高等数学(下)第一章课件.pdf

高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 B B B B 吉林大学数学学院 金今姬 第一章多元函数的极限和连续性 一 多元函数的概念 二 多元函数的极限 三 多元函数的连续性 推广推广推广推广 一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 注意注意注意注意 善于类比善于类比善于类比善于类比 区别异同区别异同区别异同区别异同 1多元函数的概念 1 1平面点集 1 2多元函数 1 1平面点集 n 元有序数组 21n xxx 21n xxx 的全体称为 n n n n 维空间维空间维空间维空间 R n n 维空间中的每一个元素称为空间中的 k x数 称为该点的第第第第 k k k k 个坐标个坐标个坐标个坐标 记作即RRRR n nkxxxx kn 2 1 R 21 一个点点点点 当所有坐标时 0 k x称该元素为 n R中的零元 记作 O RRyyyyxxxx n nn 2121 定义x与y的线性运算线性运算线性运算线性运算为 设 2211nn yxyxyxyx 在线性运算下构成一个n n n n维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间 简称为n n n n维空间维空间维空间维空间 n R 的距离距离距离距离记作 22 22 2 11 nn yxyxyxyx 21n yyyy 与点 R 21n n xxxx 中的点 yxyx 或 规定为 R 21n n xxxx 中的点 与零元 O 的距离为 22 2 2 1n xxxx 3 2 1xxn通常记作时当 0R axax n 满足与定元中的变元 ax 记作 n维线性空间中引入距离以后 构成一个n n n n维维维维EuclidEuclidEuclidEuclid空间空间空间空间 仍简称为n维空间 0 o PPU 0 0 PP 1 邻域 点集 0 PPU 称为点 P0 的 邻域邻域邻域邻域 例如例如例如例如 在平面上 0 yxPU 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 说明 说明 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 0 PU 点 P0 的去心邻域去心邻域去心邻域去心邻域记为 0 PP 2 0 2 0 yyxx 2 0 2 0 2 00 zzyyxxyxPU 在讨论实际问题中也常使用方邻域 平面上的方邻域为 U 0 yxP 0 P 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 0 xx 0 yy 2 内点 外点 边界点 定义定义定义定义1 21 21 21 2 设有点集 E E E E 及一点 P P P P 若存在点 P 的某邻域 U P E 若存在点 P 的某邻域 U P E 若对点 P 的任一任一任一任一邻域 U P 既含 E中的内点也含 E的外 E 则称 P 为 E 的内点内点内点内点 则称 P 为 E 的外点外点外点外点 点 则称 P 为 E 的边界点边界点边界点边界点 E 的边界点的全体称为E 的 显然 E 的内点必属于 E E 的外点必不属于 E E 的 边界点可能属于 E 也可能不属于 E 边界 记为 E 41 22 1 yxyxE例如是一个圆环 41 22 yxyxyx或外点 41 2222 yxyxyx或边界点 D D D D 3 开集及区域 定义定义定义定义1 31 31 31 3 若点集 E 的每一点都是内点内点内点内点 则称 E 为开集开集开集开集 1 若对E中任意两点P1和P2 总存在完全 例如 222 2 ryxyxE dycbxayxE 3 都是开集 但是 41 22 1 yxyxE 不是开集 定义定义定义定义1 4 1 4 1 4 1 4 设 E 为非空点集 属于E的折线能把P1和P2连接起来 则称 E为连通的 2 若E为连通的开集 则称为开区域开区域开区域开区域 简称区域区域区域区域 区域E和它的边界的并称为闭区域闭区域闭区域闭区域 记为 EEE 例如 41 22 4 xyx是开集 但非区域 1 1ox y 例如 例如 例如 例如 在平面上 0 yxyx 41 22 0 使得 KOUE 即E全部被包含在原点O的一个邻域内 则称E是有界集有界集有界集有界集 否则称为无界集无界集无界集无界集 前面的几个点集 除E5外均为有界集 E5为无界集 1 2 多元函数 1 多元函数的定义 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 2h rV 为常数 R V TR p 2 cba p c b a 0 0 hrhr 0 0 TTVTV cbacbacba 0 0 0 cpbpappS h r 定义定义定义定义1 81 81 81 8 设非空点集 R n D DPPfu 或 点集 D 称为函数的定义域定义域定义域定义域 数集 DP Pfuu 称为函数的值域值域值域值域 特别地 当 n 2 时 有二元函数 2 R Dyxyxfz 当 n 3 时 有三元函数 3 R Dzyxzyxfu 映射R Df称为定义 在 D 上的 n n n n 元函数元函数元函数元函数 记作 21n xxxfu 2 二元函数的几何表示 称三维空间中的点集 DyxyxfzzyxW 为二元函数 z f x y 的图像图像图像图像 在几何上 W通常是空间一张曲面 这张曲面在坐标面 Oxy上的投影就是函数 z f x y 的定义域D x z y 例如 二元函数 22 1yxz 定义域为 1 22 yxyx圆域圆域圆域圆域 说明说明说明说明 二元函数 z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 sin yxz 又如 1 2 R yx 三元函数 arcsin 222 zyxu 定义域为 1 222 zyxzyx 图形为 4 R空间中的超曲面 单位闭球单位闭球单位闭球单位闭球 x y z o 的图形一般为空间曲面 1 设 22 2 yxyxf x y 求 2 yxf x y 解法1 令 uyx v x y 2 3 vuy 3 vu u x vuf 3 2 2 vu u 3 2 vu 2 x y u yxv 2 yx x y f 2 2 x y 2 y 2 y 2 2 2 y x y 1 设 22 2 yxyxf x y 求 2 yxf x y 解法2 令 u v yx 2 vu x y 2 vy u v x 2 x y yxf 2 vu u v f 22 v u v 即 2 yx x y f 2 2 2 y x y 2 vu u v f 2多元函数的极限 2 1 二重极限 2 2 极限的运算法则 2 3 二次极限 定义定义定义定义2 12 12 12 1 设二元函数 去心邻域 内有定义 AyxfAPf 则称当 0 PP 时 函数 f x y 以A为极限极限极限极限 记作 或 为了区别于一元函数的极限 二元函数的极限称为二重二重二重二重 极限极限极限极限 2 1二重极限 1 二重极限的定义 例例例例2 12 12 12 1 证明 0lim 22 2 0 0 yx yx yx 证明1 因为 2 1 22 yxxy 所以 22 2 22 2 0 yx yx yx yx 取 2 则当 22 0yx时 有 0 yxf 0 22 时当 yx 22 yx 2 222 3 3 0 3 1 4 4 4 4 求极限 解 由于 故 yx x ay x x 2 1 1lim 1 1lime x x x 1lim yx x ay x yx x ay x x 2 1 1lim yx x x ay x x 1 1lim e 5 5 5 5 求极限 解 由于 令 lnlim 22 0 0 yxxy yx ln 2 1 ln0 222222 yxyxyxxy 取 2 则当 22 yx时 便有 M Myxf 则它在D上有界 即 Dyx 定理定理定理定理3 53 53 53 5 最值定理最值定理最值定理最值定理 若函数f x y 在有界闭区域D上连续 2211 Dyxyx 则它在D上必有最大值和最小值 即 Dyx 都有 都有 2211 yxfyxfyxf 定理定理定理定理3 63 63 63 6 介值定理介值定理介值定理介值定理 若函数f x y 在有界闭区域D上连续 则它必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值 即 Mm 至少存在一点 Dyx 使得 yxf 定理定理定理定理3 73 73 73 7 一致连续性定理一致连续性定理一致连续性定理一致连续性定理 若f x y 在有界闭区域D上连续 则它在D上一致连续 即 Dyxyx 2211 0 0 当 2 21 2 21 yyxx 2121 yyxx或 时 有 2211 yx 2 yx 2 o y x2 2 证明 yxf 0 0 22 yx yx yx 0 0 0 yx 在全平面连续 证 0 0 处在 yx yxf为初等函数 故连续 又 22 0 yx yx yxyx2 22 22 22 2 1 yx yx 22 2 1 yx 22 0 0 lim yx yx y x 0 0 0 f 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 3 已知 求出 的表达式 yxf 解法1 令 yxu vuf uvu 即 xyxyxf 0 xxf 1 yxyxf 解法2 yxyxyxyxyxf xyxyxf 以下与解法1 相同 22 yxyxyxyxf 0 xxf vuyvux 2 1 2 1 则 xx 且 yxv 2 4 1 2 4 1 uvuvu 4 讨论二重极限 yx yx y x 0 0 lim 解法10 1 lim 11 0 0 xy y x 原式 解法2 令 xky 0 1 lim 0 k k x x 原式 解法3 令 sin cos ryrx 0 sincos sincos lim 0 r r 原式 时 下列算法是否正确是否正确是否正确是否正确 分析分析分析分析 yx yx y x 0 0 lim 解法1 0 1 lim 11 0 0 xy y x 解法2 令 xky 0 1 lim 0 k k x x 原式 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 此法排除了沿曲线趋于原点的情况 时例如xxy 2 1lim 2 23 0 x xx x 原式 此时极限为 1 第二步 未考虑分母变化的所有情况 1 11 1