《数学分析》部分证明题.doc

一、 证明题(18分)十六章1、（10分）证明函数在原点的极限是0. 2、(8分)证明3、证明： 在(0,0)的极限为零。（10分）4.设f(x,y) 在集合GR2 上对x 连续,对y满足利普希茨条件即试证 f 在G上处处连续十七章1、设是任意的二阶可导函数,证明 满足2、（8分）设 证明3、(10分)设 证明sec+secy=14.证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点不可微.5. 证明函数在点连续且偏导数存在,但在此点偏导数不连续,而在可微.6.证明:若二元函数在点的某邻域内的偏导函数与有界,则在内连续.7.证明:可微函数为次齐次函数的充要条件是:8.设可微,求证9.设可微,与是上的一组线性无关向量.试证明:若,则常数.10.若在区域D上存在偏导数,且,则常数.11.设和在点的某领域内存在, 在点连续,证明也存在,且.12. 设在点的某领域内存在且在点可微,则有.13.设在点可微,且在给定了个向量,相邻两个向量之间的夹角为.证明:.14.设为次齐次函数,证明.15. 证明在处可微.16、设 证明： 17、若函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点 处连续，则函数在点可微18、若函数在点可微，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且 (1),其中为方向的方向余弦19、设二元函数在凸开域DR2上连续，在D的所有内点都可微，则对D内任意两点，存在某，使得.20、设可微，在极坐标变换下，证明.21、十八章1、(10分)试证：所有切于曲面的平面都相交于一点。2、(10分)试证曲面F(x-my,z-ny)=0的所有切平面恒与某定直线平行,其中F(u,v) 为可微函数.3.证明对任意常数,球面与锥面是正交的.4.试证明:二次型在单位球面上的最大值和最小值恰好是矩阵 的最大特征值和最小特征值.5.设是曲面的非奇异点(),在可微,且为次齐次函数.证明:此曲面在处的切平面为6.设和都有连续的一阶偏导数，证明7、已知都是可微的，证明：.8、设为正整数，用条件极值方法证明：9、证明方程，在原点附近确定了一个连续可导隐函数.10、空间曲线L由方程组，若它在点的某邻域内满足隐函数组定理的条件，求证它在处的法平行面方程为.11、求在条件下的最小值；并证明不等式。其中 a,b,c为任意正实数.十九章1、证明 在 a,b(a0) 上一致收敛,但在0,b 上不一致收敛 2、证明3.设 是 上的连续函数 ,若 在上一致收敛于,且对任何 一致地成立,则4.设定义于闭矩形域 若对在上处处连续,对在 上(且关于)为一致连续,证明在上处处连续5.设为上的连续函数 若在上一致收敛 则在上可积,且6、(8分)证明在a,b(a0)上一致收敛。7、(8分)证明 在区间 a,+ (a0) 上一致收敛.8设，其中，证明满足方程 .9.设存在,.若收敛,则在上一致收敛.10.证明含参量反常积分在上一致收敛.11. 证明含参量反常积分在上一致收敛.12.证明:若在上连续,又在上收敛,但在处发散,则在上不一致收敛.13.证明:在上一致收敛.14.证明:在上一致收敛.15.证明:在上一致收敛.16.证明:在上一致收敛.17.证明:在上连续.18.证明:设为上连续非负函数,在上连续,证明在上一致连续.19.设在内成立不等式.若在上一致收敛,证明在上一致收敛且绝对收敛.20.证明:.21.证明:.22.证明:.23.证明:.24.巳知,试证:.25、证明：若在时一致收敛于，且对任何一致地成立，则.26、设，其中与为上的连续函数，证明27、若二元函数在矩形区域上连续，则函数在上连续.28、证明含参量反常积分（4）在上一致收敛（其中），但在内不一致收敛.29、设有函数，使得,若收敛 ，则在上一致收敛且绝对收敛。30、设在上连续，若含参量反常积分（12）在上一致收敛，则 在上连续.二十章1. 证明:若函数在光滑曲线上连续,则存在点,使得.其中为L的弧长.2. 证明曲线积分的估计式:,其中L为AB的弧长,.3. 设为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数,且在上恒大于零.证明.4. 设由光滑曲线函数为定义在L上连续函数，证明5. 设由光滑曲线函数为定义在L上连续函数，这里，证明.二十一章1、设为连续函数,应用二重积分的性质证明: 其中等号仅在为常值函数时成立.2、设是具有二阶连续偏导数的函数证明 其中D为光滑曲线L所围平面区域,为沿L的外法线的方向导数.3、证明：椭球体的体积为。(10分)4、设具有连续导数，且,则。（10分）5、若是上的正值连续函数,则其中 6.证明:若函数在有界闭区域D上可积,则在D上有界.7.若函数在有界闭区域D上非负连续,且在D上不恒为零,则.8. 若函数在有界闭区域D上连续,且在D内任一子区域上有.则在D上.9.证明: 若函数在有界闭区域D上连续,在D上可积且不变号,则存在一点,使得.10.设平面区域D在轴和轴的投影长度分别为和,D的面积为,为D内任一点,证明.11.设,当为D中有理点;, 当为D中非有理点. 其中表示有理数化成既约分数后的分母.证明在D上的二重积分存在而两个累次积分不存在.12. 设,当为D中有理点,且;, 当为D中其它点. 其中表示有理数化成既约分数后的分母.证明在D上的二重积分不存在而两个累次积分存在.13.证明:若为平面上封闭曲线,为任意方向向量,则,其中为曲线的外法线方向.14.设函数具有一阶连续导数,证明对任何光滑封闭曲线L,有.15.设函数在由封闭的光滑曲线L所围的区域D上具有二阶连续偏导数,证明,其中是沿L外法线方向的方向导数.16.设在长方体上可积.若对任何,定积分存在,证明在D上可积,且.17.证明: ,其中 .18.设是具有二阶连续偏导数的函数,证明.其中D为光滑曲线L所围的平面区域,为L的外法线方向.19、设 在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且 .20、二十二章1. 证明:由曲面S所包围的立体V的体积为,其中为曲面S的外法线方向余弦.2. 证明:若S为封闭曲面,为任何固定方向,则,其中为曲S的外法线方向.3. 证明公式: 其中