2016年数学三真题答案.pdf

更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 1 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求 的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 设函数 yf x 在 内连续 其导数如图所示 则 A 函数有 2 个极值点 曲线 yf x 有 2 个拐点 B 函数有 2 个极值点 曲线 yf x 有 3 个拐点 C 函数有 3 个极值点 曲线 yf x 有 1 个拐点 D 函数有 3 个极值点 曲线 yf x 有 2 个拐点 答案 B 解析 解析 由图像易知选 B 2 已知函数 x e f x y xy 则 A 0 xy ff B 0 xy ff C xy fff D xy fff 答案 D 解析 2 1 x x exy f xy 2 x y e f xy 所以 xy fff 3 设 i i i D Txydxdy 3 1 2 3 其中 Dx yxy 1 01 01 Dx yxyxDx yxxy 2 23 01 0011 则 A TTT 123 B TTT 312 C TTT 231 2 2 D TTT 213 答案 B 解析 由积分区域的性质易知选 B 4 级数为sin n nk nn 1 11 1 K 为常数 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与 K 有关 答案 A 解析 由题目可得 sin sin sin nnn nnnk nknk nnn nn nnn 111 111 1111 因为 sin nk n nnnn nnnn n 11 1111 由正项级数的比较判别法得 该级 数绝对收敛 5 设 A B是可逆矩阵 且A与B相似 则下列结论错误的是 A T A与 T B相似 B 1 A 与 1 B 相似 C T AA 与 T BB 相似 D 1 AA 与 1 BB 相似 答案 C 解析 此题是找错误的选项 由A与B相似可知 存在可逆矩阵 P使得 1 P APB 则 11 11111111 11111111 1 A 2 3 TTTTTTTT P APBP APBAB P APBP A PBABB PAAPP APP A PBBAABBD 故 不选 故 不选 故 不选 此外 在 C 中 对于 111 TT PAAPP APP A P 若 1 P AP B 则 1 TTTT P APB 而 1T P A P 未必等于 T B 故 C 符合题意 综上可知 C 为正确选项 6 设二次型 222 123123122313 222f x xxa xxxx xx xx x 的正负惯性指数分别为1 2 则 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 3 A 1a B 2a C 21a D 1a 或2a 答案 C 解析 考虑特殊值法 当0a 时 123122313 222f x x xx xx xx x 其矩阵为 011 101 110 由此计算出特征值为2 1 1 满足题目已知条件 故0a 成立 因此 C 为 正确选项 7 设 A B为随机事件 0 1 0 1 P AP B 若 1P A B 则下面正确的是 A 1P B A B 0P A B C 1P AB D 1P B A 答案 A 解析 根据条件得 P ABP B 1 1 1 1 P ABP ABP AB P B A P AP AP A 8 设随机变量 X Y独立 且 1 2 1 4 XNY 则 D XY为 A 6 B 8 C 14 D 15 答案 C 解析 因为 X Y独立 则 22222 D XYE XYEXYEX EYEXEY 222 14DXEXDYEYEXEY 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上 4 4 9 已知函数 f x满足 sin lim x x f xx e 3 0 121 2 1 则lim x f x 0 答案 6 解析 因为 sin sin limlimlimlim x xxxx f xx f xxf x xf x exx 3 0000 1 2 121 2 2 1333 所以lim x f x 0 6 10 极限limsinsinsin x n n nnnn 2 0 112 2 答案 sincos 11 解析 limsinsinsinlimsinsinsincos n xx i nii nxxdx nnnnnnn 1 2 000 1 1121 211 11 设函数 f u v可微 zz x y 有方程 xzyx f xz y 22 1确定 则 dz 0 1 答案 dzdxdy 0 1 2 解析 xxyx f xz y 22 1两边分别关于 x y求导得 xx yy zxzxf xz yx fxz yz xzyxfxz yzfxz y 2 1 2 12 121 12 将 xyz 011代入得 dzdxdy 0 1 2 12 13 行列式 100 010 001 4321 答案 432 234 解析 4 1432 100 10100 010 01 4110 2 3 4 001 32 101 432 1 14 设袋中有红 白 黑球各 1 个 从中有放回的取球 每次取 1 个 直到三种颜色的球都取到为止 则 取球次数恰为 4 的概率为 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 5 答案 2 9 解析 2 21 33 1112 2 3339 P ACC 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程或 演算步骤 15 本题满分 10 分 求极限 4 1 0 lim cos22 sin x x xxx 解析 4 1 0 lim cos22 sin x x xxx 4 cos22 sin1 0 lim xxx x x e 2443 4 4 42 121 24 3 0 lim xxx x xx x x e o 1 3 e 16 本题满分 10 分 设某商品的最大需求量为 1200 件 该商品的需求函数 QQ p 需求弹性 0 120 p p p为单 价 万元 1 求需求函数的表达式 2 求100p 万元时的边际收益 并说明其经济意义 解析 1 由弹性的计算公式得 p dQ Q dp 可知 p dQ Q dp 120 p p 分离变量可知 120 dQdp Qp 两边同时积分可得lnln 120 QpC 解得 120 QC p 由最大需求量为 1200 可知 0 1200Q 解得10C 故10 120 1200 10Qpp 6 6 2 收益 1200 10 RQpP P 边际收益 120020 10 20012000 dRdR dp pp dQdp dQ 已知 100 8000 p dR dQ 经济学意义是需求量每提高 1 件 收益增加 8000 万元 17 本题满分 10 分 设函数 0 1 0 22 xdtxtxf求 xf 并求 xf的最小值 解析 当11 x时 3 1 3 4 2 3 1 22 0 22 xxdtxtdttxxf x x 当1 x时 3 1 2 1 0 22 xdttxxf 则 1 3 1 10 3 1 3 4 01 3 1 3 4 1 3 1 2 23 23 2 xx xxx xxx xx xf 12 1024 0124 12 2 2 xx xxx xxx xx xf 由导数的定义可知 21 00 21 fff 故 12 1024 0124 12 2 2 xx xxx xxx xx xf 由于 xf是偶函数 所以只需求它在 0上的最小值 易知 1 0 0 xxf 1 0 xxf 可知 xf的最小值为 3 2 1 f 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 7 18 本题满分 10 分 设函数 xf连续 且满足 1 00 x xx edttftxdttxf 求 xf 解析 令txu 则 x x x duufduufdttxf 0 0 0 代入方程可得 1 000 x xxx edtttfdttfxduuf 两边同时求导可得 1 0 x x edttfxf 由于 xf连续 可知 dttf x 0 可导 从而 xf也可导 故对上式两边再求导可得 x exfxf 在 1 式两边令0 x可得 10 f 解此微分方程可得 22 3 x x e exf 19 本题满分 10 分 求 幂级数 22 0 121 n n x nn 的收敛域和和函数 解析 令 22 0 121 n n x S x nn 两边同时求导得 21 0 2 21 n n x S x n 两边同时求导得 2 2 0 2 2 1 n n Sxx x 两边积分可得 1 ln 1 x S xC x 由 0 0S 可知 1 lnln 1 ln 1 1 x S xxx x 两边再积分可知 1 ln 1 1 ln 1 S xxxxx 8 8 易知 22 0 121 n n x S x nn 的收敛半径为 1 且当1 1xx 时级数收敛 可知幂级数的收敛域为 1 1 因此 1 ln 1 1 ln 1 S xxxxx x 1 1 20 本题满分 11 分 设矩阵 1110 10 1 11122 a Aa aaa 且方程组Ax 无解 求a的值 求方程组 TT A AxA 的通解 解析 由方程组Ax 无解 可知 r Ar A 故这里有0A 111 1000 111 a Aaa aa 或2a 由于当0a 时 r Ar A 而当2a 时 r Ar A 综上 故0a 符合题目 当0a 时 3221 222 2 2222 TT A AA 故 32211001 22220112 22220000 TT A A A 因此 方程组 TT A AxA 的通解为 01 12 10 xk 其中k为任意实数 21 本题满分 11 分 已知矩阵 011 230 000 A 求 99 A 设 3 阶矩阵 123 B 满足 2 BBA 记 100 123 B 将 123 分别表示为 更多干货 内容请关注凯程官网和凯程手机站 9 的线性组合 解析 利用相似对角化 由 可得的特征值为 故 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 当时 由 解出此时的属于特征值的特征向量为 设 由可得 对于 利用初等变换 可求出 故 由 于 故 因此 10 10 22 本题满分 11 分 设二维随机变量在区域上服从均匀分 布 令 I 写出的概率密度 II 问与是否相互独立 并说明理由 II