高等流体力学 ch12 理想流体的可压缩流动.pdf

1 第四部分 理想流体的可压缩流动第四部分 理想流体的可压缩流动 2 理想可压缩流体 忽略质量力 基本方程理想可压缩流体 忽略质量力 基本方程 0 u t u uup t e uepuk T t ppT eeT Tepu 未知量 3 等熵流动等熵流动 忽略导热影响 由能量方程 完全气体 e uepuk T t De pu Dt vv v Dede DTDTDp pRTCC DtdT DtDtDtR Dp Cpu DtR 1 v D u Dt Dpp D C DtRDt 连续方程 4 2 1 11 111 1 1 v vv v v v p pv vv CDpp Dp D RDtDtDt CC pDpDp D R DtRDtDt RC p DpDRD p DtDtCDt DpRDDpD p DtCDtp DtDt C R RCC CC 两侧同乘以得 上式中用到 于是 lnln ln0 DDDp p DtDtDt p C 定常流动时沿流线 等熵流动等熵流动 v Dpp D C DtRDt 5 p C p 沿流线 成立条件 定常流动 理想流体 无导热 绝热 沿流线为常数 沿流线熵为常数 等熵流动等熵流动 00 lnln v T sCR T 6 边界条件边界条件 12 12 0u n TT TT kk nn 7 第12章 理想可压缩流体的平面流动第12章 理想可压缩流体的平面流动 8 13 1 势流流动13 1 势流流动 连续方程连续方程 2 0 0 dp pppa d uuu tt uu t 等熵 连续方程 理想流体 忽略导热 等熵 ii pdpdp p xdxd 9 2 2 2 2 1 1 2 1 2 uua uupuu tt u a u uuuuu t a u uuuuau tt 欧拉方程 方程两边同时点乘 欧拉方程欧拉方程 2 pa uu t 10 势流伯努利方程势流伯努利方程 2 2 22 2 1 2 11 0 22 dp u uf t t f t dtf t tt dpdp u uu u tttt dpdp dddaa ad ttdtdt 令速度场不变 考虑到 22 2 1 2 t a u u ttt 于是 为约去上式中的密度项 引用伯努利方程 11 势流方程势流方程 2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 a u uuuuau tt a u u ttt u uuuuau tt uuuuu u att u 两式相加 2 2 2 1 0a att 势流方程成立条件 理想可压缩流体 忽略质量力 势流 等熵 势流方程是非线性方程 对于不可压缩流体 势流方程可简化为线性方程 寻求上述方程的解析解非常困难 本章寻求 近似解 12 12 2 小扰动理论12 2 小扰动理论 细长物体对均匀来流扰动很小 1 1 i Ux Ux 为扰动势函数 扰动势函数扰动势函数 U 小扰动理论既适于亚音速流动 也适于超音速流动 但只适用于相 对细长的物体绕流 13 势流方程的线性化势流方程的线性化 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 xxx a UeUeUe a U ax 对于定常流动 去掉 次以上的高阶小项 x Ux Ue 上式中可压缩修正项只保存一项 该项相应于来流方向 即 x 方向 音速仍需线性化 2 2 1 att 14 附录附录 1 1 1 1 1 22 1 xij ij jij jijii xxk iik kk kiik UeUeee xx UU xxxxxx UeUeUUee xxxx Uee x xxx x 2 2 1 xxx UeUeUe a 15 22 1 1 2222 1 11 xxx lk lkiik klk kiiklkiik UeUeUe UeeUe xx xxx x U UU x xxx xxx xxx x 22 2 2222 2 1111 2 2 2 2 2 2 2 1 iikkkiik xxx xxx UUU x xxx xxx xxxx x UeU U a eUeU x UeUeUe a x 引起的速度分量很小 忽略高阶无穷小 2 2 1 xxx UeUeUe a 16 a 2 2222 2222 2 22 2 222 2 11 212111 1 1 11 1 1 uUu v wu uUuvwUuU aaaa u uUUu Uu aa a Uu aaa 的线性化的线性化 22 2 22 U ax 1 112 2 2 1 2 1 2 1 1 1 11 dpp u uccdp a u u cd dpcdpp c a cd 17 亚 超声速小扰动线性方程亚 超声速小扰动线性方程 2222 22 22222 22 222 2 2 2 222 2 1 1 1 1 1 1 36769 0 3 UUU axaaxx U ax M M xyz M M 椭圆方程 双曲方程 以上方程在附近和高超音速流动条件下不成立 参阅教科书 页 222 11 1 1 Uu aaa 18 13 4 边界条件和压强系数13 4 边界条件和压强系数 1 边界条件边界条件 w w w 0 0 0 0 0 0 u nuF FF Uuv xy vvFxdy UuUFydx v x yv x v xdy xdy x U yd Udx x 流线斜率和壁面斜率相等 即壁面是一条流线 壁面很薄 U 0F x y 19 2 压强系数2 压强系数 被绕流物体周围的压强分布决定物体所受升力和阻力 无量纲压强 压强系数 2 1 2 p pp C U pU 是远离物体的来流压强 密度和速度 20 2 2 2 22 22222 222 22 22 2 2121 11 1 11 22 2 1 121 1 2 u upUp pUu u u u U ppaU u uUuvUUuuv UUU puuvu MM pUUU 111 2 1 222 1 1 1 1 1 1 1 1 pppppu M pppppU uu MM pu M pUUU 又 2 压强系数2 压强系数 热力学关系式 2 1 21 1 21 1 21 a u uc p u uc R u uTc 21 压强系数压强系数 2 22 1 2 11 2 22 pp p u M up U C u C UU UM p 22 22 2 1111 2222 UU UM p pa 压强系数可化为 考虑到 22 1 11 22 p p ppp C UU p 2 1 pu M pU 22 13 5 波型壁绕流13 5 波型壁绕流 22 2 22 1 0 22 0 cos M xy dy xUUx ydx xx xy 边界条件 有限值 有限值 波形壁面上有均匀流动U 2 sin x yx U x y 1 小扰动成立 222 2 222 1 0M xyz 23 1 亚音速绕流1 亚音速绕流 2 222 2222 22 22 22 2 1 111 1 11 0 22 0 cos1 x x yy M dd xdxxdxM MM y UM y y 令 则 原方程变换为 有限值 有限值 1 M 22 2 22 1 0M xy 22 0 cos dy xUUx ydx xx xy 有限值 有限值 24 22 22 2 22 12 0 0 0 0 sincos sincos yy y y Y y YY YY YY YC eC eCC ABe 设 代入拉氏方程 上述两方程的解分别为 在上 0 y C 式中已考虑到边界条件 有限值 有 限值 令 有关的积分常数作了合并 方程求解方程求解 1 亚音速绕流1 亚音速绕流 25 2 2 2 2 22 2 22 0 cos1 22 0 sincoscos1 22 0 1 1 22 cos1exp1 1 UM y ABUM y U AMBUB M U MM y M 考虑边界条件 由上式得 于是 2 2 22 cosexp1 1 Ux M y M sincos y ABe 2 sin x yx 方程求解方程求解 1 亚音速绕流1 亚音速绕流 26 流线流线 2 2 2 1 2 2 1 222 2 2 22 sin 1 22 cos 11111 1 11 22 11sin My My U ux e x M vUx e y uuuu MMM UUUU dyvv Uv U dxUuu UMu U Mx 2 22 2 22 11 2 1 2 1 22 cos 2 sin 2 sin M MyMy yyM edyx edx dydx eyx eC 2 2 22 cosexp1 1 Ux x yM y M 2 1 u M U M 22 2 22 22 2 22 22 1 0 1 0 11 M xy M yx f xMyg xMy fg 以上方程解具有下述形式 上式中和是任意的可微分函数 0 2 2 2 2 2 atxgatxf x a t 波动方程及解 30 马赫锥 马赫线 马赫角马赫锥 马赫线 马赫角 22 sin1 tg 1sin1M 211 sin 2 a U UM a 2U a2 U 2 超音速绕流2 超音速绕流 31 2 1 f xMy 2 2 2 2 2 1 1 1 11 tg sin 1 1 0 1 xMyc dy dx M M M xMy f xMy 令 常数 是马赫角 是马赫线 壁面产生扰动 马赫线从物面发出 在超音速流动中扰动只能传 到马赫线下游的区域 马赫角不能大于 2 对图示波形壁面的上 半空间 只能存在如图所示马赫线 即解的形式为 U 2 超音速绕流2 超音速绕流 马赫锥 马赫线 马赫角马赫锥 马赫线 马赫角 左伸马赫线 右伸马赫线 U 32 2 1 g xMy 2 2 1 1 1 xMyc dy dx M 令 壁面扰动向上游传播 与题意不合 舍去 U 2 超音速绕流2 超音速绕流 马赫锥 马赫线 马赫角马赫锥 马赫线 马赫角 33 方程求解方程求解 2 2 2 2 2 2 1 22 0 1 cos 22 cos 1 2 sin 1 2 sin1 1 f xMy x xMfxU y Ux fx M Ux f x M U xMy M 边界条件 22 0 cosxUx y 2 002 22 0 0 1 1 11 yy y y xMy f yy xMy f MMfx x f fx x 22 0 cos x xU y 2 超音速绕流2 超音速绕流 34 流线斜率流线斜率 2 2 122 cos1 1 dyv xMy dxUUy xMyc 在上 流线斜率相等 且振幅不衰减 2 2 2 sin1 1 U xMy M 2 超音速绕流2 超音速绕流 35 2 2 2 2242 cos1 1 42 0 cos 1 p pp u cxMy UUx M x ccx M 压强系数压强系数 2 2 2 sin1 1 U xMy M 2 1 xMycuv 在 线上 压强等均为常数 流动参数沿马赫 线保持为常数 2 超音速绕流2 超音速绕流 36 2 22 cos1 dy xMy dx 扰动沿马赫线不衰 减 流线振幅不随 y 衰减 同一条马赫 线上流线同相位 压强和波状壁面曲 线相位相差 2 对波峰或波谷分布 不对称 产生阻力 波阻 流线与压强分布图流线与压强分布图 2 42 cos 1 p x c M 2 超音速绕流2 超音速绕流 流 线 p C p C 37 例1通过对作用在波形壁上的压强作积分 验证亚音速绕流时沿 轴方向的阻力为零 并计算超音速绕流时单位宽度 一个波长的 波形壁上所受到的流体作用力 即波阻 x ds dx dy p p 2 22 00 1 0 2 1122 cos 22 ww p w Dpp ppds dydy ppdyp xpdxCUdx dxdx dyx FCUdxUCdx dx 解 2 sin w x y 2 2 2 20 412 sin 1 141222 sincos0 2 1 p D x C M xxx FUd M 1 亚音速流动 38 2 22 20 222 2 20 222222 2 22 412 cos 1 12412 cos 2 1 4 1cos 4 2 1 42 2 11 p D x C M x FUdx M x U dx M UU MM 2 超音速流动 2 0 122 cos 2 Dp x FUCdx 39 阻力系数阻力系数 实际阻力曲线 线性理论结果 0 M D C 1 0 线性理论结果 p C 超音速 亚音速 p C 波形壁 x y 上述解在马赫数等于 1 时不再适用 需用跨音 速理论来处理马赫数等于 1 附近的流动问题 40 13 6 普朗特普朗特 葛劳渥特法则葛劳渥特法则 亚音速气流绕流细长物体亚音速气流绕流细长物体 22 222 1 0 1 0 xMy df xUx ydx xx xy 边界条件 有限值 有限值 U yf x y x y 22 2 22 1 0M xy 41 坐标变换坐标变换 2 2 22 22 22 222 2 222 2 22 22 22 1 1 1 11 11 1 1 1 11 0 11 My M xxxx MM dd M ydyydy M x MM 令 代入亚音速势流方程 22 22 0 x 满足拉氏方程 意味着经变换后的流动是不可压缩流体势流流动 22 222 1 0 1xMy 42 2 0 1 1 0 df xUx ydx xx xy yxx M df xUx dx xx x 坐标变换前的边界条件 有限值 有限值 有限值 有限值 边界条件边界条件 2 2 1 1 1 My M 43 0 df xUx dx xy x f xU 在坐标变换后边界条件为 翼型形状不变 求 平面内可压缩流体的势流解 求 平面内不可压缩流体的势流解 物面方程保持不变不可压缩流体 流速为 以相同攻角绕流 相同翼型 边界条件边界条件 0 df xUx ydx 44 压强系数压强系数 2 2 212 1 2 1 p p p p C UxUx M C C x C M U 亚音速流动压强系数 不可压缩流体势流压强系数 在线性理论成立的条件下 亚音速流动时被绕流物体周围的压强分 布 可以通过相应的不可压缩流动时物体周围的压强分布而求得 45 13 7 超音速流动的埃克特理论13 7 超音速流动的埃克特理论 机翼机翼 max max 2 2 2 0 1 2 0 1 u u l c t xh x cxh xt x cxh xt x tt x cxcx c x h h xcx c cx c x xcxc 翼弦 厚度 中线 弯度 半厚度函数 弯度函数 l x cxcxcx x u yx l yx h x t x c y c maxmax 1 2 t xh x xx th 46 基本方程和解基本方程和解 22 222 1 0 1 0 xMy dy xUx ydx xx xy 有限值 有限值 ul ul yy 不同于 不同于 左伸马赫线 右伸马赫线 2 2 1 1 u l f xMy g xMy 翼型上表面 翼型下表面 47 2 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 1 u uu u uu l l f xMy dy xU ydx dy Mf xU dx Udy f xxf xx dxx M g xMy Udy g xxg dx M 翼型上表面 式中 翼型下表面 式中 0 l xx x 基本方程和解基本方程和解 左伸马赫线 右伸马赫线 48 2 2 2 22 1 22 1 p u pu l pl C Ux dy Cfxx Udx M dy Cg xx Udx M 上表面 下表面 压强系数压强系数 2 2 0 1 0 1 uu ll Udy xf xx xdx M Udy xg xx xdx M 49 L 2 0 22 0 0 20 0 222 1 C 2 1 2 2 1 2 1 224 00 111 c lu c lu c plpu c lu c lu pp dx cU pppp dx cUU CCdx c dydy dx dxdx c M yycc c Mc MM L C 升力系数升力系数 xc y c u px l px 22 22 11 ul pupl dydy CxCx dxdx MM 50 22 2 10 77sin2 11 L L L L Cx yth C cc MM C C 亚