 8 3 a r a x y a P r 11 如果圆环圆环匀速 转动 则ur 表达公式中的C2 0 C1 和 C2 由力的边界条件定 r r a 0 r r b 0 例题 例题 圆环 或圆筒 受内外压力作用 已知 体力 fr f 0 或 K r K 0 力的边界条件 在r a边界 内径 r qa r 0 在r b 边界 外径 r qb r 0 本问题仍为轴对称问题 且体力为零 可采用前述的应力函数求解方程 也可按位移法求解 按应力函数法求解 按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式 C r A r 2 2 C r A 2 2 0 r 平面应力问题的位移 1 2 1 1 Cr r A E ur 0 u 利用力的边界条件 qaC a A 2 2 及 qbC b A 2 2 得 x y b r a a b qa qb 12 22 22 ab qaqbba A 22 22 2 ab bqaq C ba 按位移法求解 由基本方程 0 1 r ru dr d rdr d 得 r C rCur 2 1 代入应力与位移之间关系式 对于平面应力问题 有 2 2 1 22 1 1 1 1r C C E r u dr duE rr r 同样利用力的边界条件导出同样结果 讨论 1 当 qa 0 qb 0仅受内压 以及qb 0 b 时 2 当qa 0 qb 0 仅受外压 3 组合圆筒 内筒 内径a 外径b 弹性系数E 外筒 内径b 外径c 弹性系数E 内筒应力和位移 C r A r 2 2 C r A 2 2 0 r 平面应变问题 21 2 1 Cr r A E ur 0 u 外筒应力和位移 2 2C r A r 2 2C r A 0 r y x b c a 13 21 2 1 Cr r A E ur 0 u 组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A C A C 利用四个条件定 如果内筒受内压 qa 外筒外径无面力 则确定系数的四个条件为 r r a qa r r c 0 r r b r r b ur r b ur r b 又如 内筒无内压qa 0 外筒无外压qc 0 但内筒外径大一 点 内筒外径为b 外筒内径仍为b 过盈配合问题 边界条件如何写 r r a 0 r r c 0 r r b r r b ur r b ur r b 或 ur r b ur r b 第3节第3节 轴对称应力问题 曲梁的纯弯曲 轴对称应力问题 曲梁的纯弯曲 曲梁为单连域 当无体力作用 且受纯弯曲作用时 从受力分析 知曲梁 c的截面上内力为M 各截面上的应力分布也相同与 无关 的 因此属于轴对称应力问题 但位移不是轴对称的 即u 0 所以 不能按轴对称问题的位移法求解 但可按轴对称应力 应力函数 解法求 应力并由应力导出位移 按轴对称应力函数解 应力函数 r r Alnr Br2lnr Cr2 已导出 M M a r y x 14 CrB r A dr d r r 2 ln21 1 2 CrB r A dr d 2 ln23 22 2 a r b 0 r 0 利用力的边界条件确定 A B C 在主要边界上 r a r r a 0 r r a 0 02 ln21 2 CaB a A 1 r b r r b 0 r r b 0 02 ln21 2 CbB b A 2 在次要边界上不清楚垂直边界的面力具体分布 利用圣维南原理 在 0 0 dr b a 由于主要边界满足 则此式自然满足 在 0 Mdrr b a Mr ab b a b ar 2 3 主要边界满足时 由 1 2 3 求出A B C 应力求出后 依次可求出应变和位移表达式 详细推导在徐芝纶 上册 P 91 92 在徐芝纶 4 13 中I K H为刚体位移 I u0 K v0 H 可利用约束确定 如令 r0 a b 2 0 处 15 0 r u uur 得 H K 0 0000 0 1 2ln 1 2 1 1 1 rCrBrrB r A E I 第4节第4节 圆孔的孔边应力集中问题 圆孔的孔边应力集中问题 从本节和后面两节讨论一些工程中经常用到的一些解 仍采用应力 函数解法 本节讨论一个无体力的矩形薄板 薄板内有一个小圆孔 圆孔 半径a很小 薄板两个对边分别受均匀拉力q1和q2作用 由于板内有微 小圆孔 孔边应力将远大于距孔稍远处的应力 称应力集中问题 图 a 受力情况 依照线弹性力学叠加原理 q2 q1 q1 q2 x y q q1 q2 2 x y q q1 q2 2 图图 a 图图 c 图图 b q q1 q2 2 x y q q1 q2 2 16 图图 a 的解 图的解 图 b 的解 图的解 图 c 的解 的解 c r b r a r cba c r b r a r 下面分别讨论图 b 和图 c 的解 图 b 情况 远离孔的位置应力为 q b y b x 0 b xy 其中 q q1 q2 2 图 b 解相当圆环内径无内压qa 0 外径受外 压qb q作用情况 已有解 只须将a b 0 代入 得 2 1 1 21 22 2 qq r a q r a b r 2 1 1 21 2 2 2 2 qq r a q r a b 0 b r 图 c 情况 远离孔的位置应力为 x y q xy 0 其中 q q1 q2 2 通过应力转换式可得 r q cos2 q cos2 r q sin2 可见 图 c 的应力不是轴对称的 结构为轴对称 关 键是要设应力函数 r 采用半逆解法 1 根据应力函数与应力分量的关系式判断 r 应有cos2 项 因子 rrr r 11 2 2 2 在较远处 q cos2 17 2 2 r 在较远处 q cos2 1 rr r 在较远处 q sin2 2 假设应力函数 r 可以分离变量 设为 r f r g f r cos2 将所设 r 的形式 代入 4 0 得 0 992 2cos 32 2 23 3 4 4 dr df rdr fd rdr fd rdr fd 解出 2 24 r D CBrArrf 代回应力函数 r 得 2cos 2 24 r D CBrArr 可求得应力分量表达式为 2cos 64 2 42 r D r C B r 2cos 6 212 4 2 r D BAr 2sin 62 26 42 2 r D r C BAr r 应力分量中的四个系数由四个力边界条件确定 即 r r a 0 r r a 0 r r b q cos2 r r b q sin2 由此四各方程解得 18 1 2 2 2 2 b a b a Nb q A 64 4 31 2b a b a N q B 6 2 61 2b a N aq C 4 4 1 2b a N aq D 其中 4 2 2 8642 1 4 6 41 b a b a b a b a b a N 当 a b 0 无限大板中有小孔 代入上述各系数表达式 得 N 1 A 0 B q 2 C q a2 D q a4 2 再代入上面图 c 应力表达式 可得应力最后表达式 2cos 31 1 2 2 2 2 r a r a q c r 2cos 31 4 4 r a q c 2sin 31 1 2 2 2 2 r a r a q c r 最后图 a 应力由图 b 应力解和图 c 应力解相加而得 2cos 31 1 2 2 1 2 2 2 2 2121 2 2 r a r aqqqq r a a r 2cos 31 2 2 1 2 2 2121 2 2 r aqqqq r a a 2sin 31 1 2 2 2 2 2 21 r a r aqq a r 19 当q1 q q2 0代入上式 可得齐尔西解 徐芝纶 上册 P 101 4 17 式 第5节第5节 曲梁的一般弯曲 曲梁的一般弯曲 曲梁无体力作用 曲梁顶部受集中力P作用 仍采用半逆解法 考虑曲梁截面上内力表达式 推出 应力函数的函数变化 在 截面内力 sin 2 ba PM 2 2 r cosPQ 1 rr r 根据应力函数与应力分量的关系式判断 r 应有sin 项 因 子 假设应力函数 r 可以分离变量 设为 r f r g f r sin 代入 4 0 得 0 3332 sin 432 2 23 3 4 4 r f dr df rdr fd rdr fd rdr fd 解得 f r Ar3 Br Crlnr D r q 3q qq x y x y 3q q q 0o q q 90o P a r y x 20 则 r Ar3 Br Crlnr D r sin 其中 Brsin By 可略去 将 r 代入应力分量表达式 rrr r 11 2 2 2 sin 22 3 rDrCAr 2 2 r sin 26 3 rDrCAr 1 rr r cos 22 3 rDrCAr A C D 由力的边界条件来定 力的边界条件 在主要边界上 在r a r 0 r 0 2Aa C a 2D a3 0 在r b r 0 r 0 2Ab C b 2D b3 0 在次要边界上 在 0 环向方向的面力为零 0 kF 满 足 径向方向的面力 r F的分布未给出 但给出 r F的合力 PdrF b a r 利用圣维南原理 Pdr b a r 0 PdrrDrCAr b a 22 3 或 P ba ab D a b CabA 22 22 22 ln 由上述方程解出 21 N P A 2 22 ba N P C 22 2 ba N P D 其中 a b babaNln 2222 代回应力分量表达式 sin 3 2222 r ba r ba r N P r sin 3 3 2222 r ba r ba r N P cos 3 2222 r ba r ba r N P r 注意 这个应力解在曲梁两端是不能用的 应变和位移可由物理 和几何方程导出 第6节第6节 楔形体在楔顶或楔面受力 楔形体在楔顶或楔面受力 本节讨论楔形体分别受三种不同荷载作用时 其应力解答如何 并将其中某些解答推广到半无限体情况 楔形体分别受三种不同荷载作用时 应力函数 r 的选取考虑 采用分离变量法 r g r f 考虑应力函数在楔形体边界上的变化规律 将 r 中的g r 的形式假设出来 然后利用 4 0 求 f 的形 式 3 利用边界条件确定f 的表达式的待定系数 情况情况 1 楔形体不考虑体力 楔形体顶部 受集中力P作用 o x y P 2 2 A 22 已知 顶角为 的楔形体受集中力P作用 P的作用方向与楔形体顶角平分线 x轴 夹角为 设应力函数 r g r f 且利用无体力时 应力函数 r 在边界上的值及偏微分 与边界上面力的关系式来确定 g r 的形式 B A B A BBAB dsXyydsYxx 首先可设边界上始点A的 A 0 则边界上在OA段任意点B的 值为 B 0 任意点经过O点 在OB段的 值为 Prsin 2 与r一 次式有关 可设 r g r f r f r 的假设也可以由 r 与应力分量的关系及应力分量与集 中力P 之间量纲关系来设 由 r r f 代入 4 0 得 0 2 1 2 2 4 4 3 f d fd d fd r 要求 0 2 2 2 4 4 f d fd d fd 解得 f Acos Bsin Ccos Dsin 而应力函数 r A r cos B r sin r Ccos Dsin 由 r 可得应力分量表达式 23 sincos 211 2 2 2 CD rrr r r 0 r 系数C D的确定 首先应考虑边界条件来定 即 2 时 0 r 0 自 然满足 可见仅靠力的边界条件不能确定所有待定系数 这是由于本问题 的载荷是作用于一点的集中力 在顶点有奇点 待定系数需靠部分楔形体 的平衡而确定 即 Fy 0 2 2 0sincos Prd r sin cos P D Fx 0 2 2 0cossin Prd r sin sin P C 代回应力分量表达式 sin sinsin sin coscos 2 r P r 0 r 讨论 1 当 0 sin cos2 r P r 当 2 sin sin2 r P r 2 当 时楔形体变为半无限体 受集中力作用 o x y P 2 2 A 24 sinsincos cos 2 r P r 0 r 当 2 r P r cos2 0 r 利用应力转换公式 可得到直角坐标中的应力分