2011年安徽省六安市六安一中高三第六次月考数学试卷(理科).doc

2011年安徽省六安市六安一中高三第六次月考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2006辽宁）设集合A=1，2，则满足AB=1，2，3的集合B的个数是（）A、1B、3C、4D、8考点：并集及其运算。分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A=1，2的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案解答：解：A=1，2，AB=1，2，3，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A=1，2的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个故选择答案C点评：本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想2、（2009广东）已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25，a2=1，则a1=（）A、12B、22C、2D、2考点：等比数列的性质。专题：计算题。分析：设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值解答：解：设公比为q，由已知得a1q2a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列an的公比为正数，所以q=2，故a1=a2q=12=22故选B点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题3、双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2，则k的值为（）A、4B、14C、4D、14考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：将双曲线方程化为标准方程，判断出焦点的位置，求出a2，b2的值；据焦点在x轴时双曲线渐近线方程中的斜率，列出方程求出k的值解答：解：双曲线的方程为x2+ky2=1即x2y21k=1，所以焦点在x轴上，其中a2=1，b2=1k一条渐近线斜率是2，ba=2，1k=4解得k=4故选C点评：本题考查双曲线的焦点在x轴时，渐近线的方程为y=bax；焦点在y轴时，渐近线的方程为y=abx4、（2009湘潭）若1a1b0，则下列不等式a+bab；|a|b|；ab；ba+ab2中，正确的不等式有（）A、0个B、1个C、2个D、3个考点：基本不等式。分析：由1a1b0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命题的正误解答：解：1a1b0，ba0，a+b0ab，故正确ba0，则|b|a|，故错误显然错误由于ba0，ab0，ba+ab2baab=2，故正确综上，正确，错误，故选C点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断 ba0 是解题的关键5、已知函数f（x）=（110）xlgx，若实数x0是函数y=f（x）的零点，且0x1x0，则f（x1）（）A、大于0B、等于0C、小于0D、不大于0考点：函数的零点与方程根的关系。专题：计算题。分析：根据函数f（x）=（110）xlgx，利用指数函数和复合函数判断出它的单调性，根据实数x0是函数y=f（x）的零点，即f（x0）=0，利用单调性即可判断f（x1）的符号解答：解：函数f（x）=（110）x在（0+）单调递减，f（x）=lgx在（0+）单调递减，函数f（x）=（110）xlgx在（0+）单调递减，实数x0是函数y=f（x）的零点，f（x0）=0，又0x1x0，f（x1）f（x0）=0故选A点评：此题是基础题考查函数的零点与方程根的关系，以及根据函数解析式判断函数的单调性是解决此题的关键6、已知函数f（x）=cosxsinx（xR），给出下列四个命题（）若f（x1）=f（x2），则x1=x2；f（x）的最小正周期是2；f（x）在区间4，4上是增函数；f（x）的图象关于直线x=34对称A、B、C、D、考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性。专题：分析法。分析：先根据二倍角公式将函数f（x）进行化简，根据正弦函数的性质和知判断；根据最小正周期的求法可判断；根据正弦函数的单调性可判断；再由正弦函数的对称性可判断解答：解：f（x）=cosxsinx=12sin2x若f（x1）=f（x2），则sin2x1=sin2x2=sin（2x2）2x1=2x2+2k时满足条件，即x1+x2=k可以，故不正确；T=22=，故不正确；令2+2k2x2+2k，得4+kx4+k，当k=0时，x4，4f（x）是增函数，故正确；将x=34代入函数f（x）得，f（34）=12为最小值，故f（x）的图象关于直线x=34对称，正确故选D点评：本题主要考查正弦函数的二倍角公式和正弦函数的性质基础知识的熟练掌握是解题的关键，一定要将基础打牢7、若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y2=2px（p0）上的两个不同的点，则x1x2=p24是P1P2过抛物线焦点的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题：证明题。分析：利用抛物线的方程求出焦点坐标；设出直线方程，联立直线与抛物线方程；利用韦达定理求出两个横坐标的乘积由x1x2=p24成立，判断直线是否过焦点；反之直线过焦点成立，判断x1x2=p24是否成立，综合可得答案解答：解：抛物线的焦点为（p2，0）设直线的方程为x=my+b&x=my+b&y2=2px得y22pmy2pb=0y1y2=2pbx1x2=y12y222p=b2当x1x2=p24所以有b=p2故直线不过焦点当直线过焦点时，即b=p2所以x1x2=p24所以x1x2=p24是P1P2过抛物线焦点的必要不充分条件故选B点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常将方程联立用韦达定理、考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件8、已知不等式组&x0，y0&2x+y10表示平面区域D，现在往抛物线y=x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A、19B、118C、13D、16考点：几何概型。专题：计算题。分析：根据积分的知识可得先求y=x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求解答：解：根据积分的知识可得，y=x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积12（x2+x+2）dx=13x3+12x2+2x12=92等式组&x0，y0&2x+y10表示平面区域D即为AOB，其面积为14根据几何概率的计算公式可得P=118故选：C点评：本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题9、某班3个男同学和3个女同学站成一排照相，要求任何相邻的两位同学性别不同，且男生甲和女生乙相邻，但甲和乙都不站在两端，则不同的站法种数是（）A、8B、16C、20D、24考点：排列、组合的实际应用。专题：计算题；分类讨论。分析：根据题意的要求任何相邻的两位同学性别不同，分析可得男生与女生必须相间，即要先把男生与女生分别分析，将其排好之后，再进行分插；按甲在男生中所站的位置不同，分两种情况讨论，、甲在男生的中间，、甲在男生的左边或右边；分别求出其中所有的站法数目，由加法原理计算可得答案解答：解：根据题意，要求任何相邻的两位同学性别不同，男生与女生必须相间，按甲所站的位置不同，分两种情况讨论，、甲在男生的中间，其余的男生有2种站法，即男生共2种站法；此时女生乙在女生中的站法有3种，若乙在左边或右边时，其余的女生2种站法，与男生有一种相间的方法，若乙在中间，其余的女生2种站法，与男生有二种相间的方法，则此时共2（221+22）=16种；、甲在男生的左边或右边时，其余的男生有2种站法，即男生共2种站法；此生女生乙必须在女生的中间，其余的女生2种站法，与男生有二种相间的方法，此时，共222=8种站法；综合可得：共16+8=24种站法；故选D点评：本题考查排列组合的综合运用，解题时，注意常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法等10、设椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上的动点Q，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=a2B、x2+y2=b2C、x2+y2=c2D、x2+y2=e2考点：轨迹方程；椭圆的应用。专题：计算题。分析：由于此题为选择题，可以利用特殊位置的点P所适合的方程进行排除得到答案解答：解：因为动点Q在椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上任意一点，过动点Q作椭圆的切线l，过右焦点作l的垂线，垂足为P，不妨取点Q在椭圆的四个顶点处，当点Q（a.0）时，过动点Q作椭圆的切线l：x=a，过右焦点作l的垂线为：y=0，此时的交点P（a，0），适合答案A；当Q（0，b）时，过动点Q作椭圆的切线l：y=b，过右焦点作l的垂线为：x=c，此时的交点P（c，b）也适合答案A由于ab0，所以当当点Q（a.0）时，不适合x2+y2=b2故不选B；当Q（a.0），显然不适合x2+y2=c2，故不选C；当Q（a.0），时代入x2+y2=a2+0e2，故不选D故答案选：A点评：此题考查了对于选择题可以进行利用答案进行排除，还考查了椭圆的基本性质二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11、甲打靶射击，有4发子弹，若有1发是空弹，则空弹出现在前三枪的概率为34考点：等可能事件的概率。专题：计算题。分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4发子弹中任意取1发，共有4种结果，满足条件的事件是在前三法中取1法，共有3种结果，根据等可能事件的概率公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4发子弹中任意取1发，共有4种结果，满足条件的事件是在前三法中取1法，共有3种结果，根据等可能事件的概率知P=34，故答案为：34点评：本题考查等可能事件的概率，试验包含的所有事件和满足条件的事件可以列举出所有的情况，这是一个典型的等可能事件问题，是一个基础题12、已知函数f（x）满足f（1x+1）=lgx，则不等式f（x）0的解集是（1，2）考点：函数解析式的求解及常用方法；其他不等式的解法。专题：计算题。分析：先用换元法，求出f（x）的表达式，再解关于x的对数不等式，将含有对数符号的不等式去掉对数符号，转化为分式不等进行求解，可得解集解答：解：设t=1x+1可得x=1t1（t1）代入已知条件，得f（t）=lg（1t1）故f（x）=lg（1x1）（x1）不等式f（x）0化为：lg（1x1）0即lg（1x1）lg1即1x11解之得 1x2故答案为：（1，2）点评：本题考查求函数解析式的常用方法，以及简单的对数不等式的解法求解的同时要注意变量的取值范围，以防忽略函数的定义域致错13、已知直线kxy+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有OM=OA+OB（O为坐标原点），则实数k=0考点：直线与圆相交的性质。专题：计算题。分析：设AB的重点为 D，有OM=OA+OB=2OD，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值解答：解：设AB的重点为 D，有OM=OA+OB=2OD，|OM|=2|OD|=R=2，|OD|=1，由但到直线的距离公式得 1=00+1k2+1，得k=0，故答案为0点评：本题考查向量加减法的意义，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用14、在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，重心为M，若aMN+bMB+33cMC=0，则A=6考点：向量的加法及其几何意义；三角形五心。专题：计算题。分析：注意到在任意ABC中，M为其重心，则MA+MB+MC=0，从而得到a，b，c的比值，再由余弦定理解出解答：解：M为重心MA+MB+MC=0a：b：33c=1：1：1，即a：b：c=1：1：3设a=x，b=x，c=3x，由余弦定理得，cosA=b2+c2a22bc=32A=6故答案是：6点评：在高中解答题目中，有时对于一些既有的结论做一定的了解，有利于我们更快一步解题如本题中，关于重心的向量式，若有所了解，题目就迎刃而解，否则可能找不到解题的方向15、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有30种（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用。专题：计算题。分析：最短边选取一种颜色有3种情况如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况，这时最后两个边有3种颜色根据计数原理得到结果解答：解：由题意知本题是一个分步和分类计数问题，最短边选取一种颜色有3种情况如果最短边的两个邻边颜色相同有2种情况；这时最后两个边也有2种情况如果最短边的两个邻边颜色不同有2种情况；这时最后两个边有3种颜色方法共有3（22+23）=30种故答案为：30点评：本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查这两个原理的综合应用，考查用排列组合知识解决实际问题，考查和几何图形有关的涂色问题，本题是一个比较典型的问题三、解答题（共6小题，满分75分）16、已知二项式（x+1x）n的展开式中各项系数的和为64（I）求n；（II）求展开式中的常数项考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质。专题：计算题。分析：（I）令二项式中的x=1，求出展开式的系数和，列出方程求出n（II）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出常数项解答：解：（I）由题意知：令x=1得2n=64n=6（5分）（II）展开式的通项为Tr+1=C6r（x）6r（1x）r=C6rx332r令332r=0得r=2展开式中的常数项为15（12分）点评：本题考查利用赋值法解决展开式的系数和问题、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题17、已知数列an，anN*，前n项和Sn=18（an+2）2（1）求证：an是等差数列；（2）若bn=12an30，求数列bn的前n项和的最小值考点：等差关系的确定；数列的求和。分析：本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题（1）根据an+1=Sn+1Sn及前n项和Sn=18（an+2）2，可以得到（an+1+an）（an+1an4）=0，从而问题得证（2）由（1）可得数列an的通项公式，进而由bn=12an30得到数列bn的通项公式，然后可求数列bn的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项解答：解：（1）证明：an+1=Sn+1Sn=18（an+1+2）218（an+2）2，8an+1=（an+1+2）2（an+2）2，（an+12）2（an+2）2=0，（an+1+an）（an+1an4）=0anN*，an+1+an0，an+1an4=0即an+1an=4，数列an是等差数列（2）由（1）知a1=S1=18（a1+2），解得a1=2an=4n2，bn=12an30=2n31，（以下用两种方法求解）法一：由bn=2n31可得：首项b1=29，公差d=2数列bn的前n项和sn=n230n=（n15）2225当n=15时，sn=225为最小；法二：由&2n310&2（n+1）310得292n312nN*，n=15，an前15项为负值，以后各项均为正值S5最小又b1=29，S15=15（29+21531）2=225点评：本题的（2）中求sn的最值问题是数列中较为常见的一种类型，主要方法有两种：法一只适用于等差数列的和的最值问题，对于其他数列，因为不能转化为关于n的二次函数，所以无法使用，有一定的局限性；法二是常规方法，使用范围广，其特点是找到递增或递减的数列中正项和负项的转折“点”而得到答案18、如图边长为2的正方形花园的一角是以A为中心，1为半径的扇形水池现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N、Q分别在边BC和CD上，设PAB为（I）用表示矩形草坪PNCQ的面积，并求其最小值；（II）求点P到边BC和AB距离之比PNPM的最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。专题：计算题。分析：（I）先利用PAB为，|AP|=1AM=COS，PM=sin，矩形草坪PNCQ面积S=（2cos）（2sin），向下整理得sin（+4）222+72，再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面积的最小值；（II）先求得y=PNPM=2cossin，再求其导函数，利用其导函数研究出原函数在给定区间上的单调性，进而求出其最小值解答：解：（I）因为PAB为，|AP|=1AM=COS，PM=sin，PN=2cos，PQ=2sin，矩形草坪PNCQ面积S=（2cos）（2sin）=42（sin+cos）+sincos=42（sin+cos）+（sin+cos）212=7222sin（+4）+2sin（+4）22=sin2（+4）22sin（+4）+72=sin（+4）222+720，2，+44，34sin（+4）22，1当sin（+4）=1，即=4时，面积有最小值此时s=（12）22+72=9222故当=4，最小值为9222；（6分）（II）y=PNPM=2cossiny=12cossin2（02），令12cos=0=30（0，3）3（3，2）2yy0极小+所以当=3时，ymin=3（12分）点评：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值，是对二次函数，三角函数等知识的综合考查，属于中档题19、已知圆M：（x+1）2+y2=8，定点N（1，0），点P为圆M上的动点，若Q在NP上，点G在MP上，且满足NP=2NQ，GQNP=0（I）求点G的轨迹C的方程；（II）直线l过点P（0，2）且与曲线C相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程考点：直线和圆的方程的应用；轨迹方程。专题：计算题；综合题。分析：（I）由题设知GP|=|GN|，GM+GN=GM+GP=MP=22，由|MN|=2知G是以M，N为焦点的椭圆，由此能求出点G的轨迹C的方程（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2A（x1，y1）B（x2，y2），由&y=kx+2&x22+y2=1得：（1+2k2）x2+8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于A、B两点，再由根的判别式的根与系数的关系进行求解解答：解：（I）NP=2NQ，GQNP=0|GP|=|GN|GM+GN=GM+GP=MP=22|MN|=2G是以M，N为焦点的椭圆设曲线C：x2a2+y2b2=1，&2a=22&c=1&b2=a2c2得a2=2，b2=1点G的轨迹C的方程为：x22+y2=1（6分）（II）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2A（x1，y1）B（x2，y2）由&y=kx+2&x22+y2=1得：（1+2k2）x2+8kx+6=0由直线l与椭圆相交于A、B两点，0k232由根与系数关系得&x1+x2=8k1+2k2&x1x2=61+2k2SAOB=12POx1x2=222k231+2k2令m=2k23（m0），则2k2=m2+3S=22mm2+4=22m+4m22当且仅当m=4m，即m=2时，Smax=22，此时k=142所求的直线方程为14x2y+4=0（13分）点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的根与系数的关系的合理运用20、如图，以原点O为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F（0，1），点M是直线l：y=m（m0）上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S，T，切点分别为B，A（I）求抛物线E的方程；（）求证：点S，T在以FM为直径的圆上；（）当点M在直线l上移动时，直线AB恒过焦点F，求m的值考点：抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；恒过定点的直线；直线和圆的方程的应用。专题：综合题。分析：（1）设抛物线方程为x2=2py，根据焦点坐标可得到p2=1，进而得到p的值，从而确定抛物线的方程（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），然后对抛物线方程进行求导，表示出切线AM的斜率进而得到切线方程，然后令y=0可求出T的坐标进而得到直线FT的斜率，根据kAMkFT=1可验证点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上（3）根据抛物线的焦点坐标，设斜率为k可得到直线AB的方程，然后与抛物线方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之积等于4，设点M（x0，m），切线AM、BM的方程过点M可得到可消去x0，再由x1x2=4可得m的值解答：解：（I）设抛物线E的方程为x2=2py（p0），依题意p2=1，解得p=2，所以抛物线E的方程为x2=4y（）设点A（x1，y1），B（x2，y2）x1x20，否则切线不过点My=14x2，y=12x，切线AM的斜率kAM=12x1，方程为yy1=12x1（xx1），其中y1=x124.令y=0，得x=12x1，点T的坐标为（12x1，0），直线FT的斜率kFT=2x1，kAMkFT=12x1（2x1）=1，AMFT，即点T在以FM为直径的圆上；同理可证点S在以FM为直径的圆上，所以S，T在以FM为直径的圆上（）抛物线x2=4y焦点F（0，1），可设直线AB：y=kx+1由&y=14x2&y=kx+1得x24kx4=0，则x1x2=4由（）切线AM的方程为y=12x1x14x12过点M（x0，m），得m=12x1x014x12，同理m=12x2x014x22.消去x0，得m（x1x2）=14x1x2（x1x2）x1x2，由上x1x2=4m=14x1x2=1，即m的值为1点评：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的联立问题圆锥曲线经常作为压轴题出现，基础知识一定要熟练掌握才能做正确21、已知二次函数g（x）对任意实数x不等式x1g（x）